Жирабок А.Н. Основные понятия теории надежности

Подождите немного. Документ загружается.

СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 7, №8, 2001

108

МАТЕМАТИКА

Жирабок А.Н., 2001

МАТЕМАТИКА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

А. Н. ЖИРАБОК

Дальневосточный государственный технический университет, Владивосток

BASIC CONCEPTS

OF RELIABILITY THEORY

A. N. ZHIRABOK

Some of the results of the mathematical theory

of technical systems reliability are reported. The

basic reliability indicators and their characteris-

tics are presented, and the methods to increase

reliability are discussed. Taking the failure rate

as an example, it is shown that there are certain

similarities between the world of living nature

and the artificial world of technology.

Статья посвящена изложению некоторых

результатов математической теории на-

дежности технических систем. Приведены

основные показатели надежности и их

свойства, рассмотрены методы повыше-

ния надежности. На примере интенсивнос-

ти отказов показано, что между миром жи-

вой природы и искусственным миром тех-

ники существуют аналогии.

ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Настоящая статья преследует три основные цели. Во-

первых, познакомить читателя с некоторыми положе-

ниями математической теории надежности техничес-

ких систем; полагаем, что это будет небезынтересно,

поскольку наша жизнь нередко существенно зависит

от качества (в частности, надежности) окружающей

нас техники. Во-вторых, показать, что и при использо-

вании простых моделей часто удается получать досто-

верные выводы; надеемся, что с этой точки зрения на-

ша работа дополнит работу Ю.И. Неймарка [1] о роли

простых математических моделей. В-третьих, проде-

монстрировать на примере теории надежности, что

между миром живой природы и искусственным миром

техники (техносферой) существуют определенные ана-

логии, которые, по-видимому, имеют глубокие корни.

Теория надежности – это одна из многочисленных

научных дисциплин, появившихся вскоре после вто-

рой мировой войны, которая (вместе с последующей

“холодной войной” и гонкой вооружений) дала мощ-

ный толчок развитию различных отраслей техники, так

или иначе связанных с военными приложениями.

Здесь уместно привести пространную выдержку из ука-

за Петра I, где говорится о том, что практическая сто-

рона надежности всегда имела важное значение: “По-

велеваю хозяина Тульской ружейной фабрики Корнилу

Белоглаза бить кнутом и сослать на работу в монасты-

ри, понеже он, подлец, осмелился войску государеву

продавать негодные пищали и фузеи. Старшину олдер-

мана Фрола Фукса бить кнутом и сослать в Азов, пусть

не ставит клейма на плохие ружья. Приказываю ружей-

ной канцелярии из Петербурга переехать в Тулу и ден-

но и нощно блюсти исправность ружей. Пусть дьяки и

подьячие смотрят, как олдерман клейма ставит, буде

сомнение возьмет, самим проверять и смотром и стрель-

бою. А два ружья каждый месяц стрелять, пока не ис-

портятся. Буде заминка в войсках приключится, особ-

ливо при сражении, по недогляду дьяков и подьячих,

бить оных кнутами нещадно по оголенному месту: хо-

зяину – 25 кнутов и пени по червонцу за ружье, старше-

го олдермана – бить до бесчувствия, старшего дьяка –

отдать в унтер-офицеры, дьяка – отдать в писаря,

www.issep.rssi.ru

ЖИРАБОК А.Н. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

109

МАТЕМАТИКА

подьячего – лишить воскресной чарки сроком на один

год” [2].

Принято выделять четыре основные причины по-

явления теории надежности: 1) резкий рост сложности

современных технических систем, в частности, значи-

тельное увеличение числа составляющих их компо-

нент; 2) ужесточение режимов их функционирования

(работа при высоких и низких температурах, значи-

тельные механические нагрузки и т.д.); 3) высокая цена

отказа систем, связанных с выпуском дорогостоящей

продукции или обеспечивающих нормальные условия

жизни человека (например, на космической станции);

4) полная либо частичная автономность, то есть невоз-

можность или ограниченность вмешательства человека

при возникновении отказов (необитаемые подводные

аппараты, искусственные спутники, безлюдное произ-

водство). Говоря о теории надежности, можно выде-

лить чисто физические и чисто математические ее ас-

пекты, в настоящей работе мы будем рассматривать

только математическую сторону. С этой точки зрения

теорию надежности можно рассматривать как специ-

альный раздел теории вероятностей со своими специ-

фическими задачами и методами их решения.

