Ващенко Г.В., Добронец Б.С. Надежность информационных систем

Подождите немного. Документ загружается.

Надежность информационных систем 31

Средняя наработка до отказа

t — математическое ожидание наработки

объекта до первого отказа (среднее время до отказа):

t =

∞

tf(t)dt = −tP (t)|

∞

P (t)dt =

∞

P (t)dt. (1.5)

Наработка на отказ — отношение наработки восстанавливаемого объекта к

математическому ожиданию количества его отказов в течение этой наработ-

ки.

Для ЭВМ этот показатель называется средним временем между отказа-

ми. Если после каждого отказа объект восстанавливается до первоначального

состояния, то среднее время между отказами равно среднему времени до от-

каза.

Интенсивность отказов — условная плотность вероятности возникно-

вения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматрива-

емого момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник:

λ(t) =

f(t)

P (t)

= −

(t)

P (t)

. (1.6)

Интенсивность отказов показывает, какая часть элементов выходит из

строя в единицу времени по отношению к среднему числу исправно работа-

ющих элементов.

Работа элементов и систем характеризуется тремя этапами. Начальный

этап (период доводки — [0, t

]) отличается небольшим количеством отказов.

Здесь выходят из строя элементы с малым запасом прочности. Второй этап

(t1, t

) — период нормальной эксплуатации — характеризуется пониженным

уровнем и примерным постоянством интенсивности отказов. Здесь отказы в

основном носят внезапный характер. Продолжительность этого периода за-

висит от среднего срока службы элементов и условий эксплуатации. Третий

этап (от t

и далее) — период износа и старения. Он характерен значительным

ростом числа отказов; с наступлением этого периода дальнейшая эксплуата-

ция системы становится нецелесообразной.

Решая соотношение (1.6) как линейное однородное дифференциальное

уравнение первого порядка относительно функции безотказности, получаем

P (t) = e

−λ(t)dt

. (1.7)

В частном случае, когда λ = const, выражение (1.7) представляет собой

экспоненциальный закон надежности. По этому закону вероятность безот-

казной работы элементов, обладающих интенсивностью отказов, убывает со

временем по экспоненциальной кривой.

Это справедливо для периода нормальной эксплуатации системы, когда

эффект износа неощутим. Такую кривую называют функцией надежности.

32 Общие положения теории надежности

Она имеет большое значение для практического использования, когда необхо-

димо знать, с какой вероятностью АСУ или ИС способна выполнить задание,

требующее определенной продолжительности безотказной работы.

Подставив значение P (t) в (1.5), получим

t = 1/λ. где λ = 1/

t — среднее

число отказов в единицу времени. Тогда (1.7) принимает вид

P (t) = e

−λt

. (1.8)

По известной из курса теории вероятностей формуле дисперсия времени без-

отказной работы D[t] = 1/λ

, σ = 1/λ.

Таким образом, для нормального периода эксплуатации системы интен-

сивность отказов остается постоянной и справедлива показательная модель

надежности, время безотказной работы имеет экспоненциальный закон рас-

пределения.

Параметр потока отказов (средняя частота отказов) ω(t) — плотность ве-

роятности возникновения отказа восстанавливаемого объекта, определенная

для рассматриваемого момента времени.

Если система состоит из n элементов, находящихся в нормальной эксплу-

атации и работающих в одинаковых условиях, и в ней за время t наблюдалось

m отказов, то параметр потока отказов будет составлять

ω = m/(nt).

При λ = const средняя частота отказов λ = ω = const.

1.7. Показатели ремонтопригодности

Вероятность восстановления в заданное время — вероятность того, что

время восстановления не превысит заданного.

Время, затрачиваемое на обнаружение и устранение отказов, является

случайной величиной, зависящей от ряда факторов: квалификации обслужи-

вающего персонала, качества применяемых в системе испытательных про-

грамм, полноты контроля и сигнализации и т. п. Закон распределения време-

ни обнаружения и устранения отказов приближается к экспоненциальному.

