Вереина Л.И. Техническая механика

Подождите немного. Документ загружается.

Èç àêñèîìû 3 ñëåäóåò, ÷òî ðàâíîäåéñòâóþùàÿ äâóõ ñèë, ïðèëî-

æåííûõ â îäíîé òî÷êå, ðàâíà èõ ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììå è ïðèëîæå-

íà â òîé æå òî÷êå.

Àêñèîìà 4. Äâà ìàòåðèàëüíûõ òåëà äåéñòâóþò äðóã íà äðóãà ñ

ñèëàìè, ðàâíûìè ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííû-

ìè. Òàêàÿ ñèñòåìà ñèë íå ÿâëÿåòñÿ óðàâíîâåøåííîé, òàê êàê ñèëû

ïðèëîæåíû ê ðàçíûì òåëàì.

Àêñèîìà 5. Åñëè äåôîðìèðóåìîå òåëî íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè

ïîä äåéñòâèåì äàííîé ñèñòåìû ñèë, òî ðàâíîâåñèå íå íàðóøèòñÿ,

åñëè òåëà ñòàíóò àáñîëþòíî òâåðäûìè.

Ýòà àêñèîìà íàçûâàåòñÿ àêñèîìîé çàòâåðäåâàíèÿ. Èç àêñèîìû 5

ñëåäóåò, ÷òî ýòî óñëîâèå, ÿâëÿÿñü íåîáõîäèìûì è äëÿ àáñîëþòíî

òâåðäîãî òåëà, è äëÿ äåôîðìèðóåìîãî, íå ÿâëÿåòñÿ äëÿ ïîñëåäíåãî

äîñòàòî÷íûì. Â ðàçä. 2 áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ äîñòàòî÷íîñòü ðàâíî-

âåñèÿ äåôîðìèðóåìûõ òåë.

1.2. Связи и их реакции

Òåëî, êîòîðîå ìîæåò ñîâåðøàòü ëþáûå ïåðåìåùåíèÿ â ïðî-

ñòðàíñòâå, íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíûì; ïðèìåðîì ñâîáîäíîãî òåëà ìî-

æåò ñëóæèòü ñàìîëåò èëè ñíàðÿä, ëåòÿùèå â âîçäóõå. Â ðàçëè÷íîãî

ðîäà ñîîðóæåíèÿõ è êîíñòðóêöèÿõ ìû îáû÷íî âñòðå÷àåìñÿ ñ òåëà-

ìè, íà ïåðåìåùåíèÿ êîòîðûõ íàëîæåíû îãðàíè÷åíèÿ. Òàêèå òåëà

íàçûâàþòñÿ íåñâîáîäíûìè. Òåëî, îãðàíè÷èâàþùåå ñâîáîäó äâèæå-

íèÿ òâåðäîãî òåëà, ÿâëÿåòñÿ ïî îòíîøåíèþ ê íåìó ñâÿçüþ. Åñëè

ïðèëîæåííûå ê òåëó ñèëû áóäóò ñòðåìèòüñÿ ñäâèíóòü åãî ïî òîìó

èëè èíîìó íàïðàâëåíèþ, à ñâÿçü ïðåïÿòñòâóåò òàêîìó ïåðåìåùå-

íèþ, òî òåëî áóäåò âîçäåéñòâîâàòü íà ñâÿçü ñ ñèëîé äàâëåíèÿ íà

ñâÿçü.

Ïî àêñèîìå 4 ñòàòèêè ñâÿçü áóäåò äåéñòâîâàòü íà òåëî ñ òàêîé

æå ñèëîé, íî ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííîé. Ñèëà, ñ êîòîðîé

äàííàÿ ñâÿçü äåéñòâóåò íà òåëî, ïðåïÿòñòâóÿ òîìó èëè èíîìó ïå-

ðåìåùåíèþ, íàçûâàåòñÿ ñèëîé ðåàêöèè ñâÿçè.

