Задачи по электростатике с решениями
Подождите немного. Документ загружается.
Задачи по электростатике с решениями
Задачи с решениями по электростатике по следующим темам:
1. Задачи по электростатике : 6 задач
2. Работа поля. Напряженность. Потенциал : 2 задачи.
3. Конденсаторы. Электроемкость : 2 задачи
1. Задачи по электростатике
1.1. Решение задачи 1 о силе притяжения заряженных шариков
Условие: c какой силой F будут притягиваться два одинаковых свинцовых шарика
радиусом r = 1 см, расположенные на расстоянии R = 1 м друг от друга, если у каждого
атома первого шарика отнять по одному электрону и все эти электроны перенести на
второй шарик? Молярная масса свинца M = 207×10
−3
кг/моль, плотность ρ = 11,3 г/см
3
.
Решение: после того как электроны у одного шарика отняты и перенесены на другой,
шарики приобретают равные и противоположные по знаку заряды, поэтому (если шарики
находятся в вакууме) сила притяжения
F =
q
2
:
,
4πε
o
R
2
где R — расстояние между центрами шариков, π — число Пи. Заряд q определится
следующим соотношением:
q = e
m
N
A
= e
ρV
N
A
=
4
ερπr
3
N
A
,
M M 3M
здесь N
A
= 6,02×10
23
моль
−1
(число Авогадро). Тогда
1.2. Решение задачи 2 о величине заряда в нижней точке сферы
Условие: внутри гладкой сферы находится маленький заряженный шарик. Какой
величины заряд нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик
удерживался в ее верхней точке?
Решение: заряд Q, который нужно поместить в нижней точке сферы, должен быть таким,
чтобы электрическая сила, действующая на верхний заряд, была не меньше силы тяжести
mg, то есть
kqQ
:
≥ mg, отсюда
d
2
Q ≥
mgd
2
.
kq
Однако нам надо еще проверить, будет ли такое равновесие устойчивым. Рассмотрим
малое отклонение шарика от положения равновесия.
Равновесие шарика устойчиво, если проекция силы F электрического взаимодействия
зарядов на касательную к сфере больше или равна проекции силы тяжести на ту же
касательную:
kqQ·sin α
:
≥ mg·sin 2α
d
2
(Сила N реакции опоры перпендикулярна поверхности сферы.)
Так как угол α отклонения шарика от положения равновесия мал, то sin α ≈ α, sin 2α ≈
2α. Поэтому
kqQ·α
:
≥ mg·2α
d
2
Следовательно, для устойчивого равновесия шарика в верхней точке сферы в нижнюю
точку сферы должен быть помещен заряд равный
Q ≥
2mgd
2
.
kq
1.3.Решение задачи 3 об отношении зарядов шариков на кольце
Условие: по кольцу могут свободно перемещаться три шарика, несущие заряды: +q
1
на
одном шарике и +q
2
на каждом из двух других. Чему равно отношение зарядов q
1
и q
2
,
если при равновесии дуга между зарядами q
2
составляет 60°?
Решение: для равновесия зарядов необходимо, чтобы сумма проекций всех электрических
сил приложенных к каждому заряду, на направление касательной к кольцу равнялась
нулю. Результирующая электрическая сила в этом случае перпендикулярна к окружности
и уравновешивается силой реакции кольца.
Так как заряды в точках B
1
и B
2
равны между собой, то заряд q
1
может быть расположен в точке, находящейся на равных расстояниях от точек B
1
и B
2
. В
соответствии со сказанным, проекции сил f
21
и f
22
, действующих на заряд q
2
в точке B
1
со
стороны других двух зарядов на направление касательной к окружности TT
1
в точке B
1
,
должны быть равны друг другу, т. е. f
21
cos y
1
= f
22
cos y
2
(1). Но
f
21
=
q
1
q
2
:
, где (из треугольника AB
1
O)
4πε
o
r
12
2
r
12
= 2Rcos
β
, поэтому
2
f
21
=
q
1
q
2
:
: (2). Далее
16πε
o
R
2
cos
2
(β/2)
f
22
=
q
2
2
, где : r
22
= 2Rsin
α
, т.е.
4πε
o
r
22
2
2
f
22
=
q
2
2
: (3).
16πε
o
R
2
sin
2
(α/2)
Рассматривая углы при вершине B
1
, мы можем записать
β
+ y
1
= 90° : (4), : 90° −
α
+ y
1
+ y
2
+
β
= 180° : (5).
