Иванова Е.Ю. Олимпиадные задачи

Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ. — М.: Изд-во Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2008. — 24 с. Данная разработка составлена на основе задач вечернего отделения Малого мехмата. Она посвящена избранным вопросам олимпиадного плана, обычно не затрагиваемым в средней школе, однако находящим широкое применение при решении задач всевозможных математических олимпиад для школьников. В первом параграфе разобраны задачи на широко известный принцип Дирихле. Помимо простых задач, здесь предлагаются и достаточно сложные задачи, в которых центральной часто является другая идея, а принцип Дирихле лишь помогает в достижении цели. Во втором параграфе исследованы задачи, связанные с идеей нахождения инварианта. Такие задачи часто можно выделить даже по самому условию: обычно речь в них идёт о каких-либо позициях, действиях, играх и т. п. Эти задачи часто оказываются очень сложны уже тем, что инвариант бывает достаточно трудно находим. В третьем параграфе собраны задачи на использование метода математической индукции — достаточно сильного метода решения нетолько олимпиадных задач. Мы постарались подобрать задачи так, чтобы их методы решения были наиболее типичны для каждого из классов задач. Выводы, полученные при решении многих из разобранных примеров, зачастую являются ключом к решению других, более сложных задач. Хотелось бы также обратить ваше внимание на форму решения в приведённых примерах, так как строгость и последовательность изложения играют немаловажную роль при решении сложных задач. Надеемся, что разобранные задачи окажут вам помощь при подготовке к математическим сражениям в вашей школе, городе, области, а, может, и более весомым олимпиадам. Предисловие.
Принцип Дирихле.
Инварианты.
Метод математической индукции.