Èç èçëîæåííîãî ñëåäóåò ïðèíöèï îñâîáîæäàåìîñòè òâåðäîãî òåëà

îò ñâÿçè, èëè àêñèîìà ñâÿçè: âñÿêîå íåñâîáîäíîå òåëî (ðèñ. 1.6, à)

ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñâîáîäíîå,

åñëè ìûñëåííî îòáðîñèòü íàëîæåí-

íûå íà òåëî ñâÿçè è ïðèëîæèòü âìå-

ñòî íèõ ñèëû ðåàêöèè ýòèõ ñâÿçåé

(ðèñ. 1.6, á). Íà ðèñ. 1.6 mg  âåñ òåëà,

N  ðåàêöèÿ ñâÿçåé.

Ñèëû, äåéñòâóþùèå íà òåëà, áó-

äåì ðàçäåëÿòü íà çàäàííûå, èëè àê-

òèâíûå ñèëû, è ðåàêöèè ñâÿçåé, èëè

ïàññèâíûå ñèëû.

Ðèñ. 1.6

Ìîäóëü è íàïðàâëåíèå êàæäîé àêòèâíîé ñèëû èçâåñòíû çàðà-

íåå è íå çàâèñÿò îò äåéñòâèÿ äðóãèõ ïðèëîæåííûõ ê äàííîìó òåëó

ñèë. Ïðèìåðàìè àêòèâíûõ ñèë ìîãóò ñëóæèòü ìóñêóëüíàÿ ñèëà ÷å-

ëîâåêà, ñèëà òÿæåñòè, ñèëà ñæàòîé ïðóæèíû.

Ðåàêöèè ñâÿçè íà ïîêîÿùååñÿ òåëî âîçíèêàþò ëèøü â òåõ ñëó-

÷àÿõ, êîãäà ýòî òåëî ïîä äåéñòâèåì àêòèâíûõ ñèë îêàçûâàåò äàâ-

ëåíèå íà ñâÿçü, ïîýòîìó îíè è íàçûâàþòñÿ ïàññèâíûìè ñèëàìè. Ïî

àêñèîìå ñâÿçè ðåàêöèÿ ñâÿçè íàïðàâëåíà â ñòîðîíó, ïðîòèâîïî-

ëîæíóþ òîé, êóäà ñâÿçü íå äàåò ïåðåìåùàòüñÿ òåëó. Ñëåäîâàòåëü-

íî, åñëè èçâåñòíî, â êàêîì íàïðàâëåíèè ñâÿçü ïðåïÿòñòâóåò ïå-

ðåìåùåíèþ òâåðäîãî òåëà, òî èçâåñòíî è íàïðàâëåíèå ðåàêöèè

ñâÿçè.

Ðàññìîòðèì íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ òèïû ñâÿçåé.

1. Ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü èëè ïëîñêîñòü. Ãëàäêîé áó-

äåì íàçûâàòü òàêóþ ïîâåðõíîñòü, íà êîòîðîé â ïåðâîì ïðèáëèæå-

íèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü òðåíèåì. Ñâÿçü â âèäå ãëàäêîé ïîâåðõíîñ-

òè íå äàåò òåëó ïåðåìåùàòüñÿ òîëüêî â îäíîì íàïðàâëåíèè  ïåð-

ïåíäèêóëÿðíîì ê ýòîé ïîâåðõíîñòè. Ïîýòîìó ðåàêöèÿ ãëàäêîé

ïîâåðõíîñòè

íàïðàâëåíà ïî íîðìàëè ê ýòîé ïîâåðõíîñòè è

ïðèëîæåíà ê òåëó â òî÷êå êàñàíèÿ (ñì. ðèñ. 1.6, á). Íà ðèñ. 1.6, á

òåëî èçîáðàæåíî îñâîáîæäåííûì îò ñâÿçè.

