Задача по эконометрике
Подождите немного. Документ загружается.
Задача
По территориям региона приводятся данные:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X 78 82 87 79 89 106 67 88 73 87 76 115
Y 133 148 134 154 162 195 139 158 152 162 159 173
Требуется:
а) Построить линейное уравнение парной регрессии y от x.
б) Рассчитать линейный коэффициент корреляции и среднюю ошибку
аппроксимации.
в) Оценить статистическую значимость параметров регрессии и
корреляции.
г) Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении
среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем 107 % от
среднего уровня.
д) Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его
доверительный интервал.
Решение:
а) Уравнение парной регрессии:
bxay
x
ˆ
22
)(xx
yxxy
b
;
xbyа
Составим вспомогательную таблицу.
i x y xy x
2
(x
i
-x)
2
(y
i
-y)
2
y
x
y
i
-y
x
y
i
-y
x
/
y
i
*100%
(y
i
-y
x
)
2
1 78 133 10374 6084 57,5 517,6 148,77 -15,8 11,86% 248,7
2 82 148 12136 6724 12,8 60,1 152,45 -4,5 3,01% 19,8
3 87 134 11658 7569 2,0 473,1 157,05 -23,1 17,20% 531,5
4 79 154 12166 6241 43,3 3,1 149,69 4,3 2,80% 18,6
5 89 162 14418 7921 11,7 39,1 158,89 3,1 1,92% 9,6
6 106 195 20670 11236 416,8 1540,6 174,54 20,5 10,49% 418,5
7 67 139 9313 4489 345,3 280,6 138,65 0,4 0,26% 0,1
8 88 158 13904 7744 5,8 5,1 157,97 0,0 0,02% 0,0
9 73 152 11096 5329 158,3 14,1 144,17 7,8 5,15% 61,3
10 87 162 14094 7569 2,0 39,1 157,05 4,9 3,05% 24,5
11 76 159 12084 5776 91,8 10,6 146,93 12,1 7,59% 145,7
12 115 173 19895 13225 865,3 297,6 182,83 -9,8 5,68% 96,6
S 1027 1869 161808 89907 2012,9 3280,3 - - 69,02% 1574,9
58,85
12
1027
n
x
x
i
;
75,155
12
1869
n
y
y
i
13484
12
161808
n
yx
xy
ii
;
25,7492
12
89907
2
2
n
x
x
i
92,0
)58,85(25,7492
75,15558,8513484
2
b
;
98,7658,8592,075,155 а
Тогда функция регрессии:
xy
x
92,098,76
ˆ
Рассчитываем для каждого значения х значения у
х
. Заносим в таблицу.
б) Найти коэффициент корреляции и ошибку аппроксимации.
Если:
2
x
yxxy
b
умножить на
y
x
, то получим:
r
yxxyyxxy
b
yx
y
x
x
y
x
2
,
Значит, коэффициент корреляции можно находить по формуле
y
x
br
952,12
12
9,2012
)(
2
n
xx
i
x
;
534,16
12
3,3280
)(
2
n
yy
i
y
721,0
534,16
952,12
92,0
xy
r
r
2
= 0,519
Значит, что 51,4% вариации заработной платы (Y) объясняется
вариацией фактора x – среднедушевого прожиточного минимума.
Качество модели определяется средней ошибкой аппроксимации
%75,5
12
%02,69
:%100
n
y
yy
A
i
xi
Так как значение
A
<10%, то качество модели оценивается как хорошее.
в) Оценку статистической значимости параметров регрессии проведём с
помощью t-статистики Стьюдента и путём расчёта доверительных
интервалов для каждого из показателей. Выдвинем гипотезу Н
о
: о
статистически незначимом отличии показателей от нуля, то есть Н
о
: a = b =
r
xy
=0. По таблицам t-критерия Стьюдента при
05,0
и числу степени
свободы в данном случае равном : n – 2= 12 – 2 = 10 находим t
табл
= 2,2281.
Определим случайные ошибки
a
m
,
b
m
,
xy
r
m
, для чего предварительно
найдём:
55,12
10
9,1574
2
ˆ
2
n
yy
S
i
xi
ост
21,24
952,1212
89907
55,12
2
x
остa
n
x
Sm
28,0
12952,12
55,12
n
S
m
х
ост
b
;
219,0
212
721,01
2
1
2
2
n
r
m
xy
r
xy
Тогда:
18,3
21,24
98,76
a
m
а
ta
;
29,3
28,0
92,0
b
b
m
b
t
;
29,3
219,0
721,0
xy
r
t
;
Из выше найденных фактических значений t
a
, t
b
, t
r
, видим что все они
больше ранее найденного табличного (критического) значения критерия
Стьюдента ( t = 2,2281) следовательно гипотеза Н
о
– отклоняется, то есть a, b
и r
xy
не случайно отличны от нуля.
Рассчитаем доверительные интервалы для a и b, для чего определим
предельную ошибку выборки для каждого показателя.
94,5321,242281,2
aтаблa
mt
62,028,02281,2
bтаблb
mt
Доверительные интервалы:
94,5398,76
аа
а
04,2394,5398,76
min
a
92,13094,5398,76
max
a
62,092,0
bb
a
30,062,092,0
min
b
54,162,092,0
max
b
г) Прогнозирование значения прожиточного минимума.
Чтобы прогнозное значение прожиточного минимума в день составлял
xx
p
× 1,07= 85,58 × 1,07 = 91,57 у.е.,
Прогнозное значение заработной платы в день должно составлять:
22,16157,9192,098,76
ˆ
p
y
у.е
д) Ошибка прогноза составляет:
17,13
9,2012
)58,8557,91(
12
1
155,12
1
1
2
2
2
xx
xx
n
m
i
p
остy
p
Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет
превышена, составит:
34,2917,132281,2
ˆ
p
yтаблp
mty
.
Доверительный интервал прогноза.
34,2922,161
p
y
88,13134,2922,161
min
p
y
56,19034,2922,161
max
p
y
Выполненный прогноз среднедневной заработной платы оказался
надёжным, но не точным, так как диапазон верхней и нижней границ
составляет 1,44 раза
44,1
88,131
56,190
min
max
y
y
Д