Зінченко О.П., Степанюк Я.В. Біометрія. Частина І. Основи теорії ймовірностей

Подождите немного. Документ загружается.

6. Теорема для будь-яких подій А1, А2, АЗ у скінченному просторі

ймовірностей.

Хід роботи

Робота №1. Знаходження ймовірності появи різних генотипів та

фенотипів при моногибридному схрещуванні.

Припустимо, що в експерименті схрещуються гетерозиготні особини, які

представлено в моделі 2 наборами фішок. В кожному наборі знаходяться по

50 чорних і 50 білих фішок, що символізують 2 алельні стани гену: А -

домінантну ознаку (чорне забарвлення) та а - рецесивну ознаку (відсутність

чорного забарвлення) при моногибридному схрещуванні.

Схему такого моногибридного схрещування можна уявити так:

Р: Аа ж Аа

Гамети: А, а А, а

}

: АА, 2Аа, аа

З кожного набору випадково виберіть по одній фішці, відкладіть їх, а

відповідний результат вибору (АА, Аа чи аа) зафіксуйте. Цю дію повторюйте

до тих пір, поки у наборах не закінчаться фішки. Результати експерименту

занесіть у таблицю.

Результат вибору

фішок

АА

(всі чорні)

Аа

(неодноколірні)

Аа

(всі білі)

Разом всі

результати

Кількість спроб

100

Нехай А означає подію вибору алелі А, а А - вибору алелі а. Ймовірність

потрапляння у гамету будь-якого з двох алелей дорівнює р(А) = р(А) = 0,5

(у наборі чорних і білих фішок порівну).

Ймовірність появи будь-яких типів зигот дорівнює добуткам

ймовірностей появи алелей, що потрапляють разом з гаметами, оскільки, це

події незалежні. Нехай подія Е

- означає появу генотипу АА, Е

- означає

появу генотипу Аа та Е

- означає появу генотипу аа. Поява забарвлених

особин зумовлена появою у генотипі хоча б одного домінантної алелі (подія В),

а поява білих (незабарвлених особин) відсутністю домінантних алелей, тобто

наявність рецесивних алелей (подія В).

Визначить ймовірності появи різних генотипів (АА), (Аа) і [аа) та

фенотипів (АА+Аа) та (аа), що зумовлюють наявність або відсутність

забарвлення. Результати у вигляді умовних позначень: />(£,), р(Е

), /»(£,), р(в)

та р(в) занесіть у зошит.

Робота №2. Розв'язок задач.

Розберіть приклади знаходження ймовірності з застосуванням теорем

додавання і множення ймовірностей елементарних подій і розв'яжіть задачі, що

запропонує викладач.

Приклади розв'язання задач.

Приклад 1. У великій популяції дрозофіл 25% мух мають мутацію очей,

50 % - мутацію крил, а 40 % мух з мутацією очей мають ще й мутацію крил.

Яка ймовірність того, що у мухи, яка випадково вибирається в популяції, буде

хоча б одна з мутацій? Яка ймовірність того, що у випадково вибраної мухи, є

мутація очей і немає мутації крил?

Розе 'язок

Позначимо через Е та W події, які полягають в тому, що випадково

вибрана муха має мутації очей та мутацію крил.

Ймовірність того, що муха має одну чи обидві мутації, є

(EKJW)=

р(Е)+

(W)-p(EnW). Але за умовою задачі

р(£)=0,25;

p(w)=0,5;

p(En,W) = 0,25 0,4 = 0,1. Таким чином, р(ЕиW) = 0,25+0,5-0,1 = 0,65. Ймовірність

того, що у випадково вибраної мухи, є мутація очей, але не має мутації крил -

р(Е \ W) = р(Е)- р(Е п }Г)0Л5 - 0,1 = 0,15.

Приклад 2. В акваріумі, де тримають трьох риб А, В, та С час від часу

поміщають шматочки їжі. Кожного разу, коли кидають шматочок їжі, риби

конкурують за нього. Припустимо, що за тривалий період спостережень було

встановлено, що риби А або В досягали успіху протягом 1/2 часу, а риби А

або С - протягом 3/4 всього часу спостережень. Яка ймовірність того, що

досягає успіху риба А? Яка з риб нагодована краще за інших?

