Учебное пособие. Пензенский государственный университет, 2005. -
112с.
Учебное пособие содержит следующие разделы: 1 Основные понятия
геометрии - векторную аксиоматику Г. Вейля аффинной геометрии,
основные свойства прямых и плоскостей; скалярное произведение
векторов и пространства со скалярным произведением, в основе их
лежит аффинное пространство: евклидово, псевдоевклидово, галилеево;
понятие многообразий - евклидова, псевдоевклидова, галилеева;
понятие метрического пространства.
2. Евклидова дифференциальная геометрия и топология - геометрия кривых и поверхностей, элементы внутренней геометрии поверхностей, первые понятия топологии.
3. Элементы собственной геометрии поверхностей - вводится понятие одуля Ли геометрических преобразований; геодезические рассматриваются как траектории преобразований, линии постоянных кривизн как траектории движений; поверхности траекторий как аналог аффинных плоскостей; геодезические координаты на поверхностях. Учебное пособие предназначено студентам второго курса университета, содержит весь материал, предусмотренный программой. Изложение сжато и оригинально. Понятия невклидовых многообразий в разделе 1 и раздел 3 в учебной литературе рассматриваются впервые Предисловие.
Аффинное и евклидовы пространства.
Основные аффинные понятия.
Аффинное пространство.
Точки и векторы.
Векторная аксиоматика.
Линейное пространство.
Координаты векторов.
Подпространства, оболочки.
Координаты точек.
Прямые и плоскости.
Прямые аффинного пространства.
Плоскости.
Преобразования аффинного пространства.
Группа.
Группа Ли.
Преобразования множеств.
Аффинные преобразования.
Коллинеации.
Канонические преобразования аффинного пространства.
Мультипликативные 2-мерные линейные пространства.
Основные понятия евклидовой геометрии.
Пространства со скалярным произведением.
Скалярное произведение векторов.
Норма векторов.
Евклидово (собственно евклидово) скалярное произведение векторов.
Псевдоевклидово скалярное произведение векторов.
Галилеево скалярное произведение векторов.
Галилеева норма векторов.
Норма (метрика) на множестве.
Векторные функции.
Векторные функции.
Дифференцирование векторных функций.
Евклидовы точечные пространства.
Получение евклидовых точечных пространств.
Собственно евклидово пространство.
Псевлоевклидово пространство.
Галилеево пространство.
Полуевклидова плоскость.
Многообразия.
Топологическое пространство.
Многообразие.
Псевдоевклидово многообразие.
Галилеево многообразие.
Евклидова дифференциальная геометрия и топология.
Евклидова дифференциальная геометрия.
Кривые евклидова пространства.
Регулярная кривая.
Длина дуги. Естественный параметр кривой.
Касательная прямая и нормальная плоскость кривой.
Касательное отображение и касательное расслоение.
Соприкасающаяся плоскость.
Сопровождающий репер кривой.
Кривизна и кручение кривой.
Кривизна кривой.
Кручение кривой.
Формулы Френе.
Уплощение кривой.
Вычислительные формулы для кривизны и кручения кривой.
Прямая, окружность, винтовая линия.
Задание кривой функциями кривизны и кручения.
Линии постоянных кривизн.
Строение кривой вблизи обыкновенной точки.
Поверхности евклидова пространства.
Регулярная поверхность.
Линии на поверхности.
Касательная плоскость и нормаль поверхности.
Первая основная квадратичная форма поверхности.
Метрика на поверхности.
Кривизна поверхности.
Кривизна линий на поверхности.
Индикатриса кривизны.
Классфикация обыкновенных точек поверхности.
Главные кривизны на поверхности.
Вычисление полной и средней кривизн поверхности.
Плоскость, сфера, псевдосфера.
Основные понятия внутренней геометрии поверхности.
Об определяемости поверхности.
О внутренней геометрии поверхности.
Деривационные формулы поверхности.
Основные уравнения теории поверхностей.
Геодезическая кривизна поверхности.
Геодезическая кривизна линии на поверхности.
Геодезические линии.
Элементы топологии.
Основные понятия топологического пространства.
Метрические и топологические пространства.
Непрерывность и гомеоморфизм.
Отделимость. Компактность. Связность.
О замкнутых поверхностях.
Разрезание и склеивание.
Элементы классфикации замкнутых компактных поверхностей без границы.
Одули Ли преобразований.
Разрешимые 3-мерные одули Ли.
Одули.
Одули Ли.
2-мерные одули Ли.
3-мерные разрешимые одули Ли.
Генетический код одуля Ли.
Пододули одулей Ли.
Порождаемость одулей Ли.
Пододули аффинного одуля.
Одули Ли и мультипликативные пространства.
Вейлевские одулярные пространства.
Определение вейлевского одулярного пространства.
Прямые и плоскости ВО-пространств.
ВО-пространства с галилеевой метрикой.
Траектории и пoверхности траекторий.
Траектории преобразований.
[i]Уравнения траекторий преобразований.
Примеры траекторий.
Свойства траекторий. Геодезические.
Траектории движений.
