М.: Финансы и статистика, 2003. — 576 с. — ISBN 5-279-02557-7.
Пособие для студентов, обучающихся по специальностям "Математика",
"Прикладная математика", "Физика", "Экономика", "Экономическая
кибернетика", "Инженерная технология", "Информатика" и др. Для
специалистов, применяющих методы линейной алгебры.
Первоначальные сведения.
Множества, алгебраические операции, группы, кольца, поля.
Простые и двойные суммы.
Перестановки и подстановки.
Системы линейных уравнений. Определители.
Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
Определители.
Свойства определителей.
Миноры и алгебраические дополнения.
Разложение определителя по строке или столбцу. Теорема Лапласа.
Вычисление определителей.
Крамеровские системы.
Упражнения.
Матрицы и действия над ними.
Первоначальные сведения о матрицах.
Сложение матриц и умножение матрицы на число.
Линейные комбинации столбцов (строк).
Умножение матриц.
Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы.
Обратная матрица.
Простейшие матричные уравнения.
Разложение квадратной матрицы на треугольные множители.
Упражнения.
Линейные пространства.
Определение линейного пространства.
Линейная зависимость векторов.
Ранг матрицы. Скелетное разложение матрицы.
Базис и размерность пространства.
Связь между базисами линейного пространства.
Преобразование координат вектора при переходе от базиса к базису.
Изоморфизм линейных пространств.
Системы линейных уравнений (общая теория).
Однородные системы линейных уравнений.
Связь между решениями однородной и неоднородной систем.
Линейные подпространства.
Упражнения.
Линейные операторы в линейных пространствах.
Определение и примеры линейных операторов.
Линейные операторы и матрицы.
Выражение координат вектора-образа через координаты вектора-прообраза.
Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах.
Действия с линейными операторами.
Характеристический и минимальный многочлены.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Линейные операторы простой структуры.
Упражнения.
Каноническая жорданова форма матрицы.
Жорданов базис.
Построение жорданова базиса и жордановой матрицы.
Второй способ построения жордановой и трансформирующей матриц.
Третий способ построения жордановой и трансформирующей матриц.
К построению минимального многочлена.
Упражнения.
Функции от матриц.
Интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестра.
Функции от матриц.
Спектральное разложение матрицы f(A).
Представление функций от матриц рядами.
Некоторые приложения функций от матриц.
Упражнения.
Евклидовы и унитарные пространства.
Определение евклидова пространства. Матрица Грама.
Длины и углы. Ортогональность. Процесс ортогонализации.
Ортонормированные базисы.
Ортогональные матрицы.
Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция вектора на подпространство.
Изоморфизм евклидовых пространств.
Понятие об унитарном пространстве.
Сопряженные операторы в евклидовом пространстве.
Симметрические (самосопряженные) операторы.
Ортогональные операторы.
Произвольные линейные операторы в евклидовом пространстве.
Сопряженные операторы в унитарном пространстве.
Эрмитовы операторы.
Унитарные операторы.
Нормальные операторы.
Произвольные линейные операторы в унитарном пространстве.
QR-разложение матрицы.
Сингулярное разложение матрицы.
Полярное разложение матрицы.
Псевдообратная матрица.
Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов.
Метод регуляризации для систем линейных уравнений.
Нормы векторов и матриц.
Оценка погрешности решения системы линейных уравнений.
Отыскание устойчивого решения системы линейных уравнений.
Рекомендации к решению систем линейных уравнений на ЭВМ.
Упражнения.
Квадратичные формы.
Определение квадратичной формы.
Линейное преобразование переменных.
Преобразование квадратичной формы при линейном преобразовании переменных.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Закон инерции квадратичных форм.
Знакоопределенные квадратичные формы.
Распадающиеся квадратичные формы.
Квадратичные формы в евклидовом пространстве.
Пары квадратичных форм.
Квадратичные формы в комплексном линейном пространстве.
Упражнения.
Итерационные методы решения систем линейных уравнений.
Метод итераций.
Метод Зейделя.
Приведение линейной системы к виду, удобному для итераций.
Упражнения.
О приближенных методах вычисления собственных значений и собственных векторов.
Метод вращений (метод Якоби).
(QR-алгоритм).
Степенной метод.
Метод скалярных произведений.
Упражнения.
Элементы n-мерной аналитической геометрии.
Аффинные пространства.
Координаты в аффинном пространстве.