Розв 'язок

Нехай А позначає подію, то полягає в тому, що їжа достається рибі А,

і т. п. Оскільки кожний шматочок їжі може достатися лише одній з риб, то

р(АпВ) = р(АпС) = р(ВпС) = 0. Дано, що р(АuВ) = 1/2 та р(АиС) = 3/4.

Застосуємо ствердження p{A

) = p(A

) + р(А

)-р(А

г\А

) з теореми для

будь-яких подій А, і А2 в скінченому просторі ймовірностей. Звідси отримуємо,

що р(А<->В) = р(А) + р(В) = \/2 і р(АиС) = р(А) + р(С) = 3/4. Отже, р(В) = 1/2 - р(А) і

р(С) = 3/4-р(Л). Оскільки, р(А)+р(В)+р{С) = \, то

\ = р(А)+ [1/2-р(А)]+[3/4-р(А)]= 5/4-р(А), що дає р(А) = і/4. Звідси р(В) = \/4

тар(С) = 1/2. Рибі С достається їжі вдвічі більше, ніж кожній з двох інших.

Задачі:

1. У деякій популяції у 40 % людей волосся темне, у 40 % - руде і у 20 %

світле. Всі темноволосі люди мають карі очі, всі світловолосі - голубі, а у однієї

половини рудих - очі голубі, а у іншої решти - карі. Нехай А/, Аг, Аз - події, що

полягають у тому, що в людини відповідно темне, руде і світле волосся, і нехай

В І та В

відповідно позначають події, що у людини карі та голубі очі.

а) Найдіть р(А

), p(A

пД,) та p(A

пВ2).

б) Найдіть />(в,), р(В

) та р(А> <JB2).

в) Опишіть подію AIKJA2KJB2. Найдіть ймовірність цієї події.

2. У популяції з 2000 дрозофіл у 250 особин виявлено рецесивну ознаку

крила W і у 150 - рецесивну ознаку очей Е. Уявимо, що у 50 мушок виявлено

обидві ознаки. Для експерименту по схрещуванню з популяції випадково

вибирають одну мушку.

а) Яка ймовірність того, що у цієї мушки виявлять ознаку W ?

б) Яка ймовірність того, що у цієї мушки виявлять ознаку El

в) Яка ймовірність того, що у цієї мушки присутні ознаки W та Е ?

г)Підрахуйте p(Er>W та p(E^W.

д) Переконайтеся в тому, то р(Е u W = р(Е) + p(W) - р(Е п W).

3. Деяка популяція рослин складається з особин трьох типів, що

позначаються А А, Аа, аа. Чисельності кожного типу складають відповідно 200,

600, і 50. Припустимо, що з цієї по популяції випадково вибирають одну

рослину.

а) Яка ймовірність того, що це рослина типу АА?

б) Яка ймовірність того, що це рослина типу Аа або аа?

Література:

1. Владимирский Б. М. Математические метода в биологии / Б. М. Владимирский.- Ростов

н/Дону: Изд-во Ростовского университета, 1983.- С 45-51.

2. Гроссман С. Математика для биологов / С. Гроссман, Дж. Тернер. - М. Высш. школа.

1983.-С. 45-48.

3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической

статистике / В. Е. Гмурман.- М.: Высш. школа, 1969.- С 24-41.

Лабораторна робота №5

Тема: Умовна ймовірність.

Мета: Ознайомитися з застосуванням теореми умовної ймовірності для

рішення прикладних задач.

Обладнання: таблиці, калькулятори, комп'ютери.

Контрольні питання:

1. Визначення умовної ймовірності.

2. Теорема умовної ймовірності.

3. Теорема множення умовних ймовірностей.

4. Визначення двох незалежних подій.

5. Визначення трьох незалежних подій.

Хід роботи

Робота №1. Розв'язок задач.