Поверхности траекторий.
[i]Одулярные поверхности траекторий.
Примеры одулярных поверхностей траекторий.
Собстенная геометрия одулярной поверхности траекторий.
Поверхности с одулем размерности больше 2.
Цитированная литература.
2. Евклидова дифференциальная геометрия и топология - геометрия кривых и поверхностей, элементы внутренней геометрии поверхностей, первые понятия топологии.
3. Элементы собственной геометрии поверхностей - вводится понятие одуля Ли геометрических преобразований; геодезические рассматриваются как траектории преобразований, линии постоянных кривизн как траектории движений; поверхности траекторий как аналог аффинных плоскостей; геодезические координаты на поверхностях. Учебное пособие предназначено студентам второго курса университета, содержит весь материал, предусмотренный программой. Изложение сжато и оригинально. Понятия невклидовых многообразий в разделе 1 и раздел 3 в учебной литературе рассматриваются впервые Предисловие.
Аффинное и евклидовы пространства.
Основные аффинные понятия.
Аффинное пространство.
Точки и векторы.
Векторная аксиоматика.
Линейное пространство.
Координаты векторов.
Подпространства, оболочки.
Координаты точек.
Прямые и плоскости.
Прямые аффинного пространства.
Плоскости.
Преобразования аффинного пространства.
Группа.
Группа Ли.
Преобразования множеств.
Аффинные преобразования.
Коллинеации.
Канонические преобразования аффинного пространства.
Мультипликативные 2-мерные линейные пространства.
Основные понятия евклидовой геометрии.
Пространства со скалярным произведением.
Скалярное произведение векторов.
Норма векторов.
Евклидово (собственно евклидово) скалярное произведение векторов.
Псевдоевклидово скалярное произведение векторов.
Галилеево скалярное произведение векторов.
Галилеева норма векторов.
Норма (метрика) на множестве.
Векторные функции.
Векторные функции.
Дифференцирование векторных функций.
Евклидовы точечные пространства.
Получение евклидовых точечных пространств.
Собственно евклидово пространство.
Псевлоевклидово пространство.
Галилеево пространство.
Полуевклидова плоскость.
Многообразия.
Топологическое пространство.
Многообразие.
Псевдоевклидово многообразие.
Галилеево многообразие.
Евклидова дифференциальная геометрия и топология.
Евклидова дифференциальная геометрия.
Кривые евклидова пространства.
Регулярная кривая.
Длина дуги. Естественный параметр кривой.
Касательная прямая и нормальная плоскость кривой.
Касательное отображение и касательное расслоение.
Соприкасающаяся плоскость.
Сопровождающий репер кривой.
Кривизна и кручение кривой.
Кривизна кривой.
Кручение кривой.
Формулы Френе.
Уплощение кривой.
Вычислительные формулы для кривизны и кручения кривой.
Прямая, окружность, винтовая линия.
Задание кривой функциями кривизны и кручения.
Линии постоянных кривизн.
Строение кривой вблизи обыкновенной точки.
Поверхности евклидова пространства.
Регулярная поверхность.
Линии на поверхности.
Касательная плоскость и нормаль поверхности.
Первая основная квадратичная форма поверхности.
Метрика на поверхности.
Кривизна поверхности.
Кривизна линий на поверхности.
Индикатриса кривизны.
Классфикация обыкновенных точек поверхности.
Главные кривизны на поверхности.
Вычисление полной и средней кривизн поверхности.
Плоскость, сфера, псевдосфера.
Основные понятия внутренней геометрии поверхности.
Об определяемости поверхности.
О внутренней геометрии поверхности.
Деривационные формулы поверхности.
Основные уравнения теории поверхностей.
Геодезическая кривизна поверхности.
Геодезическая кривизна линии на поверхности.
Геодезические линии.
Элементы топологии.
Основные понятия топологического пространства.
Метрические и топологические пространства.
Непрерывность и гомеоморфизм.
Отделимость. Компактность. Связность.
О замкнутых поверхностях.
Разрезание и склеивание.
Элементы классфикации замкнутых компактных поверхностей без границы.
Одули Ли преобразований.
Разрешимые 3-мерные одули Ли.
Одули.
Одули Ли.
2-мерные одули Ли.
3-мерные разрешимые одули Ли.
Генетический код одуля Ли.
Пододули одулей Ли.
Порождаемость одулей Ли.
Пододули аффинного одуля.
Одули Ли и мультипликативные пространства.
Вейлевские одулярные пространства.
Определение вейлевского одулярного пространства.
Прямые и плоскости ВО-пространств.
ВО-пространства с галилеевой метрикой.
Траектории и пoверхности траекторий.
Траектории преобразований.
[i]Уравнения траекторий преобразований.
Примеры траекторий.
Свойства траекторий. Геодезические.
Траектории движений.
Поверхности траекторий.
[i]Одулярные поверхности траекторий.
Примеры одулярных поверхностей траекторий.
Собстенная геометрия одулярной поверхности траекторий.
Поверхности с одулем размерности больше 2.
Цитированная литература.