Среднее время восстановления t

— это математическое ожидание време-

ни восстановления работоспособности, т. е. времени, затраченного на поиск и

устранение неисправностей. Если на отыскание и устранение m отказов было

затрачено время t

, ..., t

, то среднее время восстановления объекта можно

определить как

/m.

Надежность информационных систем 33

Пример 1.1. Интенсивность отказов элемента λ(t) = at (1/ч). Опреде-

лить плотность распределения наработки до отказа f(t).

Решение. В соответствии с выражением (1.6) f(t) = λ(t)P (t). В свою

очередь P (t) = e

−λ(t)dt

, следовательно, P (t) = e

−at

. Таким образом,

f(t) = ate

−at

1.8. Показатели долговечности

Долговечность системы характеризуется ее наработкой от начала экс-

плуатации до наступления предельного состояния. Эта наработка называется

техническим ресурсом. Ресурс для каждого объекта может быть величиной

случайной.

Долговечность ИС и ее элементов может оцениваться следующими по-

казателями.

Средний ресурс — математическое ожидание ресурса. Гамма-процентный

ресурс — время, в течение которого объект не достигает предельного состоя-

ния с заданной вероятностью γ процентов.

Назначенный ресурс — установленная в нормативно-технической доку-

ментации суммарная наработка, при достижении которой дальнейшее при-

менение системы по назначению следует прекратить независимо от ее техни-

ческого состояния.

1.9. Показатели сохраняемости

В режиме хранения и (или) транспортирования, так же как и в режиме

использования, могут возникать отказы, поэтому сохраняемость характери-

зуется показателями, аналогичными показателям безотказности: вероятно-

стью невозникновения отказов в течение заданного времени хранения (транс-

портирования), средним временем хранения до отказа, интенсивностью отка-

зов и параметром потока отказов при хранении. Однако основным в эксплу-

атации системы является применение, непосредственное ее использование по

назначению, поэтому особое значение приобретает оценка влияния хранения

и транспортирования на последующее поведение объекта в рабочем режиме.

Показатели сохраняемости характеризуют величину срока сохраняемости —

календарной продолжительности хранения (транспортирования) объекта в

заданных условиях, в течение и после которой сохраняются значения задан-

ных характеристик в установленных пределах.

Средний срок сохраняемости — математическое ожидание срока сохра-

няемости.

34 Общие положения теории надежности

Гамма-процентный срок сохраняемости — срок сохраняемости, который

будет достигнут объектом с заданной вероятностью γ процентов.

1.10. Основы теории восстановления

Восстанавливаемый технический объект — объект, для которого восста-

новление работоспособного состояния предусмотрено нормативно-технической

и конструкторской документацией.

В обыденной жизни, примером такого объекта является благодаря кон-

струированию на принципах открытой архитектуры, такая информационная

система как персональный компьютер. Все мы, не привлекая специалистов,

можем заменить, например, вышедшую из строя клавиатуру или манипуля-

тор – мышь. Не намного сложнее, производится замена, например, видеокар-

ты или DVD-привода. Проделываем мы такого рода ремонтные работы, если

гарантийный срок, определяемый производителем для элементов данной си-

стемы истек, по мере необходимости.

Что касается сложных технических систем, применяемых в производстве

или управлении, для оценки их надежности, строятся специальные модели и

применяется методики, разрабатываемые на основе теории восстановления,

являющейся составной частью теории надёжности.

Применение потоков Пальма

Для характеристик процессов восстановления, в теории надёжности ши-

роко применяют элементы теории случайных процессов и теории вероятности

– стационарные потоки событий с ограниченным последействием, называе-

мые потоками Пальма.

Для такого потока интервалы T

, T

, ... между событиями, представляет

собой последовательность независимых одинаково распределенных случай-

ных величин.