Â äàëüíåéøåì ïðè ðàññìîòðåíèè ðàâíîâåñèÿ íåñâîáîäíîãî òåëà

ðåàêöèþ ñâÿçè áóäåì èçîáðàæàòü òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 1.7. Íà

ýòîì ðèñóíêå ïðèâåäåíû ñâÿçè â âèäå ãëàäêèõ âûïóêëîé (ðèñ. 1.7, à)

è âîãíóòîé (ðèñ. 1.7, â) ïîâåðõíîñòåé, à íà ðèñ. 1.7, á  â âèäå

ïëîñêîé ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè.

2. Ãëàäêàÿ îïîðà. Ñâÿçü, îñóùåñòâëåííàÿ â âèäå ãëàäêîé

îïîðû, íå äàåò òåëó ïåðåìåùàòüñÿ â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêó-

ëÿðíîì ê ïîâåðõíîñòè òåëà â òî÷êå îïîðû (ðèñ. 1.8). Âèäíî, ÷òî

ðåàêöèÿ ãëàäêîé îïîðû íàïðàâëåíà ïî íîðìàëè ê îïèðàþùåéñÿ

ïîâåðõíîñòè è ïðèëîæåíà ê òåëó â òî÷êàõ êàñàíèÿ À è Â.

3. Í è ò ü. Ñâÿçü, îñóùåñòâëÿåìàÿ â âèäå ãèáêîé íèòè (ðèñ. 1.9),

íå ïîçâîëÿåò òåëó óäàëÿòüñÿ îò òî÷êè À, ïîýòîìó ðåàêöèÿ ñâÿçè Ò

âñåãäà íàïðàâëåíà âäîëü íèòè ê òî÷êå åå çàêðåïëåíèÿ.

Ðèñ. 1.7

4. Öèëèíäðè÷åñêèé øàðíèð. Íà ðèñ. 1.10 èçîáðàæåíà

øàðíèðíî-íåïîäâèæíàÿ îïîðà âàëà, îñü êîòîðîãî ïðîõîäèò ÷åðåç

øàðíèð À ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïëîñêîñòè ÷åðòåæà. Öèëèíäðè÷åñ-

êèé øàðíèð À äîïóñêàåò âðàùåíèå âàëà, íî ïðåïÿòñòâóåò åãî ïå-

ðåìåùåíèþ â ïëîñêîñòè õÎó. Ïîýòîìó ðåàêöèÿ öèëèíäðè÷åñêîãî

øàðíèðà

ðàñïîëîæåíà â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè âîç-

ìîæíîãî âðàùåíèÿ, è åå íàïðàâëåíèå îïðåäåëÿþò äâå âçàèìíî-

ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïðîåêöèè íà îñè Îõ è Îó.

5. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü. Æåñòêèé íåâåñîìûé (ìàññîé

åãî ïðåíåáðåãàþò) ñòåðæåíü, øàðíèðíî ïðèêðåïëåííûé ê òåëó

(ðèñ. 1.11, à), èñïûòûâàåò äåéñòâèå òîëüêî äâóõ ñèë, ïðèëîæåí-

íûõ â øàðíèðàõ À è Â (ðèñ. 1.11, á ). Êàê è âñÿ êîíñòðóêöèÿ, ñòåð-

æåíü ÀÂ íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè. Åñëè ñòåðæåíü íàõîäèòñÿ â ðàâ-

íîâåñèè ïîä äåéñòâèåì äâóõ ñèë, òî â ñîîòâåòñòâèè ñ àêñèîìîé 1

ñòàòèêè ýòè ñèëû äîëæíû áûòü ðàâíû ïî ìîäóëþ, íî ïðîòèâîïî-

ëîæíî íàïðàâëåíû ïî îäíîé ëèíèè äåéñòâèÿ, ò. å.

=−

à èõ

ìîäóëè R

= R

= R.

Â îòëè÷èå îò íèòè ñòåðæåíü ìîæåò äåéñòâîâàòü íà òåëî â äâóõ

íàïðàâëåíèÿõ, èñïûòûâàÿ ëèáî ñæàòèå (ñì. ðèñ. 1.11, á), ëèáî ðàñ-

òÿæåíèå.