20 19

Розберіть приклади задач і виконайте завдання для самостійного

розв'язку, що запропонує викладач.

Приклади розв'язання задач.

Приклад 1. У популяції дрозофіл 25 % особин мають мутацію крил, а

15% - мутацію очей і 10 % - обидві мутації. Випадково вибирають одну

мушку.

а) якщо у неї виявиться мутація крил, то яка ймовірність того, що в неї є і

мутація очей?

б) якщо у неї виявиться мутація очей, то яка ймовірність того, що в неї є і

мутація крил?

в) Яка ймовірність того, що в неї є хоча б одна з мутацій?

Розв 'язок

Нехай W та £ позначають відповідно мутацію крил та очей. Тоді:

а) p(E\w)=p(Er>W)/p(W) = 0,170,25-2/5;

б) pifV\E) = p(WnE)/p(E) = 0,1/0,15-2/3;

В) piWvE) = p(W) +р(Е)-р(ІГпЕу = 0¿5+ 0,15-0,l = 0J.

Приклад 2. На двох фермах А та В, що нараховують по 1000 голів

великої худоби кожна, відбувся спалах захворювання ящуром. Частки

зараженої худоби складають відповідно 1/5 та 1/4. Випадково відбирають одну

корову.

1) Яка ймовірність того, то відібрана корова належить фермі А і має

захворювання?

2) Якщо на кожній фермі 70 % зараженої худоби має вік менш ніж один

рік, то яка ймовірність того, то вибрана корова належить фермі В, має

захворювання і вік понад рік?

Розв 'язок

1) Нехай А - подія, яка полягає в тому, що корова взята з ферми А, В - з

ферми В, а Н - подія, яка полягає в тому, що корова заражена ящуром. Тоді

шукана ймовірність є: р(А п Я) = р(А) • р(А\Н) = (1000/2000) - (1 /5) = 1/10.

2) Визначимо С як подію, яка полягає в тому, що випадково відібрана

корова має вік більше ніж один рік. Шукана ймовірність є:

р(В п Н г» О • РІ В)р(Н\В)р(С^В п Н) = (1/2) • (1/4) • (3/10) = 3/80.

Приклад 3. В одному акваріумі знаходяться три білих, три червоних і три

голубих рибки. Трьох випадково вибраних рибок переносять у інший акваріум.

Яка ймовірність того, то всі ці три рибки білі?

Розв 'язок

Розглянемо два методи рішення цієї задачі. Перший метод полягає в

простому перерахуванні всіх можливостей.

Існує ^| = 84 способи вибору трьох рибок з дев'яти. Оскільки є ^ = І

лише спосіб вибору трьох білих рибок, то шукана Ймовірність дорівнює 1/84.

У другому способі використовується теорема множення умовних

ймовірностей. Уявимо, що ми вибираємо три рибки по черзі. Визначимо А, В і

С як події, що полягають у тому, що перша, друга і третя вибрані рибки

виявилися білими. Ймовірність того, що всі відібрані рибки білі, є

р(Аг,Вг\С) = р(А)-р(В\Л)-р{С\Аг\В). Зрозуміло, що р(Л) = 3/9 = 1/3, оскільки є

три білі рибки серед дев'яти. Якщо перша вибрана рибка біта, то серед восьми

рибок, що залишилися, опиняться дві білі. Це означає, що р(Д|Л) = 2/8 = 1/4.

Аналогічно, р(С\А п В) = 1/ 7. Таким чином, />(Лг»ВпС) = (1/3)(1/4)(1/7) = 1/84.

Приклад 4. Під час обстеження захворювань легень перевірялись 10 000

людей у віці понад 60 років. Виявилося, шо 4 000 людей із цієї групи є

постійними курцями. У 1 800 курців виявилися серйозні порушення у легенях.

Серед тих, хто не курить, серйозні порушення в легенях мали 1 500 людей. Чи є

паління і наявність порушень в легенях незалежними подіями?

Розв 'язок

Визначимо А як подію, яка полягає в тому, що випадково вибрана людина

є постійним курцем, і В - що у людини серйозні порушення в легенях.

