Задачи по Основам теории цепей
Подождите немного. Документ загружается.
Задачи по Основам теории цепей
Задачка № 1.
Для схемы на рис.1 задано: E1 =120 В: Е2 = 40 В; R1= 12 QM: R2 = 8 Ом. Определим напряжение
между точками a и b.
Рис.1
Расчет производится следующим образом:
1.Задавшись направлением I и используя закон Ома для одноконтурной
замкнутой цепи, получим:
I = = = = 4A
2. Искомое напряжение можно определить по обобщенному закону Ома,
примененному к участку amb
I =
откуда U
ab
= Е
2
+ IR
2
= 40 + 4 • 8 = 72 В.
3. Применим закон Ома к участку anb:
I =
откуда U
ba
= IR
1
–E
1
=4 * 12 - 120 = -72 В
Но так как U
ab
= - U
ba
, то U
ab
= 72 В,
Проанализировав этот простейший пример, можно сделать замечание, которое будем
использовать в дальнейшем.
Замечание. Если на участке цепи, содержащем э.д.с. и сопротивление, ток и э.д.с.
совпадают по направлению, то напряжение на зажимах участка меньше э.д.с. на величину
падения напряжения на сопротивлении, а если направление тока противоположно
направлению э.д.с. то напряжение на зажимах участка больше э.д.с. на величину падения
напряжения на сопротивлении.
Задачка №2
К зажимам a и с схемы подключен вольтметр, как показано на рис.2 (Здесь и далее
внутреннее сопротивление вольтметра будем полагать бесконечно большим.
Следовательно, подключение или отключение вольтметра на режим работы цепи не
влияет).
Если ток I=10 A течет от a к с , то показание вольтметра U
ac
= -18В, а если тот же по
величине ток течет от с к a, то показание вольтметра U
ac
= -20В.
Определить величину R и E.
Расчетная часть.
l. Ha основании формулы I = из лекции темы 1 при первом ас направлении тока
находим:
I = (U
ac
+ E)/R; U
ac
= IR- E; -18 = 10R-E:
2.При противоположном направлении тока находим:
I = (U
ca
- E)/R; U
ca
= -U
ac
= IR + E; 20 = 10R
1
+ E
3.Решим совместно два уравнения:
Отсюда находим величину сопротивления R и величину источника напряжения Е.
20R = 2; R = 0,1OM:
Е = 10R + 18=10 – 0,1 + 18=19 В.
Задачка
3
Дана схема, изображенная на рис.3. Пусть заданы все э.д.с. сопротивления и разность
потенциалов между точками a и b.
Необходимо найти ток, протекающий в цепи и правильно ли выбрано его направление?
Расчетная часть.
Ток может иметь любое направление. Зададим условно стрелкой. При таком направлении
тока (pi меньше ф
а
на величину IR
1
и поэтому.
φ
b
= φ
a
– IR
1
+ Е
1
- IR
2
+ Е
2
- IR
3
- Е
3
- IR
4
Из этого равенства можем вывести формулу нахождения тока в
рассматриваемой схеме
I =
Эта формула представляет собой закон Ома для участка цепи с э.д.с. (обобщенный закон
Ома).
где U
ab
.= (φ
a
- φ
b
)
_
напряжение между выводами рассматриваемого участка, взятое по
выбранному направлению тока;
R
ab
- суммарное сопротивление участка схемы;
- алгебраическая сумма э.д.с. (если направление э.д.с. совпадает с выбранным
направлением тока, то эта э.д.с. берется со знаком «плюс», а в противном; случае - со
знаком «минус»).
Если в результате расчета значение тока получилось со знаком "минус", то это значит, что
действительное направление тока противоположно ранее принятому.
рис.3
Задачка 4
Для схемы на рис.4 задано: J=0,08 А; r =20 кОм: Е =230 В: R
1
= 1кОм Требуется
определить все токи и проверить баланс мощности.