Рассмотрим следующую вероятностную задачу. Имеется неограниченное

количество одинаковых по своим характеристикам элементов. Первый эле-

мент включается в работу в момент t = 0 и работает случайное время T

после чего выходит из строя (отказывает). В момент отказа первого элемен-

та он мгновенно заменяется (восстанавливается вторым), который работает

случайное время T

, после чего восстанавливается третьим, работающим слу-

чайное время T

и т.д. рис. 2.9. Такой процесс восстановления элементов про-

должается неограниченно, причем каждый отказавший элемент немедленно

заменяется новым.

Надежность информационных систем 35

Если случайные величины T

, T

, ... независимы и одинаково распределе-

ны, то поток отказов (он же поток восстановлений) представляет собой поток

Пальма. Образующийся при этом случайный процесс называется простым

процессом восстановления

Характеристиками такого процесса являются:

1. Продолжительность времени от начала t = 0 (момент включения пер-

вого элемента) до k-го отказа (восстановления)

(k)

i=1

2. Число восстановлений X(t), имевших место на участке времени (0, t).

3. Функция восстановления Λ(t) – математическое ожидание случайного

процесса X(t):

Λ(t) = M[X(t)].

4. Плотность восстановления

λ(t) = lim

∆t→0

M[X(t) − X(t + ∆t)]

∆t

Λ(t).

5. “Возраст” элемента Q, достигнутый им в произвольный момент време-

ни

t, не связанный с потоком восстановлений, если процесс длился достаточно

долгое время.

6. “Остаточное время жизни” элемента R, остающееся ему в момент вре-

мени

t до отказа, также не связанный с потоком восстановлений, если процесс

длился достаточно долгое время. Случайная величина R имеет тоже распре-

деление, что и Q.

Надежность восстанавливаемых изделий

У невосстанавливаемых изделий рассматриваются первичные отказы, у

восстанавливаемых – первичные и повторные. Все рассуждения и термины

для невосстанавливаемых изделий распространяются на первичные отказы

восстанавливаемых изделий. Для восстанавливаемых изделий показательны

графики эксплуатации восстанавливаемых изделий.

Первый показывает периоды работы; ремонта и профилактики (осмот-

ров), второй — периоды работы. С течением времени периоды работы между

ремонтами становятся короче, а периоды ремонта и профилактики возраста-

ют.

У восстанавливаемых изделий свойства безотказности характеризуются

величиной ¯m(t) — средним числом отказов за время t

36 Общие положения теории надежности

¯m(t) =

где N - число испытуемых изделий; n

— число отказов изделия за время t .

В статистической трактовке параметр потока отказов Λ(t) характеризует

среднее число отказов, ожидаемых в малом интервале времени:

Λ(t) =

∆ ¯m(t)

∆t

где ∆ ¯m(t) — приращение среднего числа отказов за время ∆(t), т. е. среднее

число отказов от момента t до момента t + ∆(t).

В вероятностной трактовке параметр потока отказов

Λ(t) =

d ¯m(t)

Как известно, при внезапных отказах изделия закон распределения на-

работки до отказа экспоненциальный с интенсивностью λ. Если изделие при

отказе заменяют новым (восстанавливаемое изделие), то образуется поток

отказов параметр которого Λ(t) = Λ =const и равен интенсивности λ.

Поток внезапных отказов предполагают стационарным, т.е. среднее чис-

ло отказов в единицу времени постоянно, ординарным, при котором одно-

временно возникает не более одного отказа, и без последствия, что означа-

ет взаимную независимость появления отказов в разные (непересекающиеся)

промежутки времени.

Для стационарного, ординарного потока отказов ∆(t) = ∆ =

, где

T —

средняя наработка между отказами.

Самостоятельное рассмотрение постепенных отказов восстанавливаемых

изделий представляет интерес, потому что время восстановления после по-

степенных отказов обычно существенно больше, чем после внезапных. При

совместном воздействии внезапных и постепенных отказов параметры пото-

ков отказов складываются

Поток постепенных (износовых) отказов становится стационарным при

наработке t, значительно большей среднего значения

T .Так при нормальном

распределении наработки до отказа интенсивность возрастает монотонно, а

параметр потока отказов Λ(t) сначала возрастает, потом начинаются коле-

бания, которые затухают на уровне

(рис. 2.10). Наблюдаемые максимумы

Λ(t) соответствуют средней наработке до отказа первого, второго, третьего и

т.д. поколений.