6. Æåñòêàÿ çàäåëêà. Çàäåëêà (ðèñ. 1.12) èñêëþ÷àåò âîçìîæíîñòü

ëþáûõ ïåðåìåùåíèé âäîëü îñåé Îõ è Îó, à òàêæå ïîâîðîò â ïëîñ-

Ðèñ. 1.8

Ðèñ. 1.9 Ðèñ. 1.10

êîñòè õÎó. Ïîýòîìó òàêàÿ ñâÿçü ïðè îñâîáîæäåíèè òåëà îò ñâÿçè

áóäåò çàìåíÿòüñÿ ðåàêöèåé

(èëè åå ïðîåêöèÿìè R

è R

è ìî-

ìåíòîì â çàäåëêå Ì

1.3. Плоская система сил

Ñèñòåìà ñèë, ëèíèè äåéñòâèÿ êîòîðûõ ëåæàò â îäíîé ïëîñêî-

ñòè, íàçûâàåòñÿ ïëîñêîé. Íà ïëîñêîñòè ìîãóò áûòü ïðèëîæåíû ïðî-

èçâîëüíî ðàñïîëîæåííûå ñèëû, ïàðû ñèë è ñèëû, ñõîäÿùèåñÿ â

îäíîé òî÷êå.

Ðàâíîâåñèå ñèñòåìû ñõîäÿùèõñÿ ñèë. Ñõîäÿùèìèñÿ íàçûâàþò-

ñÿ ñèëû, ëèíèè äåéñòâèÿ êîòîðûõ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå

(ðèñ. 1.13, à). Ñóùåñòâóþò äâà ìåòîäà ñëîæåíèÿ ïåðåñåêàþùèõñÿ

ñèë: ãåîìåòðè÷åñêèé (ðèñ. 1.13, á ) è àíàëèòè÷åñêèé (ðèñ. 1.13, â).

Ãåîìåòðè÷åñêèé ìåòîä ñëîæåíèÿ ñõîäÿùèõñÿ

ñ è ë. Îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè Î îòêëàäûâàåì âåêòîð, ðàâíûé ñèëå

;

îò êîíöà

îòêëàäûâàåì âåêòîð, ðàâíûé ñèëå

è ò.ä. (ñì.

ðèñ. 1.13, à, á ). Çàòåì, ñîåäèíÿÿ íà÷àëî âåêòîðà

ñ êîíöîì ïîñ-

ëåäíåãî

ïîëó÷àåì ðàâíîäåéñòâóþùóþ âñåõ ñèë. Ïîñòðîåííàÿ

ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèëîâûì ìíîãîóãîëüíèêîì.

Àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä ñëîæåíèÿ ñõîäÿùèõñÿ

ñ è ë. Ïðîåêòèðóÿ âåêòîðíîå ðàâåíñòâî

123

FFF R

++=

íà îñè êî-

îðäèíàò (ñì. ðèñ. 1.13, â), ïîëó÷èì äâà àëãåáðàè÷åñêèõ ðàâåíñòâà:

1õ

+ F

2õ

+ F

3õ

= R

;

1ó

+ F

2ó

+ F

3ó

= R

èëè

cos α

+ F

cos α

+ F

cos α

= Rcos α;

cos β

− F

cos β

− F

cos β

= −Rcos β.

Ðèñ. 1.11 Ðèñ. 1.12

Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî Rcos α = R

, Rcos β = R

, îïðåäåëèì çíà÷åíèå

ðàâíîäåéñòâóþùåé âñåõ ñõîäÿùèõñÿ ñèë

RRR

è íàïðàâëåíèå âåêòîðà

cos ; cos .

