М., Мир, 1973 г. – 188 с.
Первая часть этой книги представляет собой введение в
дифференциальную геометрию: исчисление внешних форм, векторные
расслоения, дифференцируемые многообразия, дифференциальное и
интегральное исчисление на многообразиях. Предполагается, что
читателю известны только элементы линейной алгебры, общей топологии
и дифференциального исчисления (в объеме, например, первого года
старшего цикла обучения).
Вторая часть посвящена аналитической механике. В ней, кроме того, изучается класс дифференциальной формы и излагается геометрия касательного расслоения и дифференциальное исчисление на этом расслоении.
Эта книга возникла из серии докладов, сделанных в 1967 г. в Страсбурге на семинаре по траекториям. Интерес, проявленный к этому материалу П. Картье, оказался решающим для его публикации. Многочисленные обсуждения с Ж. Рибом и Ж. Мартине были весьма полезны при подготовке рукописи.
К. Годбийон, Страсбург, февраль 1968 г. Предисловие
Алгебра внешних форм
Двойственность и ортогональность
Внешние формы
Тензорное произведение
Внешнее произведение
Алгебра внешних форм
Внутреннее произведение
Ассоциированная система и ранг внешней формы
Внешние формы степени
Приложение. Ориентация вещественного векторного пространства
Векторные расслоения
Локально тривиальные расслоения
Векторные расслоения
Ассоциированные расслоения. Ориентация
Подрасслоения. Фактор расслоения. Сумма Уитни
Дифференцируемые многообразия
Гладкие структуры
Дифференцируемые отображения
Прямое произведение многообразий. Дифференцируемые векторные расслоения
Касательное расслоение
Ранг отображения. Подмногообразия
Векторные поля
Дифференциальные формы
Приложение. Римановы структуры
Дифференциальное и интегральное исчисление на многообразиях
Дифференцирования и антидифференцирования
Внешнее дифференцирование
Дифференцирование Ли
Интегрирование дифференциальных форм
Дифференциальные уравнения и дифференциальные системы на многообразиях
Интегрирование векторных полей
Однопараметрические группы и дифференцирования
Дифференциальные системы
Системы Пфаффа
Характеристическая система и класс дифференциальной формы
Характеристическая система и класс
Характеристические векторные поля и формы
Дифференциальные формы постоянного класса
Локальные модели дифференциальных форм степени 1 и 2
Гамильтоновы системы и контактные структуры
Симплектические многообразия
Скобка Пуассона
Гамильтоновы системы
Первые интегралы гамильтоновых систем
Контактные структуры
Инвариантные формы. Интегральные инварианты
Инвариантные формы
Инвариантные формы объема
Абсолютные интегральные инварианты
Относительные интегральные инварианты
Интегральные отношения инвариантности
Второе касательное расслоение
Касательное расслоение векторного расслоения
Второе касательное расслоение
Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальное исчисление на пространствах
Вертикальный эндоморфизм
Вертикальное дифференцирование
Вертикальное антидифференцирование
Полубазисные дифференциальные формы
Однородные дифференциальные формы
Аналитическая механика
Механические системы
Лагранжевы системы
Преобразование Лежандра
Литература
Предметный указатель
Вторая часть посвящена аналитической механике. В ней, кроме того, изучается класс дифференциальной формы и излагается геометрия касательного расслоения и дифференциальное исчисление на этом расслоении.
Эта книга возникла из серии докладов, сделанных в 1967 г. в Страсбурге на семинаре по траекториям. Интерес, проявленный к этому материалу П. Картье, оказался решающим для его публикации. Многочисленные обсуждения с Ж. Рибом и Ж. Мартине были весьма полезны при подготовке рукописи.
К. Годбийон, Страсбург, февраль 1968 г. Предисловие
Алгебра внешних форм
Двойственность и ортогональность
Внешние формы
Тензорное произведение
Внешнее произведение
Алгебра внешних форм
Внутреннее произведение
Ассоциированная система и ранг внешней формы
Внешние формы степени
Приложение. Ориентация вещественного векторного пространства
Векторные расслоения
Локально тривиальные расслоения
Векторные расслоения
Ассоциированные расслоения. Ориентация
Подрасслоения. Фактор расслоения. Сумма Уитни
Дифференцируемые многообразия
Гладкие структуры
Дифференцируемые отображения
Прямое произведение многообразий. Дифференцируемые векторные расслоения
Касательное расслоение
Ранг отображения. Подмногообразия
Векторные поля
Дифференциальные формы
Приложение. Римановы структуры
Дифференциальное и интегральное исчисление на многообразиях
Дифференцирования и антидифференцирования
Внешнее дифференцирование
Дифференцирование Ли
Интегрирование дифференциальных форм
Дифференциальные уравнения и дифференциальные системы на многообразиях
Интегрирование векторных полей
Однопараметрические группы и дифференцирования
Дифференциальные системы
Системы Пфаффа
Характеристическая система и класс дифференциальной формы
Характеристическая система и класс
Характеристические векторные поля и формы
Дифференциальные формы постоянного класса
Локальные модели дифференциальных форм степени 1 и 2
Гамильтоновы системы и контактные структуры
Симплектические многообразия
Скобка Пуассона
Гамильтоновы системы
Первые интегралы гамильтоновых систем
Контактные структуры
Инвариантные формы. Интегральные инварианты
Инвариантные формы
Инвариантные формы объема
Абсолютные интегральные инварианты
Относительные интегральные инварианты
Интегральные отношения инвариантности
Второе касательное расслоение
Касательное расслоение векторного расслоения
Второе касательное расслоение
Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальное исчисление на пространствах
Вертикальный эндоморфизм
Вертикальное дифференцирование
Вертикальное антидифференцирование
Полубазисные дифференциальные формы
Однородные дифференциальные формы
Аналитическая механика
Механические системы
Лагранжевы системы
Преобразование Лежандра
Литература
Предметный указатель