М.: МАТИ, 2002. — 360 с.
Справочное пособие по математике предназначено для студентов -
иностранцев довузовского этапа обучения; содержит основные сведения
по элементарной математике и основам математического анализа и
является базовым для подготовки иностранных граждан к обучению в
вузах России; отражает специфику преподавания математики на русском
языке как иностранном.
В основу работы над пособием положен многолетний опыт преподавания математики на русском языке как иностранном на кафедре общетеоретических дисциплин подготовительного факультета для иностранных граждан Московского автомобильно-дорожного института (государственного технический университета).
Изложение материала пособия ориентировано на поэтапное овладение обучающимися русским языком; в связи с этим текст пособия построен по принципу расширения математической терминологии и конструкций научного стиля речи русского языка.
При избрании системы преподнесения материала пособия авторы стремились учесть повторительный характер курса математики и вместе с тем, значительную неоднородность математической подготовки иностранных граждан, полученную ими на родине, а также достаточно короткий срок обучения на этапе довузовской подготовки (курс математики рассчитан не более чем на 200 академических часов в течение одного учебного года). Поэтому в основу структуры пособия положены доступность изложения материала, компактность, наглядность, выделение главных и второстепенных сведений при максимальном использовании таблиц и схем. Предисловие.
Начальные сведения.
Числа. Знаки. Действия.
Числа.
Знаки.
Натуральные числа.
Целые числа.
Рациональные числа.
Арифметические действия.
Действия с натуральными числами.
Действия с целыми числами.
Обыкновенные дроби. Свойства дроби.
Действия с обыкновенными дробями.
Действия с десятичными дробями.
Примеры.
Числовые множества. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Пропорции. Проценты.
Множества.
Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК).
Отношения. Пропорции.
Среднее арифметическое.
Проценты.
Примеры.
Степени и корни.
Степень. Определение.
Действия со степенями.
Корень. Арифметический корень.
Свойства корня.
Действия с арифметическими корнями.
Среднее геометрическое.
Множество иррациональных чисел. Множество действительных чисел.
Формулы сокращенного умножения.
Примеры.
Действия с алгебраическими выражениями.
Математические выражения. Определения.
Действия с одночленами.
Действия с многочленами.
Рациональные алгебраические дроби. Свойства и действия.
Действия с иррациональными выражениями.
Примеры.
Алгебраические уравнения. Системы алгебраических уравнений.
Основные понятия. Линейные уравнения.
Равенство. Тождество. Уравнение.
Равносильность уравнений.
Линейное уравнение с одной переменной.
Линейное уравнение с двумя переменными.
График линейного уравнения с двумя переменными.
Примеры.
Системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Система двух линейных уравнений с двумя переменными. Равносильные системы.
Способы решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Исследование решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Система трех линейных уравнений.
Примеры.
Разложение алгебраических дробей на простейшие дроби.
Квадратное уравнение. Уравнения, приводящиеся к квадратным.
Квадратное уравнение. Формула корней.
Частные случаи квадратных уравнений.
Теорема Виета.
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
Некоторые виды алгебраических уравнений.
Решение уравнений высших степеней.
Примеры.
Решение систем двух нелинейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки.
Метод алгебраического сложения.
Метод разложения на множители.
Метод замены переменной.
Решение систем с однородными выражениями.
Примеры.
Деление многочленов. Теорема Безу. Схема Горнера.
Основные понятия. Теорема Безу.
Схема Горнера.
Целые рациональные алгебраические уравнения и их свойства.
Примеры.
Неравенства.
Числовые неравенства.
Основные понятия.
Свойства числовых неравенств.
Действия с числовыми неравенствами (без доказательства).
Неравенства с одной переменной.
Основные понятия.
Равносильные неравенства.
Числовые интервалы.
Линейные неравенства с одной переменной.
Решение неравенств с одной переменной методом интервалов.
Решение квадратных неравенств с одной переменной.
Примеры.
Система и совокупность нескольких неравенств с одной переменной.
Общие понятия.
Решение системы и совокупности двух линейных неравенств с одной переменной.
Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
Решение иррациональных неравенств.
Примеры.
Функция. Основные понятия и свойства. Алгебраические функции.
Основные понятия о функции.
Определение функции.
Способы задания функции.
Классификация функций.
Некоторые основные свойства функции.