рис.4
Расчётная часть
1. Цепь содержит четыре ветви, два узла (точки 1 и 2 на схеме образуют один узел, точки 3
и
4 - второй) и один источник тока. Поэтому следует составить одно уравнение по первому
и
два уравнения по второму законам Кирхгофа.
Выбранные направления обхода контуров и направления токов представлены на рисунке.
2. Составим систему уравнений
3. Подставим в систему известные значения
0,08 - I - b + I
1
= 0 (а)
230 = 10
3
I
1
+ 2 - 10
3
I
2
(б)
0 = 2 • 10
3
I
2
- 2 • 10
4
I (в)
4. Из уравнения (в) находим соотношения токов I и I
2
:
I = 0,11
2
5. Из уравнения (б) находим соотношения токов I
1
и I
2
.
I
1
= 0,23 – 2I
2
6.Подставляя полученные соотношения в (а), получим I
2
= 0,1 А и остальные токи;
I = 0,01 A; I
1
= 0,03 А.
7. Напряжение U
13
на источнике тока находим из уравнения:
U
13
= Ir = 0,01 - 2 - 10
4
= 200В.
8. Мощности, доставляемые источником тока и источником э.д.с. в цепь:
U
13
J + EI
1
= 200 • 0,08 + 230 • 0,03 = 229 Вт
9. Сумма мощностей нагрузок:
R
1
I
1
2
+ R
2
I
2
2
+ rI
2
= 10
3
• 0,03
2
+ 2 • 10
3
• 0,1
2
+ 2 • 10
4
• 0,01
2
= 229 Вт
Задачка № 5.
Для схемы на рис.5 задано: Е
1
= 100 В; Е
2
= 150 В; Е
3
= 28 В: J = 2 mA: R
2
= 2 кОм; R
3
= 4
кОм; R
4
= 6 кОм; R
5
= 8 кОм. Требуется определить токи всех ветвей.
Расчётная часть.
1 . В схеме шесть ветвей, четыре узла и один источник ток-а. По второму закону Кирхгофа
для этой схемы необходимо составить два уравнения, столько же и по методу контурных
токов.
Наличие источника тока вносит следующие особенности в формирование
уравнений:
а) ток источника тока аналогично контурным необходимо направить только по одному из
контуров:
б) контурные токи должны направляться по ветвям, не содержащим источник тока.
2. В соответствии с выбранными направлениями токов составляем уравнения и находим
токи I
11
и I
22
:
I
11
= 3 mA; I
22
= 3 rnA.
3. По контурным токам определяем истинные токи ветвей
I
1
= 1
11
= 3 mA; I
2
= I
22
+ J = 3 + 2 = 5 mA;
I
3
= I
22
= 3 mA; I
4
= I,, + I
22
= 3 + 3 = 6 mA;
I
5
= I
11
+ l
22
+ J
=
3 + 3 + 2 = 8mA.
Задачка № 6.
Для схемы на рис.6 задано: Е
1
= Е
6
=10 В: Е
2
= 6 В: Е
4
=20 В; Е
5
= 30 В: Е
7
= 14В; Е
8
= 8 В;
Е
10
=12 В: Е
11
= 7 В; R
1
= 1 Ом: R
2
:= R
7
= R
8
= R
11
= 2 Ом R
3
= 5 Ом: R
4
= R
5
= 10 Ом; R
4
= R
11
= 40M; J
9
= 1.5 A.
Требуется методом: узловых потенциалов определить токи в ветвях.
