Высшая математика. Методическое пособие для студентов-заочников
Подождите немного. Документ загружается.
33
ная критическая точка второго рода. Т.к. в этой точке y
′′
меняет знак, то
точка М(2,2е
–2
) – точка перегиба графика функции.
6) Учитывая, что у(0)=0, строим график функции:
Рис. 8
6. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА
ОТРЕЗКЕ
Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает на нем наи-
большего и наименьшего значения. Для их нахождения следует вычислить
производную функции, найти ее критические точки. Вычислив далее значе-
ния функции в критических точках и на концах отрезка, выбирают из них
наибольшее и наименьшее значения.
Задача 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
233
23
++−= xxxy на отрезке [-2;2].
Решение. Найдем критические точки этой функции, лежащие на [-2;2].
Т.к.
222
)1(3)12(3363 −=+−=+−=
′
xxxxxy , то х=1 – единствен-
ная критическая точка. Вычислим значение функции в точке х=1 и на концах
отрезка [–2;2]: у(1)=3, у(–2)= –24, у(2)=4. Итак, у
наим.
= –24, у
наиб.
=4.
7. ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
7.1. Элементы линейной алгебры, векторной алгебры и аналити-
ческой геометрии
Задачи 1-10. Доказать совместность системы и решить ее по формулам
Крамера.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=−+
=+−
.02
,532
,5223
.1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−−
−=+−
=
+
−
.242
,132
,135
.2
321
321
321
xxx
xxx
xxx
e
-1
M
34
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
−=−−
=++
.22543
,132
,1032
.3
321
321
321
xxx
xxx
xxx
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=−+
=++
.62
,553
,1434
.4
321
321
321
xxx
xxx
xxx
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
=+−
=−+
.4334
,827
,324
.5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
=++
−=−−
.4223
,94
,465
.6
321
321
321
xxx
xxx
xxx
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=+−
=++
.052
,233
,12423
.7
321
321
321
xxx
xxx
xxx
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=−+
−=−+
.342
,45
,673
.8
321
321
321
xxx
xxx
xxx
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−−+
=+−
−=−+
.4352
,03
,1454
.9
321
321
321
xxx
xxx
xxx
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
=+−
=++
.5423
,182
,443
.10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Задачи 11–20. Даны координаты вершин пирамиды
4321
AAAA . Найти:
1) длину ребра
21
AA ; 2) угол между ребрами
21
AA и
41
AA ; 3) уравнение
плоскости
321
AAA ; 4) площадь грани
321
AAA ; 5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой
21
AA ; 7) уравнение высоты, опущенной из вершины
4
A
на плоскость
321
AAA .
11.
)0,3,7(),7,4,5(),2,6,6(),7,4,2(
4321
AAAA
12. )6,9,7(),4,4,9(),3,5,7(),7,5,4(
4321
AAAA
13. )6,2,1(),6,6,4(),1,1,6(),0,2,4(
4321
AAAA
14. )2,8,5(),4,8,3(),4,5,5(),10,5,3(
4321
AAAA
15. )8,9,3(),5,1,4(),1,7,0(),3,6,4(
4321
AAAA
16. )2,9,6(),1,7,3(),5,5,9(),8,7,5(
4321
AAAA
−
17. )7,6,3(),3,6,7(),3,4,2(),3,9,4(
4321
AAAA
18. )8,4,6(),3,8,5(),4,5,3(),9,9,1(
4321
AAAA
19. )8,5,8(),1,9,6(),9,3,3(),3,7,1(
4321
AAAA
20. )1,4,0(),1,6,1(),4,1,3(),6,1,1(
4321
−
−
− AAAA
Задачи 21-30. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки
которой от точки
)0,(a
F
и от прямой b
x
=
относятся как c:d.
21. a=4, b=25/4, c=4, d=5.
35
22. a=3, b=25/3, c=3, d=5.
23. a=6, b=50/3, c=3, d=5.
24. a=8, b=25/2, c=4, d=5.
25. a=5, b=16/5, c=5, d=4.
26. a=10, b=32/5, c=5, d=4.
27. a=13, b=144/13, c=13, d=12.
28. a=17, b=225/17, c=17, d=15.
29. а=2, b= –2, c=1, d=1.
30. а=3, b= –6, c=1, d=1.
Задачи 31-40. Построить линию, заданную
в полярной системе коорди-
нат уравнением
()
ϕ
rr = . Найти уравнение этой линии в прямоугольной де-
картовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а по-
ложительная полуось абсцисс с полярной осью. По полученному уравнению
определить тип линии.
