УМК Экономико-математические методы и модели
Подождите немного. Документ загружается.
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Дагестанский государственный университет
Кафедра Информационных технологий и моделирования экономических процессов
Учебно-методический комплекс по дисциплине
«Экономико-математические методы и модели»
Специальности: Мировая экономика, бухгалтерский учет, финансы и кредит
Согласовано: Рекомендовано кафедрой
Учебно-методическое управление Информационных технологий и
моделирования экономических
«___»_________________200___ г. процессов
Протокол №___
«___»____________200_г
Зав. кафедрой __________
Махачкала – 2008
Автор-составитель:
Адамадзиев Курбан Раджабович
Учебно-методический комплекс Экономико-математические методы и модели» составлен в
соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования / Основной образовательной программой по специальности
Мировая экономика, Бухгалтерский учет, Финансы и кредит
Дисциплина входит в федеральную компоненту цикла математических и
естественнонаучных дисциплин и является обязательной для изучения
Согласовано с деканатом обучающего факультета
Декан факультета управления экономикой К.Б. Камилов
Председатель методического совета факультета
2
Содержание
стр.
I. Рабочая программа дисциплины
1. Цели и задачи изучения дисциплины ………………………………………… 4
2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины …………………….. 4
3. Объем дисциплины, формы текущего и промежуточного контроля ………… 4
3.1.Объем дисциплины и виды учебной работы ………………………………… 5
3.2.Распределение часов по темам и видам учебной работы
4. Содержание курса
5. Темы практических, и семинарских занятий
6. Лабораторные работы (лабораторный практикум)
7. Тематика курсовых/контрольных работ/рефератов
8. Учебно-методическое обеспечение
8.1. Литература
8.2. Материально-техническое и информационное обеспечение
дисциплины
8.3. Методические указания студентам
8.4. Методические рекомендации для преподавателя
II. Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения
промежуточных и итоговых аттестаций
3
1. Цели и задачи изучения дисциплины
Развитие приложений математических методов в общественных науках привело за
последние годы к усилению значения математики в гуманитарном образовании и, в
частности, в экономическом. При этом одновременно с математизацией курсов, традиционно
изучавшихся в экономических вузах, в учебные планы за сравнительно короткий срок было
включено много новых дисциплин, в которых широко используются математические модели.
Необходимость изучения экономистами математических методов связана не только с
практическими потребностями: владение методологией математического моделирования
способствует формированию нелинейного мышления, синергетического подхода к
пониманию принципов развития.
Экономико-математические методы и модели, возможности применения которых
существенно расширились благодаря современным компьютерным технологиям,
представляют собой один из наиболее динамично развивающихся разделов прикладной
экономической науки.
2. Требования к уровню освоения дисциплины
Студент экономического вуза, прослушавший курс "Экономико-математические
методы и модели", должен знать основные экономические проблемы, при решении которых
возникает необходимость в математическом инструментарии. Он должен ориентироваться в
экономической постановке задачи и определять по ней, в каком разделе Экономико-
математические методы и модели следует искать средства ее решения; должен уметь
формализовать экономическую задачу, т.е. описать ее с помощью известной математической
модели, провести расчеты и получить количественные результаты. Однако самое главное -
студент должен уметь анализировать эти результаты и делать выводы, адекватные
поставленной экономической задаче.
3.Объем дисциплины
3.1. Объем дисциплины и виды учебной работы
Количество модулей (часов) по формам обучения
Очная Очно-заочная Заочная
№ семестра 4
Аудиторные занятия: 72
лекции 36
практические занятия 18
лабораторные работы 18
Самостоятельная работа 72
Всего модулей (часов) на дисциплину 144
Текущий контроль (кол-во и вид текущего контроля) 4
Курсовая работа (№ семестра) -
Виды промежуточного контроля (экзамен,зачет) - №№ семестров Экзамен - 4
4
3.2.Распределение часов по темам и видам учебной работы
Наименование темы всего лекц. прак. лаб. Само-
стоят.
