М.: МЦНМО, 2005. — 56 с. (Библиотека "Математическое просвещение",
выпуск 31)
Текст брошюры подготовлен по материалам лекции, прочитанной автором
21 февраля 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9–11
классов.
Читатель познакомится с такими классическими задачами на максимум и минимум, как задача Фаньяно, задача о построении фигуры максимальной площади заданного периметра, задача Штейнера о кратчайшей системе дорог и многими другими. Одна из глав посвящена коническим сечениям и их фокальным свойствам. В брошюре излагаются решения перечисленных выше задач, особое внимание уделено проблеме доказательства существования решения в экстремальных задачах. В конце каждого раздела помещён набор задач для самостоятельного решения.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, а также школьных учителей, руководителей математических кружков. При чтении последних разделов будет полезным (но не обязательным) знакомство с началами математического анализа Оглавление: Задача Фаньяно.
Фокальное свойство коник.
Задача Ферма—Торричелли—Штейнера.
Сети Штейнера.
Изопериметрическая задача.
Вариационные методы.
Правило множителей Лагранжа.
Физические принципы.
Теоремы существования.
Ещё несколько задач.
Компактность и теорема Вейерштрасса.
Доказательство теорем существования.
Читатель познакомится с такими классическими задачами на максимум и минимум, как задача Фаньяно, задача о построении фигуры максимальной площади заданного периметра, задача Штейнера о кратчайшей системе дорог и многими другими. Одна из глав посвящена коническим сечениям и их фокальным свойствам. В брошюре излагаются решения перечисленных выше задач, особое внимание уделено проблеме доказательства существования решения в экстремальных задачах. В конце каждого раздела помещён набор задач для самостоятельного решения.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, а также школьных учителей, руководителей математических кружков. При чтении последних разделов будет полезным (но не обязательным) знакомство с началами математического анализа Оглавление: Задача Фаньяно.
Фокальное свойство коник.
Задача Ферма—Торричелли—Штейнера.
Сети Штейнера.
Изопериметрическая задача.
Вариационные методы.
Правило множителей Лагранжа.
Физические принципы.
Теоремы существования.
Ещё несколько задач.
Компактность и теорема Вейерштрасса.
Доказательство теорем существования.