Плоскости в аффинном пространстве.
Гиперповерхности второго порядка.
Точечно-векторное евклидово пространство.
Гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве.
Упражнения.
Приложение. Вычисление характеристического многочлена.
Множества, алгебраические операции, группы, кольца, поля.
Простые и двойные суммы.
Перестановки и подстановки.
Системы линейных уравнений. Определители.
Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
Определители.
Свойства определителей.
Миноры и алгебраические дополнения.
Разложение определителя по строке или столбцу. Теорема Лапласа.
Вычисление определителей.
Крамеровские системы.
Упражнения.
Матрицы и действия над ними.
Первоначальные сведения о матрицах.
Сложение матриц и умножение матрицы на число.
Линейные комбинации столбцов (строк).
Умножение матриц.
Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы.
Обратная матрица.
Простейшие матричные уравнения.
Разложение квадратной матрицы на треугольные множители.
Упражнения.
Линейные пространства.
Определение линейного пространства.
Линейная зависимость векторов.
Ранг матрицы. Скелетное разложение матрицы.
Базис и размерность пространства.
Связь между базисами линейного пространства.
Преобразование координат вектора при переходе от базиса к базису.
Изоморфизм линейных пространств.
Системы линейных уравнений (общая теория).
Однородные системы линейных уравнений.
Связь между решениями однородной и неоднородной систем.
Линейные подпространства.
Упражнения.
Линейные операторы в линейных пространствах.
Определение и примеры линейных операторов.
Линейные операторы и матрицы.
Выражение координат вектора-образа через координаты вектора-прообраза.
Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах.
Действия с линейными операторами.
Характеристический и минимальный многочлены.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Линейные операторы простой структуры.
Упражнения.
Каноническая жорданова форма матрицы.
Жорданов базис.
Построение жорданова базиса и жордановой матрицы.
Второй способ построения жордановой и трансформирующей матриц.
Третий способ построения жордановой и трансформирующей матриц.
К построению минимального многочлена.
Упражнения.
Функции от матриц.
Интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестра.
Функции от матриц.
Спектральное разложение матрицы f(A).
Представление функций от матриц рядами.
Некоторые приложения функций от матриц.
Упражнения.
Евклидовы и унитарные пространства.
Определение евклидова пространства. Матрица Грама.
Длины и углы. Ортогональность. Процесс ортогонализации.
Ортонормированные базисы.
Ортогональные матрицы.
Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция вектора на подпространство.
Изоморфизм евклидовых пространств.
Понятие об унитарном пространстве.
Сопряженные операторы в евклидовом пространстве.
Симметрические (самосопряженные) операторы.
Ортогональные операторы.
Произвольные линейные операторы в евклидовом пространстве.
Сопряженные операторы в унитарном пространстве.
Эрмитовы операторы.
Унитарные операторы.
Нормальные операторы.
Произвольные линейные операторы в унитарном пространстве.
QR-разложение матрицы.
Сингулярное разложение матрицы.
Полярное разложение матрицы.
Псевдообратная матрица.
Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов.
Метод регуляризации для систем линейных уравнений.
Нормы векторов и матриц.
Оценка погрешности решения системы линейных уравнений.
Отыскание устойчивого решения системы линейных уравнений.
Рекомендации к решению систем линейных уравнений на ЭВМ.
Упражнения.
Квадратичные формы.
Определение квадратичной формы.
Линейное преобразование переменных.
Преобразование квадратичной формы при линейном преобразовании переменных.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Закон инерции квадратичных форм.
Знакоопределенные квадратичные формы.
Распадающиеся квадратичные формы.
Квадратичные формы в евклидовом пространстве.
Пары квадратичных форм.
Квадратичные формы в комплексном линейном пространстве.
Упражнения.
Итерационные методы решения систем линейных уравнений.
Метод итераций.
Метод Зейделя.
Приведение линейной системы к виду, удобному для итераций.
Упражнения.
О приближенных методах вычисления собственных значений и собственных векторов.
Метод вращений (метод Якоби).
(QR-алгоритм).
Степенной метод.
Метод скалярных произведений.
Упражнения.
Элементы n-мерной аналитической геометрии.
Аффинные пространства.
Координаты в аффинном пространстве.
Плоскости в аффинном пространстве.
Гиперповерхности второго порядка.
Точечно-векторное евклидово пространство.
Гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве.
Упражнения.
Приложение. Вычисление характеристического многочлена.