Васильев В.E., Морозов А.В. Компьютерная графика
Подождите немного. Документ загружается.
20
(также в однородных координатах). Пусть
(, ,)
p
xyz
=
– точка в
трехмерном пространстве. Ее однородное представление
(,,,)vwxwywzw= . Умножим v на
P
:
(
)
(
)( )
,,0, /,/,0,1vP wkx wky w z k kx z k ky z k
⎡⎤⎡ ⎤
=+=++
⎣⎦⎣ ⎦
.
Теперь точки двумерного пространства будут описываться трехэлементными
вектор-строками, поэтому и матрицы преобразований, на которые будет
умножаться вектор точки, будут иметь размеры 3×3. Запишем матричное
преобразование операции переноса для однородных координат:
100
', ',1 , ,1 0 1 0
1
xy xy
DD
xy
⎡
⎤
⎢
⎥
=×
⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
или
'(,)
x
y
p
pT D D= ,где
100
(, ) 0 1 0
1
xy
xy
TD D
DD
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
.
При последовательном переносе точки
p в точку '
p
и затем в точку ''
p
компоненты суммарного вектора переноса являются суммами
соответствующих компонент последовательных векторов переноса.
Рассмотрим, каковы будут элементы матрицы суммарного переноса. Пусть
'(,)
x
y
p
pT D D= ,
''
'' ' ( , )
x
y
p
pT D D=
. Подставив первое уравнение во
второе, получаем
''
'' (, )'(, )
x
yxy
p
pTDD pTDD= . Матричное произ-
ведение, т.е. суммарный перенос, равен произведению соответствующих
матриц переноса:
21
1001 00 1 0 0
0100 10 0 1 0
1' '1 ' '1
xy x y xxyy
DD D D DD DD
⎡⎤⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
=
⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
++
⎣⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
.
Запишем матричный вид операции масштабирования.
00
', ',1 , ,1 0 0
001
x
y
S
xy xy S
⎡
⎤
⎢
⎥
=×
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
.
Определим матрицу масштабирования
00
(, ) 0 0
001
x
y
xy
S
SS S S
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
.
Так же, как последовательные переносы являются аддитивными, покажем,
что последовательные масштабирования будут мультипликативными.
''
(, ) (, )
xy xy
SS S SS S
×
=
00 ' 0 0 ' 0 0
000'00 '0
0010 01 0 0 1
xx xx
yy yy
SS SS
SS SS
×
⎡⎤⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
=×
⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
.
Для операции поворота матричный вид будет такой:
cos sin 0
', ',1 , ,1 - sin cos 0
001
xy xy
α
α
αα
⎡
⎤
⎢
⎥
=×
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
.
22
Определим матрицу поворота
()
cos sin 0
-sin cos 0
001
R
α
α
ααα
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
.
Аналогично двум предыдущим случаям, покажем, что матрица поворота
остается таковой при последовательных поворотах.
()()
cos sin 0 cos sin 0
-sin cos 0 -sin cos 0
001001
RR
α
αββ
αβ α α β β
⎡⎤⎡ ⎤
⎢⎥⎢ ⎥
==
⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
cos( ) sin( ) 0
-sin( ) cos( ) 0
001
α
βαβ
αβ αβ
+
+
⎡⎤
⎢⎥
=+ +
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
.
Таким образом, два, а значит и любое количество последовательных
поворотов можно записать в виде одной матрицы суммарного поворота.
Также легко заметить, что любая последовательность операций, включающая
в себя перенос, масштабирование и вращение в однородных координатах,
может быть представлена одной матрицей, которая является произведением
матриц данных операций.
Рассмотрим, каким образом с
помощью композиции матричных
преобразований можно получить одно общее результирующее
преобразование. Для этого будем использовать матрицы
T , S и R. С
вычислительной точки зрения гораздо проще и быстрее применять матрицу
уже готового преобразования вместо того, чтобы применять их
последовательно одну за другой. К точке более эффективно применять одно
результирующее преобразование, чем ряд преобразований друг за другом.
23
Для примера рассмотрим задачу поворота объекта на плоскости
относительно некоторой произвольной точки
0
p
. Пока мы умеем
поворачивать объекты только вокруг начала координат. Но можно
представить эту задачу как последовательность шагов, на каждом из которых
будет применяться только элементарная операция: перенос,
масштабирование или вращение.
Вот эта последовательность элементарных преобразований (рис. 5.7):
1. Перенос, при котором точка
0
p
переходит в начало координат.
2. Поворот на заданный угол.
3. Перенос, при котором точка из начала координат возвращается в
первоначальное положение
0
p
.
Рис. 5.7. Последовательность преобразований при повороте объекта вокруг
точки
000
(, )
p
xy
=
на угол
α
Точка
000
(, )
p
xy=
. Первый перенос производится на вектор
00
[- ,- ]xy
, а
обратный перенос - на вектор
00
[, ]xy
.
24
5.4. Трехмерные матричные преобразования
Подобно тому, как двумерные преобразования описываются матрицами
размером 3×3, трехмерные преобразования могут быть представлены
матрицами размером 4×4. Тогда трехмерная точка
(, ,)xyz записывается в
однородных координатах как
(,,,)wx wy wz w , где 0w ≠ . Для получения
декартовых координат надо первые три однородные координаты разделить
на
w
.