Записываем систему уравнений:
Подсчитываем проводимости:
G
11
= 1/R
1
+ 1/R
2
+ 1/R
3
+ 1/R
4
+ 1/R
5
+ 1/R
7
= 1 + 0,5 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,5 = 2,4 Ом;
G
22
= 1/R
3
+ 1/R
4
+1/R
5
+ 1/R
6
+1/R
10
+ 1/R
11
= 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,25 + 0,25 + 0,5 = 1,4
Ом;
G
33
= 1/R
7
+ 1/R
8
+ 1/R
10
+ 1/R
11
= 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,5 = 1,75 Ом;
G
12
= G
21
= - (1/R
3
+ 1/R
4
+ 1/R
5
) = -0,2 - 0,1 - 0,1 = -0,4 Ом;
G
13
= G
31
= - 1/R
7
= -0,5OM;
G
23
= G
32
= - (1/R
10
+ 1/R
11
) = - 0,25 - 0,5 = - 0,75 Ом;
(при расчете G
22
, G
33
, G
23
учтено, что проводимость ветви с источником тока J
9
равна
нулю).
Определяем.узловые токи:
I
11
= E
1
/R
1
- E
2
/R
2
- E
4
/R
4
+ E
5
/R
5
+ E
7
/R
7
=10 - 6/2 - 20/10 + 30/10 + 14/7 = 15 А
I
22
= E
4
/R
4
- E
5
/R
5
- E
6
/R
6
– E
10
/R
10
+ E
11
/R
11
+ J
9
=20/10 - 30/10 - 10/4 -12/4 + 7/2+ 1,5 = -1,5 A
I
33
= - E
7
/R
7
+ E
8
/R
8
+ E
10
/R
10
– E
11
/R
11
- J
9
= - 14/2 + 8/2 + 12/4 - 7/2 - 1,5 = -5
Подставляем полученные данные в исходную систему уравнении:
2,4 φ
1
- 0,4 φ
2
+ 0,5 φ
3
= 15
- 0,4 φ
1
+ 1,4 φ
2
- 0,75 φ
3
= -1,5
- 0,5 φ
1
,- 0,75 φ
2
+ 1,75 φ
3
= -5
Решим полученную систему с помощью определителей:
∆ = =3,6
∆
1
= =21.7
∆
2
= =0,2
∆
3
= =-4
φ
1
= ∆
1
/∆ = 21,7 • 3,6 = 6,03 В
φ
2
= ∆
2
/∆ = 0,2 • 3,6 = 0,06 В
φ
3
= ∆
3
/∆ = -4 • 3,6 = -1,11 В
Рассчитаем токи в ветвях, применив формулу (7);
I
1
= (-φ
1
+ Е
1
)/R
1
= (-6,03 + 10)/1 = 3,97 А;
I
3
=( φ
2
- φ
1
)/R
3
= -5,97•5 = -l,194A
1
8
= (-φ
1
+ Е
8
)/R
8
= (1,11 + 8)/2 = 4,555 А
I
1
= [(φ
3
- φ
2
) + Е
11
]/R
11
= (-1,11 - 0,06 + 7)/2 = 2,915 А
и так далее.
Сделаем проверку по второму закону Кирхгофа для внешнего контура схемы
(выберем направление обхода кон тура по часовой стрелке)
Сумма падений напряжений:
I
1
R
1
- I
3
R
3
- I
11
R
11
- I
8
R
8
= 3,97 • 1 + 1,194 • 5 - 2,915• 2 - 4,555 •2 = -5 В.
Сумма э.д.с.
Е
1
- Е
11
- Е
8
= 10 -7 - 8 = -5В.
Второй закон Кирхгофа для выбранного контура выполняется, что и
подтверждает правильность расчетов.
Задачка № 7.
Три генератора с э.д.с. Е
1
= 48 В; Е
2
= Е
3
=45 и внутренними сопротивлениями
r
1
= 1,2 Ом, r
2
= 1,2 Ом, r
3
= 1,2 Ом работают параллельно на общую нагрузку
R=4,2 Ом, как показано на рис.7.
Требуется определить напряжение на нагрузке U
ab
, токи нагрузки и
генераторов.
