Задачи и решения 44й международной математической олимпиады (Токио, 2003)
Подождите немного. Документ загружается.
44th International
Mathematical Olympiad
Short-listed
Problems and
Solutions
Tokyo Japan
July 2003
44th International
Mathematical Olympiad
Short-listed Problems and Solutions
Tokyo Japan
July 2003
The Problem Selection Committee and the Organising Committee of IMO 2003 thank
the following thirty-eight countries for contributing problem proposals.
Armenia Greece New Zealand
Australia Hong Kong Poland
Austria India Puerto Rico
Brazil Iran Romania
Bulgaria Ireland Russia
Canada Israel South Africa
Colombia Korea Sweden
Croatia Lithuania Taiwan
Czech Republic Luxembourg Thailand
Estonia Mexico Ukraine
Finland Mongolia United Kingdom
France Morocco United States
Georgia Netherlands
The problems are grouped into four categories: algebra (A), combinatorics (C), geometry
(G), and number theory (N). Within each category, the problems are arranged in ascending
order of estimated difficulty, although of course it is very hard to judge this accurately.
Members of the Problem Selection Committee:
Titu Andreescu Sachiko Nakajima
Mircea Becheanu Chikara Nakayama
Ryo Ishida Shingo Saito
Atsushi Ito Svetoslav Savchev
Ryuichi Ito, chair Masaki Tezuka
Eiji Iwase Yoshio Togawa
Hiroki Kodama Shunsuke Tsuchioka
Marcin Kuczma Ryuji Tsushima
Kentaro Nagao Atsuo Yamauchi
Typeset by Shingo SAITO.
CONTENTS v
Contents
I Problems 1
Algebra 3
Combinatorics 5
Geometry 7
Number Theory 9
II Solutions 11
Algebra 13
A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
A3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
A6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Combinatorics 21
C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
C5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
C6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Geometry 31
G1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
G3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
G4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
G5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
G6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
G7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Number Theory 51
N1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
N3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
vi CONTENTS
N4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
N5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
N6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
N7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
N8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Part I
Problems
1