Начнем с определений.

Надежность

– это свойст-

во объекта сохранять во времени в заданных пределах

значения всех параметров, характеризующих способ-

ность выполнять требуемые функции. Надежность –

сложное свойство, которое в зависимости от назначе-

ния объекта и условий его применения представляет

собой сочетание некоторых частных свойств: безотказ-

ности, долговечности, ремонтопригодности и сохра-

няемости. Мы остановимся только на безотказности,

представляющей собой свойство объекта непрерывно

сохранять работоспособность в течение некоторого

времени.

Одним из важнейших понятий теории надежности

является

отказ

– событие, состоящее в нарушении ра-

ботоспособного состояния объекта, когда один или не-

сколько параметров, характеризующих способность

выполнять требуемые функции, выходит за заданные

пределы. Существуют два основных типа отказов: вне-

запные и постепенные. Как следует из рис. 1, внезап-

ный отказ характеризуется скачкообразным изменени-

ем параметра, что может быть вызвано, например,

обрывами или замыканиями проводников в электри-

ческих цепях, поломкой механических деталей и т.п. В

случае постепенных отказов параметр сравнительно

медленно выходит за установленные пределы.

Мы будем рассматривать только первый тип отка-

зов. Исчерпывающей их характеристикой является мо-

мент

выхода параметра за заданные пределы. Можно

также рассматривать

как время жизни объекта. Зна-

чение величины

– это объективная характеристика

объекта, описывающая его качество с точки зрения на-

дежности. Поскольку точно предсказать значение

невозможно, его рассматривают как случайную вели-

чину, что и предопределяет необходимость использова-

ния теории вероятностей в качестве математического

аппарата теории надежности. Наше изложение не по-

требует от читателя основательных знаний теории веро-

ятностей, достаточно будет того интуитивного понима-

ния вероятности, которое имеется у каждого грамотного

человека. Для более детального знакомства с теорией

вероятностей можно рекомендовать книгу [3].

ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ

Одной из важнейших количественных характеристик

надежности является вероятность безотказной работы,

то есть вероятность того, что в течение рассматривае-

мого промежутка времени (0,

) отказа не возникнет.

Таким образом, вероятность безотказной работы пред-

ставляет собой функцию времени, обычно обозначае-

мую как

(

). С точки зрения теории вероятностей

(

)

представляет собой вероятность события, состоящего в

том, что случайная величина

больше длительности

рассматриваемого промежутка времени (0,

). Запишем

это в виде

(

) = Вер(

Часто бывает удобнее говорить не о вероятности

безотказной работы, а о вероятности отказа

(

), кото-

рую можно определить как

(

) = Вер(

). Из опреде-

лений следует, что

(

) +

(

) = 1. Также из определений

можно сделать вывод о том, что

(

) – невозрастающая,

(

) – неубывающая функции времени. Типичные

графики этих функций представлены на рис. 2.

Важную роль в теории надежности играет так назы-

ваемая интенсивность отказов

(

), которую определим

следующим образом. Пусть некоторое предприятие на-

чинает выпуск элементов нового типа и требуется вы-

яснить, какой надежностью они обладают. Для этого

партия таких элементов ставится на испытания, в ходе

Рис. 1.

Поведение параметра

элемента при вне-

запных (

) и постепенных (

) отказах; штриховые

прямые показывают заданные пределы параметра,

которые предполагаются постоянными

СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 7, №8, 2001

110

МАТЕМАТИКА

которых фиксируются моменты их отказов. По резуль-

татам испытаний рассчитывается характеристика

(1)

где

∆

(

) – число отказов за время

∆

(

) – число эле-

ментов, не отказавших к моменту

. Интервал

∆

суще-

ственно зависит от типа испытываемых элементов.

Обычно он выбирается много меньше времени испы-

таний; на начальном участке, где скорость изменения

функции

(

) велика,

∆

в несколько раз меньше, чем на

ее среднем участке.

Таким образом,

(

) представляет собой относитель-

ную скорость появления отказов. Типичный идеализи-

рованный график функции

(

) изображен на рис. 3,

Для лучшего понимания его особенностей рядом приве-

ден типичный график функции смертности людей

(

λ t() =

∆nt()

∆tnt()⋅

--------------------

ρ t() =

∆mt()

∆tmt()⋅

---------------------

где

∆

(

) – число умерших за время

∆

(

) – число лю-

дей, достигших возраста

. Здесь

∆

может иметь вели-

чину от нескольких месяцев (на начальном участке ха-

рактеристики) до нескольких лет (на ее среднем

участке). Как следует из рисунков, они имеют по три

характерных участка, где функции

(

) и

(

) ведут себя

примерно одинаково. Рассмотрим эти участки более

детально, начиная с функции

(

) как более интуитив-

но понятной.

