М.: МГУ, 2012. — 176 с.
Содержит следующие 15 лекций:
Тензоры и тензорные поля
Алгебраические операции над тензорами и тензорными полями
Алгебра внешних дифференциальных форм
Дифференцирование и интегрирование форм
Теорема Стокса
Когомологии де Рама
Ковариантное дифференцирование
Свойства ковариантного дифференцирования
Параллельный перенос и геодезические
Экстремальные свойства геодезических
Тензор кривизны
Случай римановой связности (тензор Римана)
Степень отображения
Другие применения степени отображения
Элементы вариационного исчисления В любой конкретной задаче, в конечном итоге, требуется определить поведение каких-нибудь числовых характеристик изучаемой системы. В простейшем случае эти числовые характеристики представляют собой функции, в более сложных они организуются в более сложные образования. Например, рассмотрим вектор в линейном пространстве Rn. Однако, чтобы производить реальные вычисления, нужно сначала фиксировать какие-нибудь координаты на конфигурационном пространстве рассматриваемой системы, скажем, фиксировать базис в Rn. Но, как только появляются координаты, так сразу требуется выяснить, как преобразуются наши числовые данные при замене координат. В простейшем случае - случае функции, значение функции в точке конфигурационного пространства не зависит от системы координат. Однако, в случае вектора в линейном пространстве Rп это уже не так: координаты вектора при линейной замене координат преобразуются с помощью матрицы перехода этой замены. В первой главе мы изучим естественное обобщение понятия "вектор" - понятие "тензор". Тензоры, говоря неформально, это числовые данные, заданные в линейном пространстве и меняющиеся при замене координат в линейном пространстве наиболее простым образом - полилинейным. В дифференциальной геометрии в качестве конфигурационного пространства выступают, конечно же, гладкие многообразия. В каждой точке гладкого многообразия имеется естественно определенное линейное пространство - касательное пространство к многообразию в данной точке. Поэтому в каждой точке многообразия можно задать тензор. Обычно в дифференциальной геометрии рассматривают не просто тензоры в касательном пространстве, а тензорные поля, т.е. тензоры в касательных пространствах, гладко зависящие от точки многообразия.
Тензоры и тензорные поля
Алгебраические операции над тензорами и тензорными полями
Алгебра внешних дифференциальных форм
Дифференцирование и интегрирование форм
Теорема Стокса
Когомологии де Рама
Ковариантное дифференцирование
Свойства ковариантного дифференцирования
Параллельный перенос и геодезические
Экстремальные свойства геодезических
Тензор кривизны
Случай римановой связности (тензор Римана)
Степень отображения
Другие применения степени отображения
Элементы вариационного исчисления В любой конкретной задаче, в конечном итоге, требуется определить поведение каких-нибудь числовых характеристик изучаемой системы. В простейшем случае эти числовые характеристики представляют собой функции, в более сложных они организуются в более сложные образования. Например, рассмотрим вектор в линейном пространстве Rn. Однако, чтобы производить реальные вычисления, нужно сначала фиксировать какие-нибудь координаты на конфигурационном пространстве рассматриваемой системы, скажем, фиксировать базис в Rn. Но, как только появляются координаты, так сразу требуется выяснить, как преобразуются наши числовые данные при замене координат. В простейшем случае - случае функции, значение функции в точке конфигурационного пространства не зависит от системы координат. Однако, в случае вектора в линейном пространстве Rп это уже не так: координаты вектора при линейной замене координат преобразуются с помощью матрицы перехода этой замены. В первой главе мы изучим естественное обобщение понятия "вектор" - понятие "тензор". Тензоры, говоря неформально, это числовые данные, заданные в линейном пространстве и меняющиеся при замене координат в линейном пространстве наиболее простым образом - полилинейным. В дифференциальной геометрии в качестве конфигурационного пространства выступают, конечно же, гладкие многообразия. В каждой точке гладкого многообразия имеется естественно определенное линейное пространство - касательное пространство к многообразию в данной точке. Поэтому в каждой точке многообразия можно задать тензор. Обычно в дифференциальной геометрии рассматривают не просто тензоры в касательном пространстве, а тензорные поля, т.е. тензоры в касательных пространствах, гладко зависящие от точки многообразия.