Матрицы преобразований будем записывать в правосторонней системе
координат. При этом положительный поворот определяется следующим
образом. Если смотреть из положительной части оси вращения (например,
оси
z ) в направлении начала координат, то поворот на
D
90
против часовой
стрелки будет переводить одну положительную полуось в другую (ось
x
в
y
, в соответствии с правилом циклической перестановки).
Заметим, что на практике удобнее применять левостороннюю систему
координат, так как в этом случае удобнее интерпретировать тот факт, что
точки с большими значениями
z находятся дальше от наблюдателя.
Запишем теперь матрицу трехмерного переноса. Аналогично двумерному
случаю.
1000
0100
(,,)
0010
1
xyz
xyz
TD D D
DDD
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
, при этом
[,,,1] ( , , )[ , , ,1]
x
yz x y z
xyz T D D D x D y D z D⋅=+++.
25
Операция масштабирования:
000
000
(,,)
00 0
0001
x
y
xyz
z
S
S
SS S S
S
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
[, ,,1] ( , , ) [ , , ,1]
x
yz x y z
xyz SS S S xS yS zS⋅=⋅⋅⋅.
Перейдем к операции поворота. Так как при двумерном повороте в плоскости
xy координаты z остаются неизменными, то поворот вокруг оси z
записывается так:
cos sin 0 0
-sin cos 0 0
()
0010
0001
z
R
α
α
αα
α
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
.
Матрица поворота вокруг оси
x
имеет вид:
10 00
0cos sin 0
()
0-sin cos 0
00 01
x
R
αα
α
αα
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
,
26
и вокруг оси
y :
cos 0 -sin 0
01 0 0
()
sin 0 cos 0
00 0 1
y
R
α
α
α
αα
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
.
Обратите внимание на смену положения синуса угла с отрицательным
знаком в матрице поворота вокруг оси
y
. Правильность этих матриц легко
проверить поворотом одного из ортов на
D
90 , при этом он должен перейти в
следующий по порядку орт на соответствующей координатной оси.
Обратные преобразования будут выражаться обратными матрицами. Для
операции переноса надо лишь заменить знаки компонент вектора переноса на
противоположные:
1
(,,) ( , , )
x
yz x y z
TDDD TDDD
−
=
−−−;
для операции масштабирования – на обратные значения:
1
(,,) (1/ ,1/ ,1/)
x
yz x y z
SSSS sS S S
−
=
;
для поворота – выбором отрицательного угла поворота:
1
() ( )RR
α
α
−
=
− .
27
Результатом нескольких последовательных поворотов будет матрица
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0
0
0
0001
rrr
rrr
A
rrr
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
.
Здесь верхняя матрица размером 3
×3 называется ортогональной. Важным ее
свойством является то, что обратная к ней матрица является
транспонированной:
1 T
BB
−
= . Это полезно тем, что при вычислениях
достаточно поменять индексы местами и обратное преобразование
получается автоматически.
После перемножения любого числа матриц вида
T , S и R результирующая
матрица всегда будет иметь вид:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0
0
0
1
xyz
rrr
rrr
rrr
ttt
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
.
Здесь верхняя часть размером 3
×3 определяет суммарный поворот и
масштабирование, а три коэффициента последней строки – суммарный
перенос.
28
6. Цветовые модели
С физической точки зрения цвет – это набор определённых длин волн,
отражённых от предмета или пропущенных сквозь прозрачный предмет.
Однако сейчас нас интересует вопрос не о том, что такое цвет, какова его
физическая природа, а то, как вообще на практике можно получить тот или
иной цвет.
Цвета в природе редко являются простыми
. Большинство цветов получаются
смешением каких-либо других. Например, сочетание красного и синего даёт
пурпурный цвет, синего и зелёного – голубой. Таким образом, путём
смешения из небольшого количества простых цветов, можно получить
множество (и при чём довольно большое) сложных (составных). Поэтому для
описания цвета вводится понятие цветовой модели.
Цветовая модель – способ представления большого количества
цветов посредством разложения их на простые составляющие.
Существует большое количество моделей. Рассмотрим только три основных.
6.1. Цветовая модель RGB
Множество цветов видны оттого, что объекты, их излучающие, светятся. К
таким цветам можно отнести, например, цвета на экранах телевизора,
монитора, кинопроектора. Цветов огромное количество, но из них выделено
только три, которые считаются основными (первичными): это – красный,
зеленый, синий.
При смешении двух основных цветов результирующий цвет осветляется: из
смешения красного и зеленого
получается желтый, из смешения
29
зеленого и синего получается голубой, синий и красный дают пурпурный.
Если смешиваются все три цвета, в результате образуется белый. Такая
модель цвета является аддитивной.
Модель, в основе которой лежат указанные цвета, носит название цветовой
модели RGB – по первым буквам английских слов Red (Красный), Green
(Зеленый), Blue (Синий).
Поскольку в модели используются три независимых
значения, ее можно
представить в виде трехмерной системы координат (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Цветовая модель RGB
Каждая координата отражает вклад соответствующей составляющей в
конкретный цвет в диапазоне от нуля до максимального значения. В
результате получается некий куб, внутри которого и находятся все цвета,
образуя цветовое пространство модели RGB.