Учеб. пособие / Под ред. В. И. Антонова. - СПб.: Изд-во Политехн.
ун-та, 2008. — 384 с. (Математика в политехническом университете).
ISBN 978-5-7422-1865-4
Пособие представляет собой детализированный конспект лекций и
сборник задач по теории вероятностей. В отличие от опорного
конспекта здесь приведены доказательства теорем и выводы формул,
опускаемые в опорном конспекте. Глава «Элементы случайных
процессов» содержит корреляционную теорию и марковские процессы, но
изложена кратко. Теоретический материал разбит на 17 лекций, а
практический - на 10 практических занятий, которые идут вслед за
лекциями и их подкрепляют. Имеются задачи с решениями и для
самостоятельной работы. Все задачи снабжены ответами. Для контроля
усвоения теории вероятностей в книгу включен сборник контрольных
заданий по теории вероятностей из 30 вариантов по 9 задач в каждом
с образцами решений и числовыми ответами. В заключении помещен
базис дисциплины «Теория вероятностей» с необходимыми
компетенциями. Учебное пособие может быть использовано для
вечернего, заочного и дистанционного обучения.
Оглавление:
Введение
Предмет теории вероятностей
Значение теории вероятностей для инженерных, экономических, социальных и других наук. Краткие исторические сведения
Алгебра событий
Классификация событий
Действия над событиями
Вероятность события
Относительная частота события и ее свойства
Статистическое определение вероятности
Аксиоматическое определение вероятности
Классическое определение вероятности
Геометрическое определение вероятности
Субъективное определение вероятности
Комбинаторика
Комбинаторный принцип «умножения»
Размещения
Перестановки
Сочетания
Размещения с повторениями
Алгебра вероятностей
Условная вероятность
Правило умножения вероятностей
Независимость событий
Правила сложения вероятностей
Формулы полной вероятности и Байеса
Схема Бернулли проведения независимых испытаний. Биномиальная вероятность
Приближенная формула Пуассона для вычисления биномиальной вероятности
Одномерная случайная величина
Определение случайной величины
Дискретная случайная величина
Числовые характеристики дискретной случайной величины
Производящая функция (вероятностей)
Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения
Непрерывная случайная величина
Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Нормальное, показательное, равномерное распределения
Двумерная случайная величина
Двумерная случайная величина, ее функция распределения
Дискретная двумерная случайная величина
Непрерывная двумерная случайная величина. Плотность вероятности
Примеры двумерных непрерывных распределений
Зависимость и независимость двух случайных величин
Математическое ожидание функции двумерной случайной величины
Корреляционный момент и коэффициент корреляции
Коэффициент корреляции между двумя событиями
Коэффициент контингенции для исследования связи между
двумя событиями
Ассоциативный коэффициент детерминации для дискретных случайных величин
Контингенциальный коэффициент детерминации для дискретных случайных величин, «конти»
n-мерная случайная величина
Основные определения
Числовые характеристики n-мерной случайной величины
Полиномиальное и n-мерное нормальное распределения
Лекция
Функции случайных величин
Распределение функции одного дискретного случайного аргумента
Математическое ожидание функции дискретной случайной величины
Распределение функции непрерывной одномерной случайной величины
Распределение функции непрерывной двумерной случайной величины
Композиция законов распределения
Математическое ожидание функции непрерывной случайной величины
Три распределения, применяемые в математической статистике
Предельные теоремы
Неравенства Маркова и Чебышева
Теоремы Чебышева и Бернулли. Сходимость по вероятности
Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых
У словные законы распределения. Регрессии
Условные законы распределения
Второе необходимое и достаточное условие независимости
двух случайных величин
Регрессия
Элементы теории случайных процессов
Случайная функция, случайный процесс, случайное поле
Случайный процесс. Сечение и реализация
Задание случайного процесса
Классификация случайных процессов
Марковские процессы
Процесс Пуассона
Приложение теории марковских процессов к анализу систем массового обслуживания
Дискретные цепи Маркова
Корреляционная теория случайных процессов
Стационарные процессы
Стационарные процессы в широком смысле
Непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость стационарного процесса.