Функция, обратная данной (прямой) функции.
Преобразование графиков функций.
Примеры.
Некоторые алгебраические функции.
Линейная функция.
Линейная функция, содержащая переменную под знаком модуля.
Квадратичная функция.
Некоторые степенные функции. Графики и свойства.
Дробно-линейная функция.
Примеры.
Решение уравнений, неравенств и их систем при помощи графиков.
Графический способ решения уравнений с одной переменной.
График одного уравнения с двумя переменными.
Графический способ решения системы двух уравнений с двумя переменными.
Графический способ решения неравенств с одной переменной (на примере решения квадратных неравенств).
Графическое решение неравенств с двумя переменными.
Примеры.
Векторы.
Основные понятия и определения.
Скаляр и вектор.
Основные понятия.
Действия с векторами (в геометрической форме).
Проекции и координаты вектора.
Проекция вектора на ось.
Вектор в системе координат.
Действия с векторами в координатной форме.
Скалярное произведение двух векторов.
Примеры.
Векторное и смешанное произведение векторов.
Векторное произведение.
Смешанное произведение.
Тригонометрические функции.
Определение тригонометрических функций. Значения. Знаки. Периодичность. Четность. Нечетность.
Тригонометрические функции острого угла (аргумента α-острый угол прямоугольного треугольника). Определение.
Значение тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°.
Угол поворота.
Единичная (тригонометрическая) окружность.
Тригонометрические функции угла поворота.
Периодичность тригонометрических функций.
Четность и нечетность тригонометрических функций.
Примеры.
Зависимости между тригонометрическими функциями угла α (основные тригонометрические тождества). Решение некоторых задач.
Основные тригонометрические тождества.
Задача: найти значение всех тригонометрических функций по значению одной из них.
Задача: определить, в какой четверти находится угол, если известны знаки тригонометрических функций sin α, cos α.
Задача: построить угол по заданному значению тригонометрической функции.
Примеры.
Формулы для преобразования выражений, содержащих тригонометрические функции.
Формулы приведения.
Теоремы сложения. Формулы для преобразования тригонометрических функций суммы и разности двух углов.
Формулы двойного и тройного аргументов.
Формулы половинного аргумента.
Формулы универсальной подстановки.
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и суммы тригонометрических функций в произведение (обратные преобразования).
Примеры.
Тригонометрические функции числового аргумента. Графики. Свойства.
Периодичность тригонометрических функций.
Тригонометрические функции числового аргумента.
Функция у = sin x. График. Свойства.
Функция у = cos х. График. Свойства.
Функция у = tg х. График. Свойства.
Функция у = ctg х. График. Свойства.
Примеры.
Тригонометрические уравнения.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Некоторые способы решения тригонометрически уравнений.
Примеры.
Тригонометрические неравенства.
Определение.
Решение простейших тригонометрических неравенств.
Примеры.
Обратные тригонометрические функции.
Функции у = arcsin x, обратная функция у = sin x.
Функция у = аrссоs х, обратная функция y = cos x.
Функция у = arctg x, обратная функция у = tg x.
Некоторые зависимости для обратных тригонометрических функций.
Примеры.
Дополнительные упражнения к главе.
Показательная функция. Логарифм. Логарифмическая функция. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
Показательная функция.
Обобщение понятия степени ax.
Показательная функция. Определение и графики.
Свойства показательной функции у = ax (при а 1, 0 а 1).
Примеры.
Показательные уравнения.
Основные понятия.
Способы решения показательных уравнений.
Примеры.
Показательные неравенства.
Основные понятия.
Примеры.
Логарифмы.
Определение логарифма.
Логарифмические тождества.
Теоремы (формулы, правила) логарифмирования.
Системы логарифмов.
Логарифмирование и потенцирование.
Примеры.
Логарифмическая функция.
Определение логарифмической функции и ее график.
Свойства логарифмической функции.
Примеры.
Логарифмические уравнения.
Основные понятия.
Способы решения логарифмических уравнений.
Примеры.
Логарифмические неравенства.
Основные понятия.
Примеры.
Элементы математического анализа.
Предел функции y = f(x). Основные понятия.
Изменение переменных.
Определение предела функции y = f(x).
Некоторые определения и теоремы теории пределов.
Признаки существования предела. Замечательные пределы.
Вычисление пределов функций.
Примеры.