Модуль 1. Методы и модели оптимизации в
экономике
36 10 4 4 18
1. Методы и модели линейного программирования
в экономике 6 2 - - 4
2. Оптимизационные задачи в экономике и методы
их решения 16 2 2 4 8
3. Методы динамического программирования
в экономике 4 2 - - 2
4. Теория оптимального управления в экономике 8 2 2 - 4
5. Текущая и итоговая аттестация по модулю 2 2 - - -
Модуль 2. Методы теории игр, графов и
систем массового обслуживания в экономике 36 10 4 4 18
1. Игровые методы обоснования экономических и
управленческих решений 8 2 2 - 4
2. Методы сетевого планирования и управления 9 2 - 2 5
3. Марковские случайные процессы в экономике 4 2 - - 4
4. Элементы теории массового обслуживания 11 2 2 2 5
5. Текущая и итоговая аттестация по модулю 2 2 - - -
Модуль 3. Математические методы и модели
в микроэкономике 36 10 4 4 18
1. Модели взаимодействия на простейших
рынках 4 2 - - 2
2. Модели поведения потребителей 12 2 2 2 6
3. Модели поведения производителей 6 2 - - 4
4. Модель общего равновесия 12 2 2 2 6
5. Текущая и итоговая аттестация по модулю 2 2 - - -
Модуль 4. Математические методы и модели
в макроэкономике 36 10 4 4 18
1. Общие модели развития экономики 4 2 - - 2
2. Статистические модели макроэкономики 12 2 2 2 6
3. Динамические модели макроэкономики 8 2 - 2 4
4. Моделирование внешней торговли 10 2 2 - 6
5. Текущая и итоговая аттестация по модулю 2 2 - - -
Всего 144 40 16 16 72
4.
Содержание курса
5
Модуль 1. Методы и модели оптимизации в экономике
Тема 1. Методы и модели линейного программирования
в экономике
Экономико-математические методы и модели – дисциплина на стыке экономики,
математики и кибернетики. Предмет Задачи курса экономико-математические методы и
модели.
Понятия модель и моделирование. Элементы модели. Виды моделей. Моделирование
как циклический процесс. Этапы построения моделей. Особенности экономики как объекта
моделирования.
Математическое программирование и его виды. Модель общей задачи линейного
программирования, ее элементы. Допустимое и оптимальное решения. Критерий
оптимальности.
Методы решения задачи линейного программирования. Графический и симплекс-метод
решения задачи линейного программирования. Симплекс таблицы. Определение
первоначального допустимого базисного решения.
Двойственные задачи, их свойства. Двойственные оценки Канторовича.
Целочисленное программирование в экономике. Методы решения задач
целочисленного программирования.
Тема 2. Оптимизационные задачи в экономике и методы их решения
Экономические задачи, решаемые с помощью методов линейного программирования.
Оптимизационные модели и этапы их построения. Классические модели оптимизационных
задач: ассортимента продукции, загрузки оборудования, рецептуры сырья, раскроя
материалов, о перевозках и др. Аналитическая и табличная форма записи оптимизационных
задач, решаемых методами линейного программирования.
Решение задач математического программирования на ПЭВМ. Алгоритмы решения
задач. Инструментарий «Поиск решения…» электронных таблиц MS Excel и методика
работы с ним.
Тема 3. Методы динамического программирования в экономике
Общая постановка задачи динамического программирования. Принцип оптимальности.
Уравнения Беллмана. Экономические задачи, решаемые методами динамического
программирования. Задачи о распределении средств между предприятиями (между
отраслями), замене оборудования.
Тема 4. Теория оптимального управления в экономике
Теория оптимального управления. Основные понятия теории оптимального управления.
Общая задача оптимизации. Критерий оптимальности. Понятия нижней и верхней границы
критерия оптимальности.
Задачи оптимальности управляемых процессов. Математическая модель задачи
управления экономической системой.
Вопросы для контроля
1. Каковы основные особенности экономики как объекта моделирования?
2.Сформулируйте теорему об оптимальном решении
3.Какими основными свойствами обладает двойственные задачи линейного
программирования?
4.Сформулируйте задачу о смесях и назовите сферу их применения
5.Записать модель задачи загрузки оборудования в символическом виде
6.Что такое объективно обусловленные оценки и каков их экономический смысл?