Участок I.

Для человека это раннее детство, когда

смертность велика из-за врожденных пороков, несовме-

стимых с жизнью. Появление этого участка на рис. 3,

объясняется наличием у элементов скрытых дефектов

производства, которые остались незамеченными служ-

бой технического контроля. Для того чтобы такие эле-

менты (и изготовленные из них изделия) не попали

потребителям, на предприятиях производятся так на-

зываемые приработочные испытания, в ходе которых

выявляются и отбраковываются дефектные элементы.

Подчеркнем, что как у человека, так и у техники высо-

кая смертность (интенсивность отказов) на этом участ-

ке обусловлена внутренними причинами, то есть теми,

которые были заложены в человека при его внутриут-

робном развитии (возникли в процессе производства

технических элементов).

Участок II.

Смертность на этом участке сравни-

тельно невелика и постоянно растет из-за разнообраз-

ных причин как внутреннего (болезни), так и внешнего

(катастрофы, несчастные случаи) характера. Для мно-

гих технических элементов (в частности, для большин-

ства электронных компонентов) интенсивность отка-

зов на этом участке с высокой степенью точности

можно полагать постоянной. Причины отказов здесь,

как правило, внешние и связаны с неблагоприятными

факторами, действующими как на отдельные элемен-

ты, так и в целом на изделие, в составе которого они ра-

ботают.

Участок III.

Период старости для человека, когда

смертность резко возрастает из-за большого числа раз-

нообразных, еще не до конца ясных современной ме-

дицине причин. Для технических элементов это период

физического старения, интенсивность отказов здесь

повышается из-за износа механических деталей, необ-

ратимых физико-химических процессов в элементах и

т.д. Важно то, что основные причины высокой смерт-

ности и интенсивности отказов здесь внутренние (как

и на первом участке).

Отметим, что технические системы редко дожива-

ют до своего физического износа (третьего участка),

поскольку раньше наступает их моральный износ из-за

появления более совершенных элементов и систем с

лучшими характеристиками. Сходство графиков ин-

тенсивности отказов и смертности показывает, что

P, Q

Рис. 2.

Типичные графики вероятности безотказной

работы

(

) (

) и вероятности отказа

(

) (

)

I II III t

Рис. 3.

Идеализированные графики интенсивности

отказов (

) и смертности (

). Штриховые линии –

графики интенсивности отказов и смертности при

более высоком качестве производства и качестве

жизни соответственно

ЖИРАБОК А.Н. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

111

МАТЕМАТИКА

между закономерностями мира живой природой (в ли-

це человека) и характеристиками техносферы сущест-

вуют определенные аналогии.

Интенсивность отказов и вероятность безотказной

работы связаны между собой дифференциальным

уравнением, которое может быть получено на основе

соотношения (1):

(2)

В дальнейшем будем предполагать, что рассматривае-

мые элементы прошли приработку и их интенсивность

отказов постоянна и равна

. В этом случае решение

уравнения (2) получается особенно простым:

(

) =

−λ

. (3)

Имея в виду вид этой функции, говорят, что случайная

величина

подчиняется экспоненциальному закону

распределения.

Экспоненциальный закон с большой степенью

точности применим к таким элементам технических

систем, в которых процессы старения малозаметны. В

частности, это касается основных компонентов совре-

менной электронной аппаратуры – интегральных мик-

росхем. Там же, где старение играет существенную роль

(например, износ механических деталей), использова-

ние экспоненциального закона может привести к

ошибкам.

Еще одним показателем надежности является

среднее время безотказной работы

, которое пред-

ставляет собой математическое ожидание (среднее)

случайной величины T. В общем случае T

представля-

ет собой площадь под графиком функции P(t); при λ =

= const получаем простую зависимость:

(4)

Из результатов испытаний и данных эксплуатации из-

вестно, что интенсивность отказов интегральных мик-

росхем находится в диапазоне 10

−8

–10

−6

−1

. Легко под-

считать, что среднее время безотказной работы этих

элементов будет не менее 1 млн часов, или более 100 лет.