Рис.7
По формуле U
ab
= из лекции определяем напряжение на нагрузке
U
ab =
=
=
42B
По формуле I
11
= (Е
п
- U
ab
)r
n
из лекции вычисляем искомые токи:
I
1
= (E
1
-. U
ab
) r
1
= (48-42)l,2 = 5A;
1
2
= (E
2
- U
ab
) r
2
= (45-42)1=3A;
1
3
= (Е
2
- U
ab
) r
3
= (45-42)1,5 = 2А;
I
1
= U
ab
/R = 42/4,2 = 10A;
Е
1
= 48 В, Е
2
- Е
3
=45 В, r
1
= 1,2 Ом, r
2
= 1,2 Ом, r
3
= 1,2 Ом, R=4,2 Ом.
Задачка №8
рис.8 рис.9
рис.10
Для схемы на рис.8 задано: Е=50 В: R
1
= 5 Ом; R
2
= R
4
= R
6
= 10 Ом: R
3
= R
5
= 30 Ом.
Требуется определить ток I, протекающий через источник э.д.с.
Относительно узлов 1,2,3 резисторы R
2
, R
4
, R
6
- образуют звезду. Преобразуем ее в
эквивалентный треугольник, состоящий из резисторов R
7
, R
8
и R
9
, как показано на рис. 9.
Так как в звезде R
2
= R
4
= R
6
=
RY, ТО сопротивления резисторов треугольника составят
значение
R
7
= R
8
= R
9
= 3R
Y
= 3•10 = 30 Ом.
На схеме (рис.9) резисторы R
5
и R
8
, также как R
3
и R
9
,. включены параллельно. Заменим
эти две пары резисторов эквивалентными резисторами R
10
и R
11
:
R
10
= = = 15 Ом R
11
= = = 15 Ом
С учетом этого схема преобразуется к виду, показанному на рис. 10.
Эквивалентное сопротивление всей схемы R будет равно:
R
= R
1
+ = 5 + = 15 Ом
Искомый ток согласно закону Ома I = E/R = 50/20 = 2,5 А
Задачка № 9.
Методом наложения рассчитать токи в ветвях схемы на рис.11.а., если задано: Е
1
=10 В;
Е
2
= 40 В; Е
3
= 5 В; R
1
= 35 Ом; R
2
= 5 Ом; R
3
= 10 Ом.
Произвольно примем направления истинных токов в ветвях (рис.11,а) и составим
частичные схемы замещения для каждого из источников э.д.с. как показано на рис. 11,б - г.
Определим эквивалентное сопротивление схемы R
Э1
для источника э.д.с. E
1
и частичные
токи в первой схеме замещения (рис.11.б):
R
Э1
=R
1
= 35 + = Ом
I
1
= E
1
/R
Э1
= 10 3/115 = 6/23 А
I
2
= = = А
I
3
= I
1
-
I
2
= = А
рис.11
I
3
= I
2
– I
1
= = A R
Э3
= R
3
+ = 10 + = Ом
I
3
= = 5 8/115 = 8/23 А; I
1
= = = A
I
2
= I
3
– I
1
= = A
Подсчитаем истинные токи в ветвях:
I
1
= I
1
+ I
1
+ I
1
= = A
I
2
= I
2
+ I
2
+ I
2
= = A
I
3
= I
3
+ I
3
+ I
3
= = A
Задачка 10
рис. 12
Для схемы на рис.12, а задано: Е = 10 В; R
1
= R
4
= 1 Ом; R
2
= 4 Ом; R
3
=
R
5
= 2 Ом. Требуется определить ток в ветви с R
5
.
Размыкаем ветвь ab, как показано на рис. 12.6, и находим U
ab
φ
a
= φ
b
+ I
2
R
2
– I
1
R
2
= φ
b
+ R
2
E/(R
2
+ R
4
) – R
1
E(R
1
+ R
3
) = φ
b
+ 4 • 10/(4 + 1)
-10/(1+2) = (φ
b
+ 4,67)В;
U
abXX
= φ
a
+ φ
b
= 4,67 В.
Рассчитаем сопротивление всей схемы относительно зажимов ab (схема рис.12,в):
R
ab
= + = + = 1,47 Ом
Затем определяем искомый ток в ветви с R
5
:
I
5
= = = 1,346 A