6
7.В чем сущность метода Гомори и для чего он применяется?
8.Основная теорема двойственности и её экономический смысл
9.Сформулируйте принцип оптимальности Р.Беллмана и запишите уравнения
управляющего воздействия многошаговой оптимизации
10.Записать модель оптимального управления для непрерывных систем.
11.Запись модель оптимального распределения капитальных вложений в отрасли
Тесты
1. К экономическим задачам оптимизационного типа относятся задачи,
в которых, требуется выразить:
а) зависимость одних показателей от других
б) требуется выразить связи и зависимости системами уравнений
в) требуется найти наилучшее решение среди допустимых
д) требуется найти совокупность решений, удовлетворяющая заданным
условиям производства
2. Математический инструментарий решения экономических задач оптимизационного
типа называется
а) методом наименьших квадратов б) теорией затраты-выпуск
в) линейным программированием г) методом экстраполяции
3. Критерий оптимальности математически записывается в виде
а) а
0
+ а
1
х
1
+ а
2
х
2
+ …+а
n
x
n
→ max (min) б) ∑aij*x
j
→max (min)
в) ∑c
j
*x
j
→ mах (min) г) ∑c
ij
*x
i
→max (min)
4. Условия-ограничения задачи оптимизации ассортимента продукции имеет вид
а) ∑a
ij
*x
ij
≤R б) ∑x
ij
≤B
i
в) ∑a
ij
*x
j
≤B
i
г)∑a
ij
*x
j
= R
5. Критерий оптимальности в задаче загрузки оборудования имеет вид
a) ∑c
j
x
j
→max (min) 6) ∑∑a
ij
*x
ij
→max (min)
в) ∑∑c
ij
*a
ij
*x
j
→max (min) г) ∑∑c
ij
*x
j
→max (min)
6. Модель по оптимизации рецептуры сырья (задача о смесях) имеет вид
а) F=∑c
j
*x
j
→max (min) при условиях ∑∑a
ij
*x
j
≤b
i
б) F=∑∑c
ij
*a
ij
*x
ij
→max (min) при условиях ∑a
ij
*x
ij
≤A
i
в) F=∑c
j
*x
j
→max (min) при условиях ∑a
ij
*x
j
≤b
i
г) F=∑∑c
ij
*x
ij
→max (min) при условиях ∑a
ij
*x
j
≤b
i
7. В условиях-ограничениях модели по оптимизации загрузки оборудования
∑a
ij
* х
ij
=A
j
; а
ij
и А
j
означают соответственно:
а) нормы расхода сырья и объём сырья
б) содержание полезных компонентов в единице каждого вида сырья и единице
готовой продукции
в) производительность каждого вида машин и спрос на продукцию
г) производительность каждого вида машин и фонд времени их работы
8. Какое из следующих предположений относится к формулировке
задачи о смесях
а) на предприятии имеются различные виды машин, на которых вырабатываются
различные виды продукции
б) на предприятии имеются различные виды сырья, из которых вырабатывается
различные виды готовой продукции;
в) на предприятии имеются различные виды сырья, из которых вырабатываются
определенный объем одного вида готовой продукции
г) на предприятии имеются различные виды заготовок, получаемые различными
способами
9. Задача транспортного типа называется открытой, если соблюдается следующие
соотношения
a) A
j
≥∑B
i
6) ∑x
j
≥x
i
в) ∑A
j
<∑B
i
г) ∑x
i
=∑x
j
7
10. Если в задачах о перевозках суммарное количество продукции у поставщиков больше
суммарного спроса потребителе, то чтобы преобразовать её к закрытому типу следует:
а) ввести фиктивного поставщика и фиктивного потребителя
б) ввести фиктивного поставщика
в) ввести фиктивного потребителя
г) ввести ограничения снизу и сверху на объем поставки продукции от каждого
поставщика
11. Какое из следующих условий предполагает ввод в задачу транспортного типа