Производная. Основные понятия.
Непрерывность функции. Приращение аргумента и приращение функции.
Определение производной функции. Дифференцирование.
Таблица производных основных элементарных функций.
Механический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к кривой.
Правила (теоремы) дифференцирования.
Некоторые дополнительные понятия.
Примеры.
Исследование свойств функции y = f(x) и построение эскиза графика.
Общая схема исследования свойств функции.
Область определения функции y = f(x).
Множество значений функции y = f(x).
Четность и нечетность функции y = f(x).
Периодичность функции y = f(x).
Точки пересечения графика функции y = f(x) с осями координат.
Интервалы постоянного знака.
Интервалы монотонности функции y = f(x).
Экстремумы функции y = f(x).
Асимптоты к графику функции y = f(x).
Наибольшее и наименьшее значение функции в некотором интервале.
Примеры.
Интеграл. Основные понятия.
Первообразная функция.
Неопределенный интеграл.
Таблица интегралов некоторых функций.
Свойства неопределенного интеграла.
Определенный интеграл.
Связь между определенным и неопределенным интегралами.
Примеры.
Числовые последовательности. Прогрессии.
Числовые последовательности.
Арифметическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия.
Понятие о пределе числовой последовательности.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Примеры к главе.
Геометрия.
Первичные понятия.
Некоторые основные понятия.
Планиметрия. Основные понятия.
Элементарные понятия планиметрии.
Углы. Виды углов.
Параллельные прямые. Углы при параллельных прямых.
Выпуклые многоугольники.
Треугольники.
Треугольники. Элементы треугольника.
Классификация треугольников.
Равенство треугольников.
Подобие треугольников.
Площадь треугольников.
Четырехугольники.
Классификация четырехугольников.
Параллелограмм.
Прямоугольник.
Ромб.
Квадрат.
Трапеция.
Вписанные и описанные многоугольники и четырехугольники.
Окружность.
Стереометрия. Прямые и плоскости в пространстве.
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Параллельность прямой и плоскости.
Параллельность двух плоскостей.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Пересечение двух плоскостей. Двугранный угол.
Многогранники. Виды многогранников.
Многогранные углы.
Многогранники.
Призма.
Параллелепипед.
Пирамида.
Правильные многогранники.
Тела вращения.
Цилиндр.
Конус.
Шар.
Предметный указатель.
В основу работы над пособием положен многолетний опыт преподавания математики на русском языке как иностранном на кафедре общетеоретических дисциплин подготовительного факультета для иностранных граждан Московского автомобильно-дорожного института (государственного технический университета).
Изложение материала пособия ориентировано на поэтапное овладение обучающимися русским языком; в связи с этим текст пособия построен по принципу расширения математической терминологии и конструкций научного стиля речи русского языка.
При избрании системы преподнесения материала пособия авторы стремились учесть повторительный характер курса математики и вместе с тем, значительную неоднородность математической подготовки иностранных граждан, полученную ими на родине, а также достаточно короткий срок обучения на этапе довузовской подготовки (курс математики рассчитан не более чем на 200 академических часов в течение одного учебного года). Поэтому в основу структуры пособия положены доступность изложения материала, компактность, наглядность, выделение главных и второстепенных сведений при максимальном использовании таблиц и схем. Предисловие.
Начальные сведения.
Числа. Знаки. Действия.
Числа.
Знаки.
Натуральные числа.
Целые числа.
Рациональные числа.
Арифметические действия.
Действия с натуральными числами.
Действия с целыми числами.
Обыкновенные дроби. Свойства дроби.
Действия с обыкновенными дробями.
Действия с десятичными дробями.
Примеры.
Числовые множества. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Пропорции. Проценты.
Множества.
Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК).
Отношения. Пропорции.
Среднее арифметическое.
Проценты.
Примеры.
Степени и корни.
Степень. Определение.
Действия со степенями.
Корень. Арифметический корень.
Свойства корня.
Действия с арифметическими корнями.
Среднее геометрическое.
Множество иррациональных чисел. Множество действительных чисел.
Формулы сокращенного умножения.
Примеры.
Действия с алгебраическими выражениями.
Математические выражения. Определения.
Действия с одночленами.
Действия с многочленами.
Рациональные алгебраические дроби. Свойства и действия.
Действия с иррациональными выражениями.
Примеры.