α= β=

Óñëîâèåì ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû ñõîäÿùèõñÿ ñèë ÿâëÿåòñÿ ðà-

âåíñòâî íóëþ ìîäóëÿ ðàâíîäåéñòâóþùåé

ò. å. ñèëîâîé ìíîãî-

óãîëüíèê äîëæåí áûòü çàìêíóòûì (ïðè ãåîìåòðè÷åñêîì ñïîñîáå

ñëîæåíèÿ) èëè (àíàëèòè÷åñêè) ïðîåêöèè ðàâíîäåéñòâóþùåé ñèëû

íà îñè êîîðäèíàò äîëæíû áûòü ðàâíû íóëþ (R

= R

= 0). Îòñþäà

äëÿ ïëîñêîé ñèñòåìû ñõîäÿùèõñÿ ñèë ïîëó÷èì äâà óðàâíåíèÿ ðàâ-

íîâåñèÿ ýòèõ ñèë:

∑

Ñëåäîâàòåëüíî, для равновесия системы сходящихся сил необхо

димо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей

координат была равна нулю.

Ðèñ. 1.13

Ïðèìåð 1.1.

Îïðåäåëèòü íàòÿæåíèå íèòåé, óäåðæèâàþùèõ òåëî âåñîì 5 Í â ðàâ-

íîâåñèè (ðèñ. 1.14, à).

Ðåøåíèå.

Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ñòàòèêè íåîáõîäèìî ïðèäåðæèâàòüñÿ îïðåäåëåí-

íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Â äàííîì ïðèìåðå ïîäðîáíî èçëîæåí ïîðÿäîê

ðåøåíèÿ çàäà÷ òàêîãî òèïà.

1. Ñäåëàòü ñõåìàòè÷åñêèé ÷åðòåæ êîíñòðóêöèè. Âûáðàòü îáúåêò (ñòåð-

æåíü, òâåðäîå òåëî è ò.ï.), ðàâíîâåñèå êîòîðîãî ñëåäóåò ðàññìîòðåòü,

ïðè÷åì èñêîìûå è çàäàííûå âåëè÷èíû äîëæíû áûòü ñ íèì ñâÿçàíû. Â ýòîé

çàäà÷å èñõîäíûå äàííûå (âåñ, óãëû α è β) è èñêîìûå âåëè÷èíû (íàòÿæå-

íèÿ íèòåé) ñâÿçàíû ñ òåëîì âåñîì 5 Í, ò.å. îíî ÿâëÿåòñÿ îáúåêòîì ðàâ-

íîâåñèÿ.

2. Îñâîáîäèòüñÿ îò ñâÿçåé è ïðèëîæèòü ê ðàññìàòðèâàåìîìó îáúåêòó

ðàâíîâåñèÿ âñå àêòèâíûå è ïàññèâíûå ñèëû. Ê ýòîìó ýòàïó ðåøåíèÿ çà-

äà÷è ñëåäóåò îòíåñòèñü îñîáåííî âíèìàòåëüíî. Óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ,

èçó÷àåìûå â ñòàòèêå, ïðèâîäÿòñÿ òîëüêî äëÿ ñâîáîäíûõ òåë. Ïîýòîìó ñëå-

äóåò õîðîøî îáäóìàòü, êàêèå ðåàêöèè ñâÿçåé ïðè îñâîáîæäåíèè îò ïîñ-

ëåäíèõ íóæíî ïðîñòàâèòü íà ÷åðòåæå.

Â äàííîì ñëó÷àå ñâÿçÿìè ÿâëÿþòñÿ íèòè ÀÂ è DE. Ïðè îñâîáîæäåíèè

îò ñâÿçåé çàìåíÿåì èõ ñîîòâåòñòâåííî íàòÿæåíèÿìè

(ðèñ. 1.14, á).

3. Ïðîàíàëèçèðîâàòü ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó ñèë. Òåëî íàõîäèòñÿ â ðàâ-

íîâåñèè ïîä äåéñòâèåì ïëîñêîé ñèñòåìû ñõîäÿùèõñÿ ñèë (ëèíèè èõ äåé-

ñòâèÿ ïåðåñåêàþòñÿ â öåíòðå øàðà). Äëÿ òàêîé ñèñòåìû ñèë èìåþòñÿ äâà

óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. ×èñëî íåèçâåñòíûõ â ýòèõ óðàâíåíèÿõ òàêæå ðàâ-

íî äâóì, ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìà.