.
cos1
4
.31
ϕ
−
=r
.
cos1
3
.32
ϕ
+
=r
.cos6.33
ϕ
=
r
.sin4.34
ϕ
=
r
.
cos23
10
.35
ϕ
−
=r
.
cos2
3
.36
ϕ
−
=r
.
cos45
9
.37
ϕ
−
=r
.
cos32
1
.38
ϕ
−
=r
.
cos5
12
.39
ϕ
−
=r
.
cos2
12
.40
ϕ
−
=r
7.2. Предел и непрерывность функции
Задачи 41-50. Найти предел функции, не пользуясь правилом
Лопиталя.
41.
;
32
103
lim)
2
2
−+
−+
∞→
x
x
xx
a
x
;
3
211
lim)
2
0
x
x
xx
б
x
+
+−+
→
;
3sin
2cos1
lim)
0
xx
x
в
x
−
→
.
52
32
lim)
1
−
∞→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
x
x
x
x
г
42. ;
158
127
lim)
2
2
3
+−
+−
→
x
x
xx
a
x
;
4
35
lim)
4
−
−+
→
x
x
б
x
36
;
4cos1
lim)
0
x
xtgx
в
x
−
→
()
.51lim)
2
1
0
x
x
x
xг
+
→
−
43. ;
102
3
lim)
3
23
+−
++
∞→
x
x
xxx
a
x
;
24
lim)
0
−+
→
x
x
б
x
;
2sin2
lim)
2
0
x
xxtg
в
x
−
→
.
1
lim)
31 x
x
x
x
г
−
∞→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
44. ;
1
34
lim)
3
2
1
−
+−
→
x
xx
a
x
;
22
312
lim)
4
−−
−+
→
x
x
б
x
;
coscos
lim)
2
3
0
x
xx
в
x
−
→
.
2
32
lim)
5x
x
x
x
г
−
∞→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
45. ;
125
30
lim)
3
2
5
+
−−
−→
x
xx
a
x
;
11
lim)
2
2
0
x
x
б
x
−−
→
;
6cos1
lim)
0
x
x
в
x
−
→
(
)
(
)
(
)
.ln2ln1lim) xxxг
x
−
+
+
∞→
46. ;
523
103
lim)
2
2
+
−
++
∞→
x
x
xx
a
x
;
3
572
lim)
9
−
−+
→
x
x
б
x
;
2cos
3sin
lim)
0
xtgx
xx
в
x→
(
)
(
)
.3ln13lnlim) xxxг
x
−
+
∞→
47. ;
8
107
lim)
3
2
2
−
+−
→
x
xx
a
x
;
516
2
lim)
4
−+
−
→
x
x
б
x
;
5
2sin
lim)
2
2
0
xtg
x
в
x→
()
.25lim)
2
2
−
→
−
x
x
x
xг
48. ;
145
1
lim)
2
3
1
−−
−
→
x
x
x
a
x
;
314
2
lim)
2
2
−+
−−
→
x
xx
б
x
;
2sin
lim)
2
2
0
x
x
в
x→
()
.23lim)
1
2
1
+
+
−→
x
xг
x
49.
()
;
54
1
lim)
2
2
1
−+
−
→
x
x
x
a
x
;
1
23
lim)
1
−
−+
→
x
x
б
x
37
;
1
sin
1
lim)
0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
→
tgxx
в
x
.
2
2
lim)
4 x
x
x
x
г
−
∞→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
50. ;
1023
52
lim)
2
2
+
−
++
∞→
x
x
xx
a
x
;
341
4
lim)
2
2
−−
−
−→
x
x
б
x
;
3sin
2
lim)
2
2
0
x
xtg
в
x→
.
1
lim)
3 x
x
x
x
г
−
∞→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Задачи 51-60. Задана функция )(
x
f
y
=
и два значения аргумента
1
x
и
2
x . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или
разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва
функции найти ее пределы в точках разрыва слева и справа; 3) сделать
схематический чертеж.
51.
()
x
xf
−
=
4
1
2 , .4,2
21
=
= xx 52.
()
4
1
3
−
=
x
xf , .4,2
21
=
= xx
53.
()
x
xf
−
=
5
1
4 , .5,6
21
=
= xx 54.
()
x
xf
−
=
6
1
5 , .6,3
21
=
= xx
55.
()
x
xf
−
=
3
1
6 , .3,4
21
=
= xx 56.