Эргодические процессы
Практическое занятие 1. Тема: алгебра событий
Практическое занятие 2. Тема: классическое и геометрическое определения вероятностей
Практическое занятие 3. Тема: правила сложения и умножения вероятностей
Практическое занятие 4. Тема: формулы полной вероятностей и Байеса; схема Бернулли повторения испытаний
Практическое занятие 5. Тема: одномерная дискретная случайная величина и ее числовые характеристики
Практическое занятие 6. Тема: одномерная непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики
Практическое занятие 7. Тема: двумерная дискретная случайная величина; ее законы распределения и числовые характеристики
Практическое занятие 8. Тема: двумерная непрерывная случайная величина; ее законы распределения и числовые характеристики
Практическое занятие 9. Тема: законы распределения и числовые характеристики функций случайных величин
Практическое занятие 10. Тема: Предельные теоремы. Условные законы распределения. Регрессии
Контрольные задания по теории вероятностей
Методические указания к контрольным заданиям
Образцы контрольных заданий вариантов контрольных заданий
Решения образцов контрольных заданий
Дополнение к теории вероятностей
История и сущность центральной предельной теоремы
Комплексные случайные величины
Характеристические функции
Доказательство центральной предельной теоремы для случая одинаково распределенных слагаемых
Заключение - базис дисциплины «теория вероятностей», компетенции
Таблица значений нормированной функции Лапласа
Введение
Предмет теории вероятностей
Значение теории вероятностей для инженерных, экономических, социальных и других наук. Краткие исторические сведения
Алгебра событий
Классификация событий
Действия над событиями
Вероятность события
Относительная частота события и ее свойства
Статистическое определение вероятности
Аксиоматическое определение вероятности
Классическое определение вероятности
Геометрическое определение вероятности
Субъективное определение вероятности
Комбинаторика
Комбинаторный принцип «умножения»
Размещения
Перестановки
Сочетания
Размещения с повторениями
Алгебра вероятностей
Условная вероятность
Правило умножения вероятностей
Независимость событий
Правила сложения вероятностей
Формулы полной вероятности и Байеса
Схема Бернулли проведения независимых испытаний. Биномиальная вероятность
Приближенная формула Пуассона для вычисления биномиальной вероятности
Одномерная случайная величина
Определение случайной величины
Дискретная случайная величина
Числовые характеристики дискретной случайной величины
Производящая функция (вероятностей)
Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения
Непрерывная случайная величина
Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Нормальное, показательное, равномерное распределения
Двумерная случайная величина
Двумерная случайная величина, ее функция распределения
Дискретная двумерная случайная величина
Непрерывная двумерная случайная величина. Плотность вероятности
Примеры двумерных непрерывных распределений
Зависимость и независимость двух случайных величин
Математическое ожидание функции двумерной случайной величины
Корреляционный момент и коэффициент корреляции
Коэффициент корреляции между двумя событиями
Коэффициент контингенции для исследования связи между
двумя событиями
Ассоциативный коэффициент детерминации для дискретных случайных величин
Контингенциальный коэффициент детерминации для дискретных случайных величин, «конти»
n-мерная случайная величина
Основные определения
Числовые характеристики n-мерной случайной величины
Полиномиальное и n-мерное нормальное распределения
Лекция
Функции случайных величин
Распределение функции одного дискретного случайного аргумента
Математическое ожидание функции дискретной случайной величины
Распределение функции непрерывной одномерной случайной величины
Распределение функции непрерывной двумерной случайной величины
Композиция законов распределения
Математическое ожидание функции непрерывной случайной величины
Три распределения, применяемые в математической статистике
Предельные теоремы
Неравенства Маркова и Чебышева
Теоремы Чебышева и Бернулли. Сходимость по вероятности
Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых
У словные законы распределения. Регрессии
Условные законы распределения
Второе необходимое и достаточное условие независимости
двух случайных величин
Регрессия
Элементы теории случайных процессов
Случайная функция, случайный процесс, случайное поле
Случайный процесс. Сечение и реализация
Задание случайного процесса
Классификация случайных процессов
Марковские процессы
Процесс Пуассона
Приложение теории марковских процессов к анализу систем массового обслуживания
Дискретные цепи Маркова
Корреляционная теория случайных процессов
Стационарные процессы
Стационарные процессы в широком смысле
Непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость стационарного процесса.
Эргодические процессы
Практическое занятие 1. Тема: алгебра событий
Практическое занятие 2. Тема: классическое и геометрическое определения вероятностей
Практическое занятие 3. Тема: правила сложения и умножения вероятностей
Практическое занятие 4. Тема: формулы полной вероятностей и Байеса; схема Бернулли повторения испытаний
Практическое занятие 5. Тема: одномерная дискретная случайная величина и ее числовые характеристики
Практическое занятие 6. Тема: одномерная непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики
Практическое занятие 7. Тема: двумерная дискретная случайная величина; ее законы распределения и числовые характеристики
Практическое занятие 8. Тема: двумерная непрерывная случайная величина; ее законы распределения и числовые характеристики
Практическое занятие 9. Тема: законы распределения и числовые характеристики функций случайных величин
Практическое занятие 10. Тема: Предельные теоремы. Условные законы распределения. Регрессии
Контрольные задания по теории вероятностей
Методические указания к контрольным заданиям
Образцы контрольных заданий вариантов контрольных заданий
Решения образцов контрольных заданий
Дополнение к теории вероятностей
История и сущность центральной предельной теоремы
Комплексные случайные величины
Характеристические функции
Доказательство центральной предельной теоремы для случая одинаково распределенных слагаемых
Заключение - базис дисциплины «теория вероятностей», компетенции
Таблица значений нормированной функции Лапласа