фиктивного потребителя
а) ∑A
j
+∑A
n+i
=∑B
i
б) A
j
+A
n+i
= B
i
в) ∑A
j
+A
n+i
= ∑B
i
г) ∑A
j
=∑B
i
+B
m+i
12.Показатель эффективности управления в моделях динамического
программирования записывается в виде
а)
),(
0
XSF
б) Z = F(t, x, u) в) Z =
1-T
1t
K(t) (I(t)
г) Z =
N
1n
n1,-n
)X(S
13.Уравнение состояния системы в моделях динамического
программирования имеет вид
а) S
k
= φ
к
(S
k-1
, X
k
), k =1,2, … ,n
б) Z
k
= F(S
0
, X
k
)
в) X= f(t,x,n) г) Z
k
=
)X,S(f
k1-ki
14.Уравнение условного оптимального управления имеет вид
а) Z
*
k
= max{t
k
(S
k-1
,X
k
) + Z
*
1-k
(S
k
) } б) S
k
= φ
k
(S
k-1
, X
k
)
{X
k
}
в) Z
k
= F(S
o
, X
k
) г) Z
k
=
i
f
(S
r-1
, X
k
)
15.Условный оптимум угловой функции на n-м шаге описывается равенством
а) Z
*
n
(S
n-1
) = max f
n
(S
n-1
, X
n
) б) Z
*
n
(S
n
) = max f
n
(S
n
, X
n
)
{X
n
} {X
n
}
в) Z
*
n
(S
n
) = max f
n-1
(S
n-1
, X
n
) г) Z
*
n
(S
n-1
) = max f
n
(S
n-1
, X
n
)
{X
1
, X
2
,…, X
n
} {X
1
, X
2
,…, X
n
}
16. Если F(V)
m для любого V
M, то
а) m называют точкой нижней границей функционирования
б) V называют точкой нижней границей функционирования
в) m называют точкой верхней границей функционирования
г) V называют точкой верхней границей функционирования
17. Пространство состояния системы в модели оптимального управления имеет вид
а) X = (x
1
, x
2
, …, x
n
) б) X (t) = (x
1
(t), x
2
(t), …, x
n
(t))
в) u = (u
1
, u
2
, …, u
r
) г) V = (t, x, u)
18. Функционал задач оптимального управления для непрерывных систем имеет вид
а) F(
V
) =
T
0
f
0
(t, x, u)dt + F(x(T)) б) F(
V
) =
1-T
0t
f
0
(t, x, u) + F(x(T))
в) F(
V
) = 2
1-T
0t
I (t) + βk (t) г) F(
V
) =
T
1t
N
1j
a
t
c
tj
+a
tj
x
tj
Модуль 2. Методы теории игр, графов и систем массового
обслуживания в экономике
8
Тема 5. Игровые методы обоснования экономических и управленческих решений
Задачи игровых методов обоснования решений. Конфликтные ситуации в игровых
задачах. Игровые модели экономических процессов: основные понятия. «Парные» и
«множественные» игровые модели. Понятия стратегии и оптимальной стратегии.
Антагонистические игры.
Матричные игры в экономике. Нижняя и верхняя цена игры. «Максимин» и
«минимакс» как виды выигрышей. Устойчивые и оптимальные чистые стратегии. Игра с
полной информацией.
Методы решения матричных игр. Доминирующие и дублирующие стратегии.
Гарантированный выигрыш. Решение матричных игр методом линейного
программирования.
«Игры с природой» в экономике. Оценка риска в «играх с природой». Критерии оценки
риска. Критерий оценки риска. Критерий, основанный на известных вероятностных
состояниях «природы». Максиминный критерий Вальда. Критерий пессимизма-оптимизма
Гурвица. Критерий минимаксного риска Сэвиджа.
Игровые модели сотрудничества и конкуренции. Принятие решений группой лиц.
Возложенные правила принятия решения группой лиц. Коалиция и их роль в принятии
решений в группе. Кооперативные и некооперативные игры. Кооперативные игры с многими
участниками.
Тема 6. Методы сетевого планирования и управления
Назначение и область применения. Сетевая модель и ее основные элементы. Порядок и
построения сетевых графиков. Упорядочение сетевого графика. Ожидаемое время
выполнения работ и его методы расчета. Экспертный метод расчета ожидаемого времени
выполнения работ.