В сложных изделиях (системах) параметр потока отказов рассматри-

вается как сумма параметров потоков отказов. Составляющие потоки мож-

Надежность информационных систем 37

но рассматривать по узлам или по типам устройств, например механиче-

ским, гидравлическим, электрическим, электронным и другим Λ(t) = Λ

(t)+

(t)+ .... Соответственно средняя наработка между отказами изделия (в пе-

риод нормальной эксплуатации)

T = 1/Λ1/

T = 1/

+ 1/

+ ....

Вероятность безотказной работы от момента до + t подчиняется экспо-

ненциальному распределению

P (t) = e

−∆/t

Для системы из последовательно соединенных элементов

= e

−t

Одним из основных показателей надежности восстанавливаемого изде-

лия является коэффициент технического использования

η =

где

T - средние значения наработки, простоя, ремонта.

1.11. Комплексные показатели надежности

Обычно комплексные показатели надежности используются для совмест-

ной оценки свойств безотказности и ремонтопригодности восстанавливаемых

объектов.

Коэффициент готовности K

(t) — вероятность того, что восстанавли-

ваемый объект окажется работоспособным в произвольный момент времени,

кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по на-

значению не предусматривается.

На практике обычно используется асимптотическое значение K

(t):

= lim

t→∞

(t).

Для определения K

используется статистическая оценка:

+ t

, (1.9)

где t

— суммарное время нахождения объекта в работоспособном состоянии;

— суммарное время восстановления объекта. Формула (1.9) широко приме-

няется в инженерной практике. Степень ее приближения к истинному значе-

нию K

тем больше, чем больше интервал времени, на котором определяется

38 Общие положения теории надежности

. Поток отказов и восстановлений при этом становится установившимся и

приобретает стационарный характер.

Коэффициент готовности, как правило, учитывает свойства аппаратур-

ной безотказности и восстанавливаемости. Если под отказом понимать не

только отказ аппаратуры, но любой отказ системы в выполнении заданных

функций (в том числе вызванный дефектами программного обеспечения, сни-

жением достоверности и т. п.), тогда K

может выполнять роль комплексного

показателя надежности ИС, учитывающего и другие свойства системы. По-

этому при использовании коэффициента готовности необходимо указывать,

какие свойства объекта он учитывает.

Коэффициент оперативной готовности — вероятность того, что объект,

находясь в режиме ожидания, окажется работоспособным в произвольный

момент времени и, начиная с этого момента, будет работать безотказно в

течение заданного времени:

= K

P (t

), (1.10)

где P (t

) — вероятность безотказной работы на интервале заданного времени.

Коэффициент вынужденного простоя — вероятность того, что объект

окажется неработоспособным в произвольный момент времени в промежут-

ках между плановыми ремонтами.

Коэффициент сохранения эффективности — это отношение показателя

эффективности реального с точки зрения надежности объекта к показателю

эффективности того же объекта при условии его идеальной надежности.

В качестве показателя эффективности может быть принята вероятность

безотказной работы ЭВМ или пропускная способность системы массового об-

служивания.

Достоверность функционирования информационной системы — это свой-

ство производить безошибочно преобразование, хранение и передачу инфор-

мации.

Показатель достоверности — вероятность искажения, либо потери ин-

формации в одном знаке. Примерами количественной оценки достоверности

могут служить следующие:

– вероятность ошибки при передаче данных по линиям связи составляет

−3

–10

−5

на один знак;

– вероятность ошибки при хранении информации на машинном носителе

составляет 2 · 10

−6

;

– вероятность ошибки в выходных данных АСУ специального назначе-

ния не должна превышать 10

−10

–10

−12

на один знак.