ТОДІ, р(А) = 4000/10000 =0,4 І р(В) - 3300/10000 = 0,33.

семеро володіють правою рукою краще ніж лівою, двоє є лівшами і одна

людина однаково вільно володіє обома руками?

Розв'язок

Використовуємо теорему про поліноміальний розподіл:

Р(пі, п

,.... п

) =\ " р? РЇ ... Р":

Для даної задачі и=110, р =0,7 та р =0,1, тобто:

Р(10, 0, 0) = ^ ^ 0,7'° =0,7'° - 0,028;

Р(7,2.1) - ^ 0,7

0,2

0,1 = 0,119.

Задачі:

1. В певній великій популяції у 40% людей волосся чорне, у 40% руде і у

20% світле. Якщо з популяції випадково вибирають 10 людей, то які

ймовірності наступних подій: а) 5 чорноволосих, 5 рудих; б) 4 чорноволосих,

4 рудих, 2 світловолосих; в) 3 чорноволосих, 3 рудих, 4 світловолосих?

2. За оцінками експертів, вовк, який один полює на лосів, отримує успіх в

8% зіткнень. Яка ймовірність того, що в п'яти зіткненнях жодний з лосів не

стане здобиччю вовка?

3. Шанси вовка здобути їжу за кожний період полювання складають 50%.

Яка ймовірність того, що успішним стане більше половини всіх періодів

полювання, якщо а) всього було 31 періоди; б) якщо всього було 14 періодів?

4. В кожній півкулі мозку людини, яка чітко визначається слухова область.

В анатомічних дослідженнях було визначено, що ця область лівої півкулі більш

розвинута в 65% розглянутих випадках, менш розвинута в 10% і розвинута в

однаковій мірі з правою півкулею в 25% випадків. Яка ймовірність того, що з

групи в п'ять випадково вибраних людей в ці категорії відповідно потраплять

дві, три, жодної, людини?

5. Лікування одного захворювання призводить до одужання у 75 %

випадків Лікувалося шість хворих. Які ймовірності того, що: а) одужають всі

шестеро, б) не одужає жодний з них, в) одужають не менше чотирьох?

6. При захворюваннях щитовидної залози застосовується йодна терапія.

Було відзначено, що у 50% хворих настає швидке покращення, на 40% терапія

не дає помітного впливу, а у 10% хворих вона викликала погіршення стану. Цю

терапію застосовують 10 хворих. Яка ймовірності того, що: а) всі дев'ять

відчують покрашення; б) у п'яти буде покращення, троє залишиться в

попередньому стані і одному стає гірше; в) у трьох буде покращення, троє

залишаться в попередньому стані і трьом стане гірше?

7. В популяції дрозофіл у 20% особин є мутація крил. Якщо з популяції

випадково вибирають шість мух, то яка ймовірність мутації а) у двох з них?

б) хоча б одної з них? в) менше ніж у п'яти?

Література:

1. Владимирский Б. М. Математические методи в биологии / Б. М. Владимирский.- Ростов

н/Дону: Изд-во Ростовского университета, 1983 - С 52-53.

2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической

статистике / В. Е. Гмурман.- М.: Высш. школа, 1969.- С 44-50.

3. Солодовников А. С. Теория вероятностей: Учеб. пособие / А. С. Солодовников.- М.:

Просвещение, 1983.-С. 55-59.

4. Гроссман С. Математика для биологов / С. Гроссман, Дж. Тернер - М.: Высш. школа,

1983.- С. 61-66.

Зміст

Передмова З

Лабсратсрна робота№і) Сполучення і перестановки елементів 4

Лабсратсрна робота №2. Біноміальна та поліноміальна теореми 10

Лабсратсрна робота^Щ) Вибіркові простори і простори рівних ймо-

вірностей , 13

Лабсратсрна робота №4. Скінченні простори ймовірностей 16

Лабсратсрна робота №5. Умовна ймовірність 20

Лабсратсрна робота №6. Теорема Бейєса 24

Лабсратсрна робота №7. Повторні випробування 26