Поскольку время разработки современных элементов

и систем не превышает, как правило, нескольких лет,

последнее число подтверждает сделанное выше замеча-

ние о соотношении морального и физического износов.

Мы рассмотрели только некоторые показатели

надежности, более детально с этими и другими пока-

зателями можно ознакомиться в специальной литера-

туре [4, 5].

λ t() =

dP t() dt⁄

P t()

-----------------------– .

---

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА

Экспоненциальный закон распределения является очень

популярным (но далеко не единственным) в теории на-

дежности. Он обладает интересным свойством, кото-

рое мы сейчас получим. Рассмотрим два интервала на

временной оси (рис. 4) – (0, t) и (t, t + τ) – и связанные

с ними события A и B: A – безотказная работа некото-

рого элемента на интервале (0, t), B – безотказная рабо-

та на интервале (t, t + τ). Произведение этих событий

AB – это безотказная работа на интервале (0, t + τ). Ве-

роятности событий A и AB вычисляются по формуле (3)

P(A) = e

−λt

, P(AB) = e

−λ(t + τ)

По известной из теории вероятностей формуле найдем

вероятность P(B/A), то есть вероятность события B при

условии, что событие A произошло:

(5)

Читателю предлагается удивиться этому результату.

Действительно, вероятность P(B/A) в нашем случае –

это вероятность того, что на интервале (t, t + τ) элемент

будет безотказно работать при условии, что к моменту t

он не отказал. Согласно формуле (5), эта вероятность

зависит только от длительности интервала (t, t + τ) и не

зависит от того, сколько элемент проработал до момен-

та t. Таким образом, в случае экспоненциального зако-

на мы имеем дело как бы с вечно молодым элементом.

На самом деле это означает, что причины отказов эле-

мента при λ = const являются чисто внешними, что бы-

ло отмечено при анализе второго участка на графике

интенсивности отказов. Из сказанного следует, что

значение интенсивности отказов при λ = const – это ха-

рактеристика как элемента, так и окружающей среды.

Полученное свойство экспоненциального закона –

своеобразную независимость будущего от прошлого –

можно назвать марковским, по имени русского мате-

матика А.А. Маркова (старшего). Примечательно, что

экспоненциальный закон является единственным, об-

ладающим таким свойством. Точнее, если отношение

P(t + τ)/P(t) не зависит от t, то закон распределения

случайной величины T будет экспоненциальным [4].

Рассмотрим следующую важную для практики за-

дачу: имеется техническая система, состоящая из n эле-

ментов с интенсивностями отказов λ

, λ

, …, λ

. Какова

P BA⁄() =

P AB()

P A()

----------------

λ t τ+()–

λt–

----------------

= e

λτ–

0 tt + τ

Рис. 4. Иллюстрация к выводу марковского свойст-

ва экспоненциального закона

СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 7, №8, 2001

112

МАТЕМАТИКА

будет интенсивность отказов системы λ

? Ответ на этот

вопрос существенно зависит от того, как связаны меж-

ду собой отказы элементов и отказ системы. Наиболее

популярным (но не всегда верным) является следую-

щее допущение: отказ любого элемента приводит к от-

казу системы. В этом случае говорят о модели последо-

вательного с точки зрения надежности соединения

элементов (рис. 5): при обрыве любого из элементов

обрывается вся цепь. Пусть, кроме того, время жизни

отдельного элемента не зависит от времен жизни дру-

гих элементов, иными словами, отказы отдельных эле-

ментов являются независимыми событиями, то есть

отказ какого-либо элемента не приводит к отказу дру-

гих элементов (это тоже не всегда верно). При таких

предположениях поставленная задача решается доста-

точно просто.

Пусть A

– событие, состоящее в том, что за время t

i-й элемент не отказал, i = 1, 2, …, n; событие A – безот-

казная работа системы за это же время. Тогда событие A

представляет собой произведение событий A

, A

, …, A

поскольку оно наступит тогда, когда произойдут все

события A

, A

, …, A

. Поскольку вероятность произве-

дения независимых событий представляет собой про-

изведение вероятностей отдельных событий, отсюда

получаем

P(A) = P(A

)P(A

)…P(A

)

или

что в итоге дает простое соотношение

которое является основой различных методов расчета

показателей надежности системы с учетом реальных

условий работы ее элементов.