Отличительными чертами сложных систем (АСУ, ИС, ВС) являются:

многоканальность, т. е. наличие нескольких каналов, каждый из которых

Надежность информационных систем 39

выполняет определенную функцию, частную по отношению к общей зада-

че системы; многосвязность, т. е. большое количество функциональных свя-

зей между элементами системы; наличие вспомогательных и дублирующих

устройств.

В связи с перечисленными особенностями сложная система может на-

ходиться в нескольких работоспособных состояниях, так как выход из строя

некоторых ее элементов не вызывает полного отказа системы, т. е. прекра-

щения ею заданных функций, но ухудшает в той или иной степени качество

функционирования. Следовательно, отказ элемента переводит систему из со-

стояния с полной работоспособностью в состояние с частичной работоспособ-

ностью.

Информационную систему можно характеризовать функциональной и

эффективной надежностью.

Функциональная надежность — вероятность того, что система будет

удовлетворительно выполнять свои функции в течение заданного времени.

Функциональная надежность отличается от определения надежности, дан-

ного во введении, тем, что учитывает наличие в системе дополнительных

схем контроля.

Эффективная надежность — среднее значение (математическое ожида-

ние) величины, характеризующей объем и полезность выполняемых системой

функций в течение заданного времени по сравнению с ее предельными воз-

можностями. Введение понятия эффективной надежности обусловлено тем,

что отдельными показателями надежности не удается оценить функциониро-

вание сложной системы. Сложная система кроме надежности каждого бло-

ка и всей системы характеризуется еще относительной важностью потери

тех или иных качеств.Поэтому под эффективной надежностью понимается

некоторая количественная мера, оценивающая качество выполнения систе-

мой своих функций. В ряде случаев выполнение конкретной частной задачи

с некоторой эффективностью требует работоспособности лишь части аппа-

ратуры. С другой стороны, даже при полной работоспособности всех блоков

системы нельзя говорить о выполнении некоторой задачи как о достоверном

событии. Основная идея определения эффективной надежности заключается

в том, что учитывают не только внутренние свойства системы, но и качество

ее функционирования и выполнения задачи.

1.12. Показатели надежности сложных объектов

Сложные системы состоят из более простых объектов (элементов). В

зависимости от характера влияния надежности элементов на надежность си-

40 Общие положения теории надежности

стемы в целом различают два типа соединений элементов — основное (после-

довательное) и параллельное. Под последовательным соединением, с точки

зрения надежности, понимают такое, при котором отказ любого элемента

приводит к отказу системы в целом. Под параллельным соединением пони-

мают такое, при котором отказ системы наступает только при отказе всех ее

элементов (отказ не наступает, если работоспособен хотя бы один элемент).

Последовательное соединение элементов

Пусть система состоит из n элементов, каждый из которых имеет опреде-

ленные характеристики надежности P

(t), Q

(t), λ

(t),

(средняя наработка

до отказа).

Если аналогичные показатели надежности системы обозначить соответ-

ственно через P (t), Q(t), λ(t),

t, то можно получить следующие расчетные

зависимости.

1. Из определения последовательного соединения элементов следует, что

вероятность безотказной работы

P (t) = Π

i=1

(t).

2. Вероятность отказа системы равна:

Q(t) = 1 − P (t) = 1 − Π

i=1

(t) = 1 − Π

i=1

(1 − Q

(t)).

3. Интенсивность отказов системы найдем из соотношения

P (t) = e

−

λ(t)dt

= Π

i=1

(t) = Π

i=1

−

(t)dt

откуда

λ(t) =

i=1

(t).

В случае постоянной интенсивности отказов:

λ =

i=1

Если разложить функцию P (t) в ряд и учесть только два первых члена раз-

ложения, получим:

P (t) = e

−λt

≈ 1 − λt +

(λt)

= 1 − t

i=1

)

4. Средняя наработка системы до отказа (λ=const)

t =

∞

P (t)dt = 1/λ = 1/(

i=1