2 2 2
Из уравнений (1) – (5), учитывая, что β=(α/2)
1.4.Решение задачи 4 о силе действия точечного заряда на большую пластину
На расстоянии d от большой проводящей пластины находится точечный электрический
заряд +q. С какой силой на него действует пластина?
Решение: индуцированные отрицательные заряды на поверхности
проводника распределяются таким образом, что результирующая напряженность поля
внутри проводника от положительного точечного заряда и индуцированных
отрицательных зарядов равна нулю. (Индуцированные положительные заряды уйдут на
удаленные края пластинки, и их полем можно пренебречь.) Это распределение
индуцированных зарядов не зависит от толщины пластинки.
Поместим слева от пластинки на том же расстоянии d заряд –q. Ясно, что на левой
стороне пластинки индуцированные положительные заряды распределяются таким же
образом, как и отрицательные на правой стороне пластинки. От того, что мы поместили
слева от пластинки заряд –q, электрическое поле справа от пластинки не изменится. Таким
образом, справа от пластинки электрическое поле от заряда +q и отрицательных
индуцированных зарядов совпадает с полем, создаваемым зарядами +q и –q и зарядами,
индуцированными на поверхностях пластинки. Если толщина пластинки очень мала по
сравнению с d, то мы можем пластинку считать бесконечно тонкой, а в таком случае поле,
создаваемое индуцированными зарядами, вне пластинки отсутствует.
Итак, мы показали, что поле справа от пластинки, создаваемое зарядом +q и
индуцированными отрицательными зарядами, совпадает с полем, создаваемым точечными
зарядами +q и –q. Поскольку в точке нахождения заряда +q напряженность поля от
индуцированных отрицательных зарядов равна напряженности поля от точечного заряда –
q, находящегося на расстоянии 2d от +q, то искомая сила притяжения равна
F =
kq
2
=
q
2
:
.
(2d)
2
16πε
o
d
2
1.5.Решение задачи 5 о силе, с которой растянуто заряженное кольцо
Тонкое проволочное кольцо радиуса R несет электрический заряд q. В центре кольца
расположен одноименный заряд Q, причем Q >> q. Определить силу, с которой растянуто
кольцо.
Решение: так как Q >> q, то взаимодействием между отдельными
элементами кольца можно пренебречь. Выделим малый элемент кольца длины RΔα. Со
стороны заряда Q на него действует сила
ΔF =
:
QΔq
:
, где : Δq =
qΔα
.
4πε
o
R
2
2π
Силы натяжения кольца T уравновешивают ΔF. Из условия равновесия, учитывая, что Δα
мало, имеем
ΔF = 2Tsin
Δα
≈ 2T
Δα
= TΔα.
2 2
Искомая сила является натяжением
T =
:
qQ
:
.
8π
2
ε
o
R
2
1.6.Решение задачи 6 о движении тела с зарядом по оси заряженного кольца
Тонкое проволочное кольцо радиуса R имеет электрический заряд +Q. Как будет двигаться
точечное тело массы m, имеющее заряд –q, если в начальный момент времени оно
покоилось в некоторой точке на оси кольца на расстоянии x<<R от его центра? Кольцо
неподвижно.
Решение: сила, действующая на заряд –q, равна (см. формулу слева)
и направлена всегда к центру кольца. Так как x << R, то, пренебрегая в знаменателе x по
сравнению с R, получим
F =
:
qQ
:
x.
4πε
o
R
3
Таким образом, сила пропорциональна x и направлена к центру кольца.
Под влиянием этой силы заряд совершает колебательное движение, период которого
равен T (см. формулу слева).
2. Работа поля. Напряженность. Потенциал
2.1.Задача 1: найти скорость протона для достижения заряженного шара
Какой минимальной скоростью v
min
должен обладать протон, чтобы он смог достигнуть
поверхности положительно заряженного металлического шара, имеющего потенциал ? =
400 В. Начальное расстояние протона от поверхности шара r = 3R, где R — радиус шара.
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 1 октября 2007 года.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения энергии. Протон
теряет свою кинетическую энергию в результате работы электрического поля:
ΔE
k
= A,
или
mv
2
= q(φ
1
− φ
2
),
2
:
где
φ
1
= k
Q
,
4R
— потенциал на расстоянии R + 3R = 4R от центра шара.
Из формулы:
φ = k
Q
: выразим заряд шара Q =
φR
.