Алгебраические уравнения. Системы алгебраических уравнений.
Основные понятия. Линейные уравнения.
Равенство. Тождество. Уравнение.
Равносильность уравнений.
Линейное уравнение с одной переменной.
Линейное уравнение с двумя переменными.
График линейного уравнения с двумя переменными.
Примеры.
Системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Система двух линейных уравнений с двумя переменными. Равносильные системы.
Способы решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Исследование решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Система трех линейных уравнений.
Примеры.
Разложение алгебраических дробей на простейшие дроби.
Квадратное уравнение. Уравнения, приводящиеся к квадратным.
Квадратное уравнение. Формула корней.
Частные случаи квадратных уравнений.
Теорема Виета.
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
Некоторые виды алгебраических уравнений.
Решение уравнений высших степеней.
Примеры.
Решение систем двух нелинейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки.
Метод алгебраического сложения.
Метод разложения на множители.
Метод замены переменной.
Решение систем с однородными выражениями.
Примеры.
Деление многочленов. Теорема Безу. Схема Горнера.
Основные понятия. Теорема Безу.
Схема Горнера.
Целые рациональные алгебраические уравнения и их свойства.
Примеры.
Неравенства.
Числовые неравенства.
Основные понятия.
Свойства числовых неравенств.
Действия с числовыми неравенствами (без доказательства).
Неравенства с одной переменной.
Основные понятия.
Равносильные неравенства.
Числовые интервалы.
Линейные неравенства с одной переменной.
Решение неравенств с одной переменной методом интервалов.
Решение квадратных неравенств с одной переменной.
Примеры.
Система и совокупность нескольких неравенств с одной переменной.
Общие понятия.
Решение системы и совокупности двух линейных неравенств с одной переменной.
Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
Решение иррациональных неравенств.
Примеры.
Функция. Основные понятия и свойства. Алгебраические функции.
Основные понятия о функции.
Определение функции.
Способы задания функции.
Классификация функций.
Некоторые основные свойства функции.
Функция, обратная данной (прямой) функции.
Преобразование графиков функций.
Примеры.
Некоторые алгебраические функции.
Линейная функция.
Линейная функция, содержащая переменную под знаком модуля.
Квадратичная функция.
Некоторые степенные функции. Графики и свойства.
Дробно-линейная функция.
Примеры.
Решение уравнений, неравенств и их систем при помощи графиков.
Графический способ решения уравнений с одной переменной.
График одного уравнения с двумя переменными.
Графический способ решения системы двух уравнений с двумя переменными.
Графический способ решения неравенств с одной переменной (на примере решения квадратных неравенств).
Графическое решение неравенств с двумя переменными.
Примеры.
Векторы.
Основные понятия и определения.
Скаляр и вектор.
Основные понятия.
Действия с векторами (в геометрической форме).
Проекции и координаты вектора.
Проекция вектора на ось.
Вектор в системе координат.
Действия с векторами в координатной форме.
Скалярное произведение двух векторов.
Примеры.
Векторное и смешанное произведение векторов.
Векторное произведение.
Смешанное произведение.
Тригонометрические функции.
Определение тригонометрических функций. Значения. Знаки. Периодичность. Четность. Нечетность.
Тригонометрические функции острого угла (аргумента α-острый угол прямоугольного треугольника). Определение.
Значение тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°.
Угол поворота.
Единичная (тригонометрическая) окружность.
Тригонометрические функции угла поворота.
Периодичность тригонометрических функций.
Четность и нечетность тригонометрических функций.
Примеры.
Зависимости между тригонометрическими функциями угла α (основные тригонометрические тождества). Решение некоторых задач.
Основные тригонометрические тождества.
Задача: найти значение всех тригонометрических функций по значению одной из них.
Задача: определить, в какой четверти находится угол, если известны знаки тригонометрических функций sin α, cos α.
Задача: построить угол по заданному значению тригонометрической функции.
Примеры.
Формулы для преобразования выражений, содержащих тригонометрические функции.
Формулы приведения.
Теоремы сложения. Формулы для преобразования тригонометрических функций суммы и разности двух углов.
Формулы двойного и тройного аргументов.
Формулы половинного аргумента.
Формулы универсальной подстановки.
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и суммы тригонометрических функций в произведение (обратные преобразования).
Примеры.
Тригонометрические функции числового аргумента. Графики. Свойства.