()
4
1
7
−
=
x
xf , .4,1
21
=
= xx
57.
()
5
1
8
−
=
x
xf , .5,2
21
=
= xx 58.
()
x
xf
−
=
6
1
9 , .6,4
21
=
= xx
59.
()
3
1
10
−
=
x
xf , .3,5
21
=
= xx 60.
()
x
xf
−
=
4
1
11 , .4,1
21
=
= xx
Задачи 61-70. Функция )(
x
y задана различными аналитическими вы-
ражениями для различных областей изменения независимой переменной.
Найти точки разрыва, если они существуют. Сделать чертёж.
61.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>+
≤<
≤−
=
.2,1
,20,
,0,2
2
xеслиx
xеслиx
xеслиx
y
62.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>+
≤<
≤+
=
.3,2
,31,2
,1,1
2
xеслиx
xеслиx
xеслиx
y
63.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
.1,2
,10,
,0,2
2
xесли
xеслиx
xеслиx
y
64.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<<
≤−
=
.2,2
,20,
,0,1
2
xеслиx
xеслиx
xеслиx
y
38
65.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>+
≤≤+
<−
=
.4,3
,40,1
,0,3
xеслиx
xеслиx
xеслиx
y
66.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<≤+
<+
=
.1,0
,10,1
,0,13
2
xесли
xеслиx
xеслиx
y
67.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤<+
≤−
=
.1,2
,10,1
,0,2
2
xесли
xеслиx
xеслиx
y
68.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤≤+
<
=
.1,
,10,1
,0,1
2
xеслиx
xеслиx
xесли
y
69.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>−
≤≤
<
−
=
.4,1
,40,
,0,
xеслиx
xеслиx
xеслиx
y 70.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>−
≤≤−
−<+
=
.2,6
,21,
,1,12
2
xеслиx
xеслиx
xеслиx
y
7.3. Производная и ее вычисление
Задачи 71–80. Найти производные
dx
dy
данных функций.
71. а)
()
;arcsinln
2
xy = б)
(
)
;3cos2
4
xey
x
+=
в)
(
)
;2sin
3x
xy = г) .1
22
=++ xyyxxy
72. а) ;
2
3 xtgx
ey
+
= б) ;
1
3
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
x
xtgy
в)
;
13
12
3
+
++
=
x
xxx
y
г) .
2
yexy
y
=+
73. а) ;sinln5ln
2
xxx − б) ;
1
1
−
+
=
x
x
arctgy
в)
(
)
;3
2x
xtgy = г)
(
)
.cos xxy
=
74. а) ;1ln
2
xarctgy += б)
(
)
xxxey
x
++=
+
3
213
;
в)
(
)
;
sin
3
x
xxy += г) .
33
xyyx =+
75. а)
(
)
;3
4
2cos
xtgy
x
+= б) ;sin1
2
xxy +=
в)
()
()
3
5
2
2
;
1
)1
−
+
=
x
xx
y г) .3 arcctgy
x
y
+
=
39
76. а) ;10
3
sin1 x
y
−
= б) ;
1
1
arcsin
−
+
=
x
x
y
в) ;5sin1
23
xxexy
x
+= г) .0cossin =
−
x
yy
x
77. а) ;1
32
xtgxtgy ++= б) ;1arcsin
2
xxxy −+=
в)
(
)
;
x
arctgxy = г) .
x
ytgy
=
78. а) ;
1
cosln
x
x
y
−
=
б) ;
1
1
y
x
e
e
y
−
+
=
в) ;
2
1
3x
x
y
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
г) .3ln =+
y
x
y
79. а) ;sin
13
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
++ xx
ey б) ;
ln
ln
1
3
x
x
x
x
y −+=
в)
(
)( )
()( )
;
411
211
54
32
xx
xx
y
+−
−+
=
г) .0
352
=++ xyyxx
80. а) ;ln
2
xctgy = б) ;arcsin
sin
3
xx
x
x
y −=
в)
()
x
xy cos= ; г) .
53
yxe
y
+=
Задачи 81–90. Найти
dx
dy
и
2
2
dx
yd
параметрически заданных функций.
81.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
.cos
,
ty
ex
t
82.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=
.
3
1
,
3
2
tty
tx
83.
⎩
⎨
⎧
=
=
.sin
,cos
tty
ttx
84.
⎩
⎨
⎧
−=
−
=
.cos1
,sin
ty
ttx
85.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
.3
,2
2
3
ty
ttx
86.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−=
.
