Монография написана на основе спецкурсов по геометрии, читаемых
автором на механико-математическом факультете МГУ. В нее включены:
геометрия групп Ли, теория симметрических пространств, геометрия и
топология векторных расслоений. Большое внимание уделяется
приложениям излагаемого геометрического материала: систематически
изложена теория калибровочных полей, математическое название
которой — геометрия расслоенных пространств, дано введение в новые
эффективные методы интегрирования нелинейных дифференциальных
уравнений математической физики с рассмотрением конкретных
примеров. Книга содержит современный геометрический материал, не
излагавшийся ранее в научной и учебной литературе.
Содержание:
Элементы дифференциальной геометрии.
Понятие топологического пространства.
Непрерывные отображения топологических пространств.
Аксиомы счетности.
Бикомпактные топологические пространства.
Аксиомы отделимости.
Секвенциально компактные топологические пространства.
Конструкции топологических пространств.
Гладкие многообразия.
Геометрия гладких многообразий.
Элементы тензорной алгебры.
Гладкие отображения гладких многообразий.
Исчисление внешних дифференциальных форм на многообразиях.
Интегрирование внешних дифференциальных форм.
Когомологии де Рама.
Элементы римановой геометрии.
Элементы аффинной геометрии.
Тензор кривизны.
Геодезические и кратчайшие.
Группы Ли и алгебры Ли.
Группы Ли.
Алгебры Ли.
Траектории левоинвариантных векторных полей.
Экспоненциальное отображение.
Сдвиги функций по траекториям.
Действия групп Ли.
Линейные представления групп Ли.
Автоморфизмы групп Ли.
Формула Маурера— Картана.
Основные глобальные теоремы о группах Ли.
Вопросы неодносвязности. Накрытия.
Подгруппы Ли.
Нильпотентные представления алгебр Ли.
Разрешимые алгебры Ли и их линейные представления.
Представления нильпотентных алгебр Ли.
Полупростые алгебры Ли.
Подалгебры Картана.
Метрика Киллинга.
Критерий Картана.
Структура полупростых алгебр Ли.
Простые алгебры Ли.
Симметрические пространства.
Понятие симметрического пространства.
Компактные группы Ли как римановы симметрические пространства.
Инволютивные автоморфизмы групп Ли и связанные с ними римановы.
симметрические пространства.
Связности в главных расслоениях.
Основные теоремы.
Группы Ли как симметрические пространства аффинной связности.
Вполне геодезические подмногообразия.
Вполне геодезические подмногообразия и инволютивные автоморфизмы.
Римановы симметрические пространства.
Гладкие векторные расслоения и характеристические классы.
Векторные расслоения.
Связности и метрики в расслоениях.
Ковариантное дифференцирование и кривизна.
Характеристические классы векторных расслоений.
Основные характеристические классы.
Связности в главном расслоении реперов.
Трансгрессия.
Эйлеров класс.
Геометрический смысл эйлерова класса в размерности два.
Геометрический смысл эйлерова класса в высших размерностях.
Уравнения коммутации дифференциальных операторов.
Скобки Пуассона гидродинамического типа и левосимметричные алгебры.
Дифференциальные уравнения, описывающие движение твердого тела вокруг неподвижной точки.
Согласованные скобки Пуассона.
Инварианты коприсоединенного представления.
Элементы дифференциальной геометрии.
Понятие топологического пространства.
Непрерывные отображения топологических пространств.
Аксиомы счетности.
Бикомпактные топологические пространства.
Аксиомы отделимости.
Секвенциально компактные топологические пространства.
Конструкции топологических пространств.
Гладкие многообразия.
Геометрия гладких многообразий.
Элементы тензорной алгебры.
Гладкие отображения гладких многообразий.
Исчисление внешних дифференциальных форм на многообразиях.
Интегрирование внешних дифференциальных форм.
Когомологии де Рама.
Элементы римановой геометрии.
Элементы аффинной геометрии.
Тензор кривизны.
Геодезические и кратчайшие.
Группы Ли и алгебры Ли.
Группы Ли.
Алгебры Ли.
Траектории левоинвариантных векторных полей.
Экспоненциальное отображение.
Сдвиги функций по траекториям.
Действия групп Ли.
Линейные представления групп Ли.
Автоморфизмы групп Ли.
Формула Маурера— Картана.
Основные глобальные теоремы о группах Ли.
Вопросы неодносвязности. Накрытия.
Подгруппы Ли.
Нильпотентные представления алгебр Ли.
Разрешимые алгебры Ли и их линейные представления.
Представления нильпотентных алгебр Ли.
Полупростые алгебры Ли.
Подалгебры Картана.
Метрика Киллинга.
Критерий Картана.
Структура полупростых алгебр Ли.
Простые алгебры Ли.
Симметрические пространства.
Понятие симметрического пространства.
Компактные группы Ли как римановы симметрические пространства.
Инволютивные автоморфизмы групп Ли и связанные с ними римановы.
симметрические пространства.
Связности в главных расслоениях.
Основные теоремы.
Группы Ли как симметрические пространства аффинной связности.
Вполне геодезические подмногообразия.
Вполне геодезические подмногообразия и инволютивные автоморфизмы.
Римановы симметрические пространства.
Гладкие векторные расслоения и характеристические классы.
Векторные расслоения.
Связности и метрики в расслоениях.
Ковариантное дифференцирование и кривизна.
Характеристические классы векторных расслоений.
Основные характеристические классы.
Связности в главном расслоении реперов.
Трансгрессия.
Эйлеров класс.
Геометрический смысл эйлерова класса в размерности два.
Геометрический смысл эйлерова класса в высших размерностях.
Уравнения коммутации дифференциальных операторов.
Скобки Пуассона гидродинамического типа и левосимметричные алгебры.
Дифференциальные уравнения, описывающие движение твердого тела вокруг неподвижной точки.
Согласованные скобки Пуассона.
Инварианты коприсоединенного представления.