R k
Тогда потенциал электрического поля шара на расстоянии 3R от его поверхности равен:
φ
1
=
φRk
=
φ
.
4Rk 4
Тогда
mv
2
= q(φ −
φ
) =
3
qφ.
2 4 4
Отсюда cкорость протона:
v = √(
3qφ
).
2m
После вычислений получим v = 2.4×10
5
м/с.
2.2.Задача 2: потенциал электрического поля в центре кольца
По тонкому проволочному кольцу равномерно распределен заряд с линейной плотностью
τ = 100 пКл/м. Определить потенциал Φ электрического поля в центре кольца.
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 8 октября 2007 года.
Решение:
Потенциал в центре проволочного кольца определим по принципу
суперпозиции, разбив кольцо на элементарные участки с зарядом q
i
. Получим формулу
(на рисунке слева), в которой:
i — количество разбиений,
потенциал Φ
i
, создаваемый в центре кольца элементарным зарядом q
i
, равен:
Φ
i
=
q
i
.
4πε
o
R
Из формулы линейной плотности заряда кольца
τ =
q
2πR
выразим:
q = q
i
•N = 2τπR.
Произведем суммирование Φ:
Φ =
1
•
q
i
N
=
1
•
q
=
2πτR
=
τ
.
4πε
o
R 4πε
o
R 4πε
o
R 2ε
o
Выполнив расчеты, получим: Φ = 5.65 В.
3. Конденсаторы. Электроемкость :
3.1.Задача 1: ионизация газов, ток насыщения и конденсатор
Рентгеновские лучи образуют в 1 см
3
газа 12,5×10
6
пар ионов за 1 с. Между пластинами
плоского конденсатора площадью по 100 см
2
при этих условиях ток насыщения 1×10
−10
A.
Каково расстояние между пластинами конденсатора?
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 23 мая 2007 года.
Решение:
Плотность тока насыщения в газе j
н
определяется формулой
j
н
= Nqd : :(1),
где N — число пар ионов, созданных рентгеновскими лучами в единице объема в единицу
времени, d — расстояние между пластинами.
Сила тока J и плотность тока S связаны соотношением J = I/S, тогда
j
н
=
I
н
: :(2).
S
Приравняем правые части уравнений (1) и (2):
I
н
= Nqd, : откуда
S
d =
I
н
SNq
После вычислений
d = 1×10
−10
A/(100×10
−4
м
2
×12,5×10
12
×1,6×10
−19
Кл) = 5×10
−3
м = 5 мм.
Ответ: расстояние между пластинами конденсатора равно 5 мм.
Примечание: взят заряд однозарядного иона e = 1,6×10
−19
Кл и в 1 м
3
образуется: 12,5×10
12
пар ионов за 1 c.
2.2.Задача 2: найти плотность энергии электрического поля конденсатора
Две одинаковые круглые пластины площадью S = 400 см
2
каждая расположены
параллельно друг другу. Заряд одной пластины Q
1
= 400 нКл, другой — Q
2
= 200 нКл.
Определить плотность энергии электрического поля в точках, расположенных: а) между
пластинами, б) вне пластин.
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 1 октября 2007 года.
Решение:
Плотность энергии поля численно равна энергии поля в единице объема:
w =
W
=
CU
2
=
εε
o
SU
2
=
εε
o
E
2
.
V 2V 2dSd
:
2
:
Рассмотрим поле пластин конденсатора. Напряженность поля вне пластин:
E = E
+
+ E
+
=
δ
+
+
δ
+
=
1
(Q
1
+ Q
2
).
2εε
o
2εε
o
2εε
o
S
Напряженность поля между пластин равна:
E = E
+
− E
+
=
δ
+
−
δ
+
=
1
(Q
1
− Q
2
).
2εε
o
2εε
o
2εε
o
S
Слева и справа модуль результирующей напряженности одинаков. Плотность энергии
электрического поля в точках, расположенных вне пластин:
w =
1
(
Q
1
+ Q
2
)
2
= 3.18 Дж/м
3
.
8ε
o
S
между пластин:
w =
1
(
Q
1
− Q
2
)
2
= 0.353 Дж/м
3
.
8ε
o
S
Примечание: плотность энергии пропорциональна квадрату напряженности
электрического поля в области пространства, что справедливо для электрических полей
любой конфигурации, а не только для однородных полей, в том случае, если среда,
заполняющая пространство изотропная.