Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными

пер. Н.Д. Введенская, ред. С.Г. Михлин. - М.: Издательство иностранной литературы, 1958. - 156 с. В небольшой монографии Ф. Иона с достаточной полнотой обрисованы некоторые новые возможности классического метода плоских волн и сферических средних применительно к дифференциальным уравнениям с частными производными. Можно считать, что в этом направлении книга является дополнением и развитием соответствующих разделов широко известного труда Д. Гильберта и Р. Куранта "Методы математической физики". В числе наиболее важных вопросов, рассмотренных в книге Ф. Иона, можно назвать: решение задачи Коши для однородного гиперболического уравнения, построение фундаментальных решений и изучение дифференциальных свойств решений эллиптических уравнений и систем, оценки производных решений эллиптических уравнений и др.
Изложение четкое и доступное. Книга будет весьма полезной для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников физико-математических специальностей. Разложение произвольных функций по плоским волнам
Обозначения
Сферическое среднее функции одной переменной
Представление функции через ее плоские интегралы
Задача Коши для однородных гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами
Гиперболические уравнения
Геометрия нормальной поверхности для строго гиперболического уравнения
Решение задачи Коши для строго гиперболического уравнения
Представление ядра через интеграл по нормальной поверхности
Область зависимости
Волновое уравнение
Задача Коши для гиперболических уравнений, у которых нормальная поверхность имеет кратные точки
Фундаментальное решение линейного эллиптического дифференциального уравнения с аналитическими коэффициентами
Определение фундаментального решения
Задача Коши
Решение неоднородного уравнения с функцией типа плоской волны в правой части
Фундаментальное решение
Зависимость характера фундаментального решения от порядка его роста
Структура фундаментального решения
Фундаментальное решение эллиптических операторов с постоянными коэффициентами
Фундаментальное решение линейных эллиптических систем с аналитическими коэффициентами
Тождества для сферических средних
Символическое выражение для сферических средних
Основное тождество для итерированных сферических средних
Выражение функции через ее итерированные сферические средние
Дифференциальное уравнение Дарбу
Теоремы Асгейрссона и Ховард
Эллипсоидальные средние
Теорема Асгейрссона о среднем значении
Приложения к уравнению Дарбу и к волновому уравнению
Тождество Атем С. Ховард
Применения тождества Ховард
Определение функции ее интегралами по сферам фиксированного радиуса
Функции, периодические в среднем
Функции, определенные при помощи их интегралов по сферам радиуса
Определение поля сил по его действию на подвижную сферу
Свойства дифференцируемости решений эллиптических систем
Канонические системы дифференциальных уравнений
Приведение определенных систем дифференциальных уравнений к каноническому виду
Формула интегрирования по частям на сфере
Сферические интегралы от решений канонической системы
Дифференцируемость решений линейных эллиптических систем
Дифференцируемость решений нелинейных эллиптических систем
Аналитичность решений линейных эллиптических систем с аналитическими коэффициентами
Дифференцируемость непрерывных слабых решений линейного эллиптического уравнения
Явные выражения и оценки для производных решения линейного эллиптического уравнения
Свойства регулярности интегралов от решений, взятых по времяобразным линиям
Определение "времяобразности"
Соответствующая каноническая система
Производные цилиндрических интегралов от решений
Дифференцируемость интегралов от решений, взятых по времяобразным кривым
Интегралы от решений, взятые по времяобразным кривым с общими концами