РЕЗЕРВИРОВАНИЕ

К надежности систем, выполняющих ответственные

функции (например, система управления ядерным ре-

актором или космическим стартовым комплексом, ав-

топилот самолета и др.), предъявляются весьма жесткие

требования. Частично они могут быть удовлетворены за

t–

= e

t–

…e

t–

= λ

i 1=

∑

счет использования элементов с высокими надежност-

ными характеристиками, однако нередко этого бывает

недостаточно. В таких случаях прибегают к различным

видам резервирования. Коротко остановимся на так

называемом структурном резервировании, когда для

повышения надежности используются резервные эле-

менты. Рассмотрим ненагруженное резервирование за-

мещением, когда резервные элементы включаются в

работу только после отказа основного и находятся в

ненагруженном режиме до начала выполнения ими

функций основного элемента. Интенсивность отказов

резервных элементов в ненагруженном режиме прини-

мается равной нулю.

Пусть имеются один основной и r резервных эле-

ментов, которые в совокупности образуют блок. Пе-

речислим возможные состояния этого блока: отказав-

ших элементов нет – состояние 1, один отказал –

состояние 2, два отказали – состояние 3 и так до отказа

всех элементов – всего r + 2 состояния. Представим это

так называемым графом состояний (рис. 6, а), на кото-

ром изображены отдельные состояния и переходы

(стрелки) между ними. При отказе очередного элемен-

та происходит переход от соответствующего состояния

к последующему. Каждой стрелке соответствует опре-

деленная интенсивность перехода, равная сумме ин-

тенсивностей отказов всех элементов, не отказавших в

состоянии, из которого эта стрелка выходит. Посколь-

ку интенсивность отказов резервных элементов до на-

чала выполнения ими функций основного элемента

равна нулю, то все стрелки имеют одинаковую интен-

сивность – по λ.

Обозначим через P

(t) вероятность пребывания бло-

ка в i-м состоянии в момент t, i = 1, 2, … Эти вероятно-

сти можно определить из системы дифференциальных

уравнений Колмогорова. Вид и вывод этих уравнений,

их решение, а также многочисленные примеры исполь-

зования графов состояний для решения различных

…

1 2 n

Рис. 5. Модель последовательного соединения

элементов

1 2 3

2λ

1 2

r + 1 r + 2

…

(r + 1)λ rλ 2λλ

1 2

r + 1 r + 2

…

λλ λλ

Рис. 6. Графы состояний при ненагруженном (a) и

нагруженном (б) резервировании замещением и

параллельном соединении элементов (в) с двумя

типами отказов

ЖИРАБОК А.Н. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

113

МАТЕМАТИКА

задач можно найти в [5]. Поскольку для нормальной

работы блока достаточно наличия хотя бы одного рабо-

тающего элемента, вероятность его безотказной рабо-

ты равна сумме всех вероятностей, кроме P

r + 2

(t). Опус-

кая детали, приведем конечный результат:

(6)

Из интуитивных соображений ясно, что при нео-

граниченном увеличении числа r вероятность P(t)

должна стремиться к 1 (при бесконечном числе резерв-

ных элементов в блоке он никогда не откажет). Извест-

но, что ряд, находящийся в выражении (6) в круглых

скобках, сходится к функции e

λt

. Поскольку произведе-

ние функций e

−λt

и e

λt

равно 1, получаем, что математи-

ка подтверждает наши интуитивные рассуждения.

Рассмотрим еще один вид резервирования замеще-

нием – нагруженное, когда резервные элементы нахо-

дятся в нагруженном режиме до начала выполнения

ими функций основного элемента, то есть их интен-

сивность отказов совпадает с интенсивностью основ-

ного элемента, хотя резервные элементы включаются в

работу только после отказа основного. Вид графа пере-

ходов в этом случае сохраняется (рис. 6, б), изменяются

только интенсивности стрелок: в соответствии со

сформулированным выше правилом первой стрелке

соответствует интенсивность (r + 1)λ, второй – rλ и так

до λ, поскольку в первом состоянии работают все r + 1

элементов, во втором – на один меньше и т.д.; в предпо-

следнем состоянии остается один работающий элемент.

Предполагается, что вероятность отказа одновременно

двух элементов равна нулю.

Формальное решение соответствующей системы

уравнений Колмогорова имеет громоздкий вид, про-

стой же по форме результат получается из следующих

несложных соображений. Отказ резервированного бло-

ка наступит только после отказа всех его элементов.