4. Çàïèñàòü óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ â âåêòîðíîé (ãðàôè÷åñêîé) èëè àíà-

ëèòè÷åñêîé ôîðìå. Íàéòè íåèçâåñòíûå âåëè÷èíû.

Â äàííîé çàäà÷å èñïîëüçóåì àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ. Çàïèñû-

âàåì óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïëîñêîé ñèñòåìû ñõîäÿùèõñÿ ñèë:

∑

Ðèñ. 1.14

cos 60 cos 30° 0;

TT−+ =

cos 30° cos 60° 0.

TT mg+−=

Ðåøèâ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïðåäåëèì íàòÿæåíèå íèòåé:

= 4,34 Í; Ò

= 2,5 Í.

Ìîìåíò ñèëû îòíîñèòåëüíî òî÷êè. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî,

ìîæåò íå òîëüêî ñìåùàòü åãî, íî è ïîâîðà÷èâàòü âîêðóã êàêîé-

íèáóäü òî÷êè. Ïóñòü ñèëà

ïðèëîæåííàÿ â òî÷êå À, ñòðåìèòñÿ

ïîâåðíóòü òåëî âîêðóã òî÷êè Î (ðèñ. 1.15). Ïîñêîëüêó ñèëó ìîæíî

ïåðåíîñèòü ïî ëèíèè åå äåéñòâèÿ, òî âðàùàòåëüíûé ýôôåêò ýòîé

ñèëû íå áóäåò çàâèñåòü îò òîãî, â êàêîé òî÷êå ýòà ñèëà ïðèëîæå-

íà, à áóäåò çàâèñåòü îò ðàññòîÿíèÿ h îò òî÷êè Î äî ëèíèè äåé-

ñòâèÿ ñèëû.

Ìîìåíòîì ñèëû F îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî öåíòðà Î íàçûâà-

åòñÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ ïðîèçâåäåíèþ ñèëû íà êðàò÷àéøåå ðàññòî-

ÿíèå îò òî÷êè Î äî ëèíèè äåéñòâèÿ ñèëû è âçÿòàÿ ñ ñîîòâåòñòâó-

þùèì çíàêîì. Çíàê «ïëþñ» ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíòó ñèëû, êîòîðàÿ

ñòðåìèòñÿ ïîâåðíóòü òåëî âîêðóã òî÷êè Î ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé

ñòðåëêè (ñì. ðèñ. 1.15, à), à çíàê «ìèíóñ» ñòàâèòñÿ, åñëè ñèëà ñòðå-

ìèòñÿ ïîâåðíóòü òåëî ïî íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ ÷àñîâîé ñòðåëêè

(ñì. ðèñ. 1.15, á ). Åñëè ëèíèÿ äåéñòâèÿ ñèëû ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó,

òî ìîìåíò ñèëû îòíîñèòåëüíî ýòîé òî÷êè ðàâåí íóëþ.

Ïåðïåíäèêóëÿð h, îïóùåííûé èç òî÷êè Î íà ëèíèþ äåéñòâèÿ

ñèëû

íàçûâàåòñÿ åå ïëå÷îì îòíîñèòåëüíî öåíòðà Î.

Ïàðà ñèë. Ñèñòåìà äâóõ ðàâíûõ ïî ìîäóëþ, ïàðàëëåëüíûõ è ïðî-

òèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûõ ñèë, ïðèëîæåííûõ ê òåëó â äâóõ ðàç-

íûõ òî÷êàõ (ðèñ. 1.16, à), íàçûâàåòñÿ ïàðîé ñèë.

Ïëå÷îì ïàðû h íàçûâàåòñÿ êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó ëèíè-

ÿìè äåéñòâèÿ ñèë, ñîñòàâëÿþùèõ ïàðó. Ìîìåíòîì ïàðû ñèë íàçû-

âàåòñÿ âçÿòîå ñî çíàêîì «ïëþñ» èëè «ìèíóñ» ïðîèçâåäåíèå ìîäó-

ëÿ îäíîé èç ñèë íà ïëå÷î ïàðû.