Параметры сетевых моделей. Понятие о пути. Критические и подкритические пути, их
расчет. Временные параметры сетевых графиков. резервы времени путей, работ событии и
их расчет. Сетевое планирование в условиях неопределенности. Коэффициент
напряженности работы.
Анализ и оптимизация сетевого графика. Оптимизация сетевого графика методом
«время-стоимость».
Тема 7. Марковские случайные процессы в экономике
Понятие Марковского случайного процесса. Марковские процессы с дискретным
состоянием и непрерывным временем.
Понятие потока событий. Интенсивность как характеристика потока событий.
Регулярные и стационарные потоки событий. Поток без последействия. Ординарный и
простейший (пуассоновский) потоки событий. Коэффициент вариации как мера случайности.
Рекуррентный поток событий. Граф состояний системы.
Уравнения Колмогорова и правило их составления
Тема 8. Элементы теории массового обслуживания
Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового
обслуживания. Простейшие системы массового обслуживания и их характеристика.
Система массового обслуживания с отказами и ожиданием. Предельные вероятности
состояний, их расчет. Показатели эффективности СМО, методы их расчета. Универсальный
метод статистического моделирования случайных процессов (метод Монте-Карло).
Вопросы для контроля
1. Сущность платежной матрицы в игровых моделях
2 Что понимается под оптимальной стратегией в теории игр
9
3. Что такое нижняя цена игры при оптимальной стратегии? Чистая цена игры?
4. Запишите математическую модель смешанной стратегии двух предприятий
конкурентов.
5. В чем сущность критерия, основанного на известных вероятностных состояниях
«природы»?
6.Опишите максиминный критерий Вальда, минимаксного риска Сэвиджа
7. Что такое СРМ- и PERT–системы? Кем, когда и для чего они были разработаны?
8. Резервы времени работы: сущность, виды, расчет
9. Как достигается сокращения продолжительности работ при оптимизации сетевого
графика?
10. В чем сущность оптимизации сетевого графика методом «время-стоимость»
11. Сущность Марковского случайного процесса
12. Что такое пуассоновский поток событий?
13. Запишите уравнения Колмогорова. Для чего они применяются
14. Формулы Эрланга и их применение. В чем сущность метода Монте-Карло?
Тесты
1. Обслуживаемые единицы в системе массового обслуживания называются
а) процессами обслуживания в) единицами обслуживания
б) каналами обслуживания г) обслуживаемыми заявками
2. Если каждое событие потока событий в системе массового обслуживания
проявляется поодиночке, то такой поток называется
а) Марковским в) непрерывным
б) регулярным г) ординарным
3. Дифференциальное уравнение первого порядка Колмогорова для вероятности
состояний системы в стационарном режиме имеет вид
(
i
- интенсивности, Р
i
- вероятности)
а)
0)(
00201220110
РРР
б)
0)(
00201220110
РРР
в)
100201220110
)( РРРР
г)
100201220110
)( РРРР
4. Среднее время пребывания заявки в системе массового обслуживания можно
определить по формуле (
– интенсивность, ρ - приведенная интенсивность,
L- число заявок в системе)
а)
L
p
1
б)
L
p
в)
L
1
г)
L
р
1
5.Двумя основными параметрами, которые определяют конфигурацию системы
массового обслуживания, являются:
а) темп поступления и темп обслуживания
б) длина очереди и правило обслуживания
в) распределение времени между заявками и распределение
времени обслуживания
г) число каналов и число фаз обслуживания
6. В теории массового обслуживания для описания времени, затрачиваемого
на обслуживание заявок, обычно используется распределение вероятностей
а) нормальное б) экспоненциальное в) пуассоновское г) биномиальное
7. Если поток событий в системе массового обслуживания является одновременно
стационарным, ординарным и имеет последействие, то он называется
а) Пуассоновским б) простейшим в) Марковским г) непрерывным
8.Если предприятие А выигривает в конкуренции у предприятия В, то максимально
возможный выигрыш предприятия А равна (q
ij
– элементы платежной матрицы)
10