Пер. с англ. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. - 264 с.
Предисловие.
Цель, поставленная мною в этой книге,— изучить линейные операторы на конечномерных векторных пространствах методами более общих теорий. Идея заключается в выдвижении на первый план простых геометрических понятий, общих для многих разделов математики и ее применений, притом на языке, выдающем профессиональные секреты и показывающем читателю действительный ход мыслей тех, кто доказывает теоремы об интегральных уравнениях и гильбертовых пространствах. Однако мое, субъективное освещение вопроса отнюдь не должно
разделяться читателем. Если не считать редких ссылок на курс математики для высшей школы, книга представляет собой самостоятельное целое и может быть прочитана любым, кто стремится глубже ознакомиться с линейными проблемами, обычно рассматриваемыми в курсах теории матриц или «высшей» алгебры. Пространства.
Поля.
Векторные пространства.
Примеры.
Замечания.
Линейная зависимость.
Линейные комбинации.
Базисы.
Размерность.
Изоморфизм.
Подпространства.
Действия над подпространствами.
Размерность подпространства.
Сопряженные пространства.
Скобки.
Сопряженные базисы.
Рефлексивность.
Аннуляторы.
Прямые суммы.
Размерность прямой суммы.
Сопряженное к прямой сумме.
Факторпространства.
Размерность факторпространства.
Билинейные формы.
Тензорные произведения.
Произведение базисов.
Перестановки.
Циклы.
Четность.
Полилинейные формы.
Знакопеременные формы.
Знакопеременные формы максимальной степени.
Операторы.
линейные операторы.
Линейные операторы как векторы.
Произведения.
Полиномы.
Обратимость.
Матрицы.
Матрицы операторов.
Инвариантность.
Приводимость.
Проекторы.
Комбинации проекторов.
Проекторы и инвариантность.
Сопряженные операторы.
Сопряженные проекторы.
Изменение базиса.
Подобие.
Фактороператоры.
Область значений и нуль-пространство.
Ранг и дефект.
Операторы ранга один.
Тензорные произведения операторов.
Определители.
Собственные значения.
Кратность.
Треугольный вид.
Нильпотентность.
Жорданова форма.
Ортогональность.
Скалярные произведения.
Комплексные скалярные произведения.
Пространства со скалярным произведением.
Ортогональность.
Полнота.
Неравенство Шварца.
Полные ортонормальные множества.
Теорема об ортогональном разложении.
Линейные функционалы.
Круглые скобки против квадратных.
Естественный изоморфизм.
Самосопряженные операторы.
Поляризация.
Положительные операторы.
Изометрии.
Изменение ортогонального базиса.
Перпендикулярные проекторы.
Комбинации перпендикулярных проекторов.
Комплексификация.
Характеризация спектра.
Нормальные операторы.
Функции от операторов.
Полярное разложение.
Перестановочность.
Самосопряженные операторы ранга один.
Анализ.
Сходимость векторов.
Норма.
Выражения для нормы.
Нормы самосопряженных операторов.
Принцип минимакса.
Сходимость линейных операторов.
Эргодическая теорема.
Степенные ряды.
Приложение. Гильбертово пространство.
Цель, поставленная мною в этой книге,— изучить линейные операторы на конечномерных векторных пространствах методами более общих теорий. Идея заключается в выдвижении на первый план простых геометрических понятий, общих для многих разделов математики и ее применений, притом на языке, выдающем профессиональные секреты и показывающем читателю действительный ход мыслей тех, кто доказывает теоремы об интегральных уравнениях и гильбертовых пространствах. Однако мое, субъективное освещение вопроса отнюдь не должно
разделяться читателем. Если не считать редких ссылок на курс математики для высшей школы, книга представляет собой самостоятельное целое и может быть прочитана любым, кто стремится глубже ознакомиться с линейными проблемами, обычно рассматриваемыми в курсах теории матриц или «высшей» алгебры. Пространства.
Поля.
Векторные пространства.
Примеры.
Замечания.
Линейная зависимость.
Линейные комбинации.
Базисы.
Размерность.
Изоморфизм.
Подпространства.
Действия над подпространствами.
Размерность подпространства.
Сопряженные пространства.
Скобки.
Сопряженные базисы.
Рефлексивность.
Аннуляторы.
Прямые суммы.
Размерность прямой суммы.
Сопряженное к прямой сумме.
Факторпространства.
Размерность факторпространства.
Билинейные формы.
Тензорные произведения.
Произведение базисов.
Перестановки.
Циклы.
Четность.
Полилинейные формы.
Знакопеременные формы.
Знакопеременные формы максимальной степени.
Операторы.
линейные операторы.
Линейные операторы как векторы.
Произведения.
Полиномы.
Обратимость.
Матрицы.
Матрицы операторов.
Инвариантность.
Приводимость.
Проекторы.
Комбинации проекторов.
Проекторы и инвариантность.
Сопряженные операторы.
Сопряженные проекторы.
Изменение базиса.
Подобие.
Фактороператоры.
Область значений и нуль-пространство.
Ранг и дефект.
Операторы ранга один.
Тензорные произведения операторов.
Определители.
Собственные значения.
Кратность.
Треугольный вид.
Нильпотентность.
Жорданова форма.
Ортогональность.
Скалярные произведения.
Комплексные скалярные произведения.
Пространства со скалярным произведением.
Ортогональность.
Полнота.
Неравенство Шварца.
Полные ортонормальные множества.
Теорема об ортогональном разложении.
Линейные функционалы.
Круглые скобки против квадратных.
Естественный изоморфизм.
Самосопряженные операторы.
Поляризация.
Положительные операторы.
Изометрии.
Изменение ортогонального базиса.
Перпендикулярные проекторы.
Комбинации перпендикулярных проекторов.
Комплексификация.
Характеризация спектра.
Нормальные операторы.
Функции от операторов.
Полярное разложение.
Перестановочность.
Самосопряженные операторы ранга один.
Анализ.
Сходимость векторов.
Норма.
Выражения для нормы.
Нормы самосопряженных операторов.
Принцип минимакса.
Сходимость линейных операторов.
Эргодическая теорема.
Степенные ряды.
Приложение. Гильбертово пространство.