,1
3
2
tty
tx
40
87.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
.sin4
,cos3
2
ty
tx
88.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=
.sin
,
2
cos
tty
t
x
89.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
+=
.2
,8
5
3
tty
ttx
90.
⎩
⎨
⎧
=
=
.3sin
,3cos
ty
tx
Задачи 91–100. Проверить, удовлетворяет ли заданному уравнению
функция
()
., yxuu =
91. ,2=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
y
x
u
x если
(
)
.ln
22
yxyxu ++=
92. ,
2
2
2
2
2
x
u
a
y
u
∂
∂
=
∂
∂
если
(
)
.sin ayxu +
=
93. ,
2
y
u
yx
u
x
∂
∂
=
∂∂
∂
если .
y
x
u =
94. ,0
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
y
x
u
x если .
xy
eu
=
95. ,0
2
2
22
=
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
y
u
y
x
u
x
x
u
если .
x
y
eu
=
96. ,0
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
y
u
x
u
если
(
)
.ln
22
yxu −=
97. ,1=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
если
(
)
.ln
yx
eeu +=
98. ,0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
если .
x
y
arctgu =
99. ,0
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
y
u
x
u
если
(
)
.ln
22
yxu −=
100. ,
2
2
2
2
2
y
u
x
u
a
∂
∂
=
∂
∂
если
(
)
.sin ayxu −
=
41
7.4. Исследование функций и построение графиков
Задачи 101–110. Исследовать функцию
(
)
xfy
=
и построить её гра-
фик.
101.
.
1
2
−
=
x
x
y
102. .
4
2
3
x
x
y
+
=
103. .
2 x
exy
−
= 104. .
x
e
y
x
=
105. .
1
2
−
=
x
x
y
106. .
1
2
2
x
x
y
−
=
107. .
1
2
2
x
xy += 108. .
1
1
2
+
=
x
y
109. .
4
8
2
−
=
x
y 110. .
1
2
x
x
y
+
=
Задачи 111–120. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
()
xfy = на отрезке [a,b].
111.
()
,2
2
3
3
1
23
xxxxf +−= [0, 3].
112.
()
,3818
432
xxxxf −+= [0, 4].
113.
()
,2
24
xxxf −= [0, 2].
114.
()
,12
3
xxxf −= [–1, 3].
115.
x
x
xf
2
8
)( +=
[1, 6].
116.
()
,
3
3
x
x
xf +=
[–5, –1].
117.
()
,233
23
++−= xxxxf [–2, 2].
118.
()
,3
23
xxxf −= [1, 3].
119.
()
,4
4
xxxf += [–2, 2].
120.
()
,712
3
+−= xxxf [0, 3].
42
ЛИТЕРАТУРА
1. Гусак А.А., Гусак Г.М. Справочник по высшей математике.–Мн.,
1991.–480 с.
2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии.– М.: Наука,
1969.-272 с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.–М.:
Наука, 1978.– Т.1.–456 с.; т.2.–576 с.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.А. Высшая
математика в
упражнениях и задачах.–М.: Высшая школа, 1980.–Ч.1.–321 с., ч.2.–
368 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ……………………………………………………………… 3
1. Элементы линейной алгебры ...……………………………………… 3
2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии ...…….. 5
2.1. Основные введения из векторной алгебры ..…………………. 5
2.2 Основные сведения из аналитической геометрии ..…………... 7
2.3. Полярная система координат ..………………………………… 11
3. Предел функции. Непрерывность функции …..……………………. 18
3.1. Понятие предела функции и основные теоремы о
пределах … 18
3.2. Непрерывность функции ……………………………………….. 21
4. Производная и дифференциал ……………………………………….. 24
4.1. Производная. Правила вычисления производных и таблица
производных …………………………………………………… 24
4.2. Логарифмическое дифференцирование ...............................…. 26
4.3. Производные неявных функций ............................................… 27
4.4. Производные высших порядков .............................................… 27
4.5. Производные параметрически заданных функций ..................… 28
4.6. Частные производные функции нескольких переменных ...… 28
5. Исследование функций и построение графиков ...........................… 29
6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке ..........… 33
7.
Задачи для контрольных работ …...…………………………………. 33
7.1. Элементы линейной алгебры, векторной алгебры и
аналитической геометрии……………………………………… 33
7.2. Предел и непрерывность функции…………………………….. 35
7.3. Производная и ее вычисление…………………………………. 38
7.4. Исследование функций и построение графиков……………… 41
Литература ..................................................................................……….. 42
Оглавление ..................................................................................……….. 42