Поскольку вероятность отказа одного элемента за вре-

мя t равна 1 − e

−λt

, то вероятность отказа всех элементов

за время t составит Q(t) = (1 − e

−λt

)

r + 1

(предполагается,

что элементы отказывают независимо друг от друга).

Поскольку вероятности безотказной работы и отказа в

сумме всегда дают 1, получаем следующий результат:

P(t) = 1 − (1 − e

−λt

)

r + 1

Приведем выражения для среднего времени безот-

казной работы блока. В случае ненагруженного резер-

вирования результат почти очевиден: поскольку ре-

зервные элементы до начала выполнения ими функций

основного элемента имеют нулевую интенсивность от-

казов, среднее время безотказной работы блока равно

сумме отдельных средних, что с учетом соотношения (4)

P t() = e

λt–

1 λt

λt()

------------ …

λt()

r 1+

-----------------++ ++





дает T

= (r + 1)/λ. Для нагруженного резервирования

получается более сложное выражение:

Здесь, как и выше, возможна проверка соответствия

математики и интуиции: известно, что ряд в круглых

скобках в приведенном выражении расходится, проще

говоря, сумма членов ряда при r ∞ стремится к

бесконечности; к тому же из интуитивных соображе-

ний ясно, что при бесконечном числе резервных эле-

ментов время безотказной работы будет также беско-

нечным.

Рассмотрим еще один интересный пример, попа-

дающий под схему резервирования: имеются два оди-

наковых радиоэлемента (например, резисторы или

конденсаторы), соединенные параллельно. Каждый

элемент имеет два типа отказов – обрывы и замыкания

с интенсивностями λ

и λ

соответственно; при обрыве

одного из элементов оставшийся выполняет необходи-

мые функции, замыкание любого элемента приводит к

отказу цепи. Граф состояний этой цепи изображен на

рис. 6, в: обрыв любого элемента влечет переход из пер-

вого состояния во второе, переходу из первого состоя-

ния в третье соответствует замыкание одного из эле-

ментов. Вероятность безотказной работы всей цепи

определяется следующим выражением:

где λ = λ

+ λ

. Найдем выигрыш от параллельного со-

единения элементов по сравнению с одним элементом:

Графики функции R(t) для различных соотношений

интенсивностей обрывов и замыканий приведены на

рис. 7. Видно, что в случае преобладания обрывов

---

--- …

r 1+

-----------+++ +





P t() =

–

----------------

2λt–

2λ

--------

λt–

R t() =

P t()

λt–

----------

–

----------------

λt–

2λ

--------

Рис. 7. Графики функции R(t) при различных соот-

ношениях интенсивностей отказов обрывов λ

и за-

мыканий λ

: 1 – λ

$ λ

, 2 – λ

# λ

, 3 – λ

= λ

СОРОСОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ, ТОМ 7, №8, 2001

114

МАТЕМАТИКА

параллельное соединение дает выигрыш по сравнению

с одним элементом, в случае преобладания замыканий –

проигрыш. Читателю рекомендуется самостоятельно

убедиться в том, что при последовательном соедине-

нии элементов эти соотношения меняются местами.

Полученные математические результаты находятся,

как и выше, в полном соответствии с интуитивным по-

ниманием происходящих процессов.

Таким образом, несмотря на простые модели (име-

ется в виду случай λ = const), основные результаты ма-

тематической теории надежности хорошо согласуются

с интуитивными инженерными соображениями, что

подтверждает мысли, высказанные в работе [1] по по-

воду значения таких моделей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Неймарк Ю.И. Простые математические модели и их роль

в постижении мира // Соросовский Образовательный Жур-

нал. 1997. № 3. С. 139–143.

2. Карцев В.П., Хазановский П.М. Стихиям неподвластен. М.:

Знание, 1980. 192 с.

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инже-

нерные приложения. М.: Наука, 1988. 480 с.

4. Гнеденко Б.В., Беляев В.К., Соловьев А.Д. Математические

методы в теории надежности. М.: Наука, 1965. 524 с.

5. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов. радио,

1972. 552 с.

Рецензент статьи Р.В. Гольдштейн

* * *

Алексей Нилович Жирабок, доктор технических наук,

профессор, зав. кафедрой конструирования и произ-

водства радиоаппаратуры Дальневосточного государ-

ственного технического университета. Область науч-

ных интересов – теория нелинейных динамических

систем, техническая диагностика сложных техничес-

ких систем. Автор более 120 научных работ, в том чис-

ле двух монографий.