Периодичность тригонометрических функций.
Тригонометрические функции числового аргумента.
Функция у = sin x. График. Свойства.
Функция у = cos х. График. Свойства.
Функция у = tg х. График. Свойства.
Функция у = ctg х. График. Свойства.
Примеры.
Тригонометрические уравнения.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Некоторые способы решения тригонометрически уравнений.
Примеры.
Тригонометрические неравенства.
Определение.
Решение простейших тригонометрических неравенств.
Примеры.
Обратные тригонометрические функции.
Функции у = arcsin x, обратная функция у = sin x.
Функция у = аrссоs х, обратная функция y = cos x.
Функция у = arctg x, обратная функция у = tg x.
Некоторые зависимости для обратных тригонометрических функций.
Примеры.
Дополнительные упражнения к главе.
Показательная функция. Логарифм. Логарифмическая функция. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
Показательная функция.
Обобщение понятия степени ax.
Показательная функция. Определение и графики.
Свойства показательной функции у = ax (при а 1, 0 а 1).
Примеры.
Показательные уравнения.
Основные понятия.
Способы решения показательных уравнений.
Примеры.
Показательные неравенства.
Основные понятия.
Примеры.
Логарифмы.
Определение логарифма.
Логарифмические тождества.
Теоремы (формулы, правила) логарифмирования.
Системы логарифмов.
Логарифмирование и потенцирование.
Примеры.
Логарифмическая функция.
Определение логарифмической функции и ее график.
Свойства логарифмической функции.
Примеры.
Логарифмические уравнения.
Основные понятия.
Способы решения логарифмических уравнений.
Примеры.
Логарифмические неравенства.
Основные понятия.
Примеры.
Элементы математического анализа.
Предел функции y = f(x). Основные понятия.
Изменение переменных.
Определение предела функции y = f(x).
Некоторые определения и теоремы теории пределов.
Признаки существования предела. Замечательные пределы.
Вычисление пределов функций.
Примеры.
Производная. Основные понятия.
Непрерывность функции. Приращение аргумента и приращение функции.
Определение производной функции. Дифференцирование.
Таблица производных основных элементарных функций.
Механический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к кривой.
Правила (теоремы) дифференцирования.
Некоторые дополнительные понятия.
Примеры.
Исследование свойств функции y = f(x) и построение эскиза графика.
Общая схема исследования свойств функции.
Область определения функции y = f(x).
Множество значений функции y = f(x).
Четность и нечетность функции y = f(x).
Периодичность функции y = f(x).
Точки пересечения графика функции y = f(x) с осями координат.
Интервалы постоянного знака.
Интервалы монотонности функции y = f(x).
Экстремумы функции y = f(x).
Асимптоты к графику функции y = f(x).
Наибольшее и наименьшее значение функции в некотором интервале.
Примеры.
Интеграл. Основные понятия.
Первообразная функция.
Неопределенный интеграл.
Таблица интегралов некоторых функций.
Свойства неопределенного интеграла.
Определенный интеграл.
Связь между определенным и неопределенным интегралами.
Примеры.
Числовые последовательности. Прогрессии.
Числовые последовательности.
Арифметическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия.
Понятие о пределе числовой последовательности.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Примеры к главе.
Геометрия.
Первичные понятия.
Некоторые основные понятия.
Планиметрия. Основные понятия.
Элементарные понятия планиметрии.
Углы. Виды углов.
Параллельные прямые. Углы при параллельных прямых.
Выпуклые многоугольники.
Треугольники.
Треугольники. Элементы треугольника.
Классификация треугольников.
Равенство треугольников.
Подобие треугольников.
Площадь треугольников.
Четырехугольники.
Классификация четырехугольников.
Параллелограмм.
Прямоугольник.
Ромб.
Квадрат.
Трапеция.
Вписанные и описанные многоугольники и четырехугольники.
Окружность.
Стереометрия. Прямые и плоскости в пространстве.
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Параллельность прямой и плоскости.
Параллельность двух плоскостей.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Пересечение двух плоскостей. Двугранный угол.
Многогранники. Виды многогранников.
Многогранные углы.
Многогранники.
Призма.
Параллелепипед.
Пирамида.
Правильные многогранники.
Тела вращения.
Цилиндр.
Конус.
Шар.
Предметный указатель.