Ðèñ. 1.15

Ñâîéñòâà ïàðû ñèë. 1. Ñóììà ïðîåêöèé íà ëþáóþ îñü ñèë,

îáðàçóþùèõ ïàðó, ðàâíÿåòñÿ íóëþ (ðèñ. 1.16, á ):

cos α − F

cos α = 0.

Ñëåäîâàòåëüíî, ïàðó ñèë íåëüçÿ çàìåíèòü ðàâíîäåéñòâóþùåé.

Ïðèìåð 1.2.

Âû÷èñëèòü ìîìåíòû ïàð ñèë

(ñì. ðèñ. 1.16, à è â), ó÷èòûâàÿ

÷òî F

= F

= F.

Ðåøåíèå.

Ìîìåíò ïàðû ñèë

ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 1.16, à:

()

12 1

mom , .

FF Fh Fh

=+ =+

Ìîìåíò ïàðû ñèë

ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 1.16, â:

()

12 1

mom , .

FF Fh Fh

=− =−

2. Ñóììà ìîìåíòîâ ñèë, îáðàçóþùèõ ïàðó, îòíîñèòåëüíî ëþ-

áîé òî÷êè ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ðàñïîëîæåíà ïàðà, ðàâíÿåòñÿ ìî-

ìåíòó ïàðû (ñì. ðèñ. 1.16, â):

()

mom ;

FFdFd

=− =−

()

mom ;

FFlFl

=+ =+

() ()

()

mom mom .

F F Fd Fl d l F Fh

+=−+=−−=−

Ïðèâåäåíèå ïëîñêîé ñèñòåìû ñèë ê çàäàííîìó öåíòðó. Ïóñòü íà

òâåðäîå òåëî äåéñòâóåò ñèñòåìà ñèë

¾,

(ðèñ. 1.17, à).

Ïðèëîæèì â òî÷êå Î ïî äâå óðàâíîâåøåííûå ñèëû, îäíà èç

êîòîðûõ áóäåò ðàâíà ïî ìîäóëþ è ïàðàëëåëüíà çàäàííîé:

Ðèñ. 1.16

,¾, ,

FF FF

′′

à äðóãàÿ  ðàâíà, íî íàïðàâëåíà â ïðîòèâîïî-

ëîæíóþ ñòîðîíó:

,¾, .

FFF F

′′ ′′

=− =−

Òåïåðü íà òåëî äåéñòâóþò: ñèñòåìà ñõîäÿùèõñÿ ñèë

,,¾,

FF F

′′ ′

ñèñòåìà ïàð ñèë ñ ìîìåíòàìè

()

111

mom , ,

mFF

′′

()

222

mom , ,

mFF

′′

¾,

()

mom , .

nnn

mFF

′′

Ñèñòåìó ñõîäÿùèõñÿ ñèë çàìåíÿåì ðàâíî-

äåéñòâóþùåé (ðèñ. 1.17, á ):

RF F F

′′ ′

=+++

èëè (÷òî âûòåêàåò

èç ðàâåíñòâà

′

è ò. ä.)

¾.

RFF F

=+++

Â ñîîòâåòñòâèè ñî

âòîðûì ñâîéñòâîì ïàðû ñèë íàéäåì àëãåáðàè÷åñêóþ ñóììó ìî-

ìåíòîâ âñåõ ïàð:

= m

+ m

+ ¾ + m

Ðåçóëüòàò ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé ñôîðìóëèðîâàí â ëåììå Ïóàí-

ñî:

произвольную плоскую систему сил можно заменить одной силой,

равной геометрической сумме всех сил, приложенных в произвольно

выбранном центре, и моментом, равным алгебраической сумме мо

ментов присоединенных пар.

Ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå ïðèâåäåíèÿ ñèëà

íàçûâàåòñÿ ðå-

çóëüòèðóþùåé ñèëîé (îíà íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîäåéñòâóþùåé äëÿ çà-

äàííîé ñèñòåìû ñèë, òàê êàê íå çàìåíÿåò èõ äåéñòâèÿ), à M



ðåçóëüòèðóþùèì ìîìåíòîì.

Â òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ:

1. Точка О называется центром приведения.

2. Вектор

равный геометрической сумме всех сил, является

главным вектором. Его значение не зависит от выбора центра приве

дения, т.е.

— инвариантная величина.

3. Момент M

, равный алгебраической сумме моментов присоеди

ненных пар, называется главным моментом; его значение зависит от

выбора центра приведения.

Ðèñ. 1.17

×àñòíûå ñëó÷àè ïðèâåäåíèÿ:

0,R

= 0  ïëîñêàÿ ñèñòåìà ñèë íàõîäèòñÿ â ðàâíîâå-

ñèè;

0,R

≠ 0  ñèñòåìà ñèë ïðèâîäèòñÿ ê ïàðå ñ ìîìåí-

òîì, ðàâíûì àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ìîìåíòîâ âñåõ ñèë îòíîñè-

òåëüíî öåíòðà ïðèâåäåíèÿ. Â ýòîì ñëó÷àå ãëàâíûé ìîìåíò íå çàâè-

ñèò îò öåíòðà ïðèâåäåíèÿ;

0,R

≠

= 0  ñèñòåìà ñèë ïðèâîäèòñÿ ê îäíîé ðàâíîäåé-

ñòâóþùåé ñèëå, ïðèëîæåííîé â òî÷êå Î; ãëàâíûé âåêòîð â ýòîì

ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîäåéñòâóþùåé, òàê êàê îí îäèí çàìåíÿåò ñî-

âîêóïíîñòü äåéñòâóþùèõ ñèë;

0,R

≠

≠ 0  ñèñòåìà ñèë ìîæåò áûòü çàìåíåíà îäíîé

ðàâíîäåéñòâóþùåé ñèëîé, ïðèëîæåííîé â íîâîì öåíòðå ïðèâå-

äåíèÿ, ðàñïîëîæåííîì îò ïðåæíåãî íà ðàññòîÿíèè d = M

/R.

Àíàëèòè÷åñêèå óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ïëîñêîé ñèñòåìû ñèë. Íåîá-

õîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè ðàâíîâåñèÿ ÿâëÿåòñÿ ðà-

âåíñòâî íóëþ ãëàâíîãî âåêòîðà è ãëàâíîãî ìîìåíòà:

è M

= 0.

Ñïðîåêòèðîâàâ âåêòîð

íà îñè êîîðäèíàò, ïîëó÷èì

= 0 è R

= 0, òàê êàê

RRR

Çíàÿ, ÷òî

xix

∑

yiy

∑

ïîëó÷èì àíàëèòè÷åñêèå óñ-

ëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðîèçâîëüíîé ïëîñêîé ñèñòåìû ñèë:

∑

mom ( ) 0.

∑

×àñòî ýòè óðàâíåíèÿ íàçûâàþò îñíîâíûìè óðàâíåíèÿìè ðàâíîâå-

ñèÿ. Â çàâèñèìîñòè îò ðàñïîëîæåíèÿ ñèë èíîãäà öåëåñîîáðàçíî

ñîñòàâëÿòü óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ â âèäå äâóõ óðàâíåíèé ìîìåíòîâ è

îäíîãî óðàâíåíèÿ ïðîåêöèé:

∑

mom ( ) 0;

∑

mom ( ) 0.

∑

Â ýòîì ñëó÷àå îñü Îõ íå äîëæíà áûòü ïåðïåíäèêóëÿðíà ÀÂ.

Ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â âèäå òðåõ óðàâíåíèé

ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî òðåõ òî÷åê À, Â è Ñ, íå ëåæàùèõ íà îäíîé

ïðÿìîé:

mom ( ) 0;

∑

mom ( ) 0;

∑

mom ( ) 0.

∑