Угринович Н., Босова Л., Михайлова Н. Практикум по информатике и информационным технологиям
Подождите немного. Документ загружается.
50
Глава
2
Пример 2.21.
Перевести число
124,25
10
в
восьмеричную
сис-
тему.
Переводим целую часть: Переводим дробную часть:
124
4
8
15
7
8
1
о,
v
2
25
х8
00
Получаем: 124,25
10
=174,2
8
.
2.3.4.
Перевод
чисел
из
системы
счисления
с
основанием
2 в
систему
счисления
с
основанием
2
п
и
обратно
Перевод
целых чисел.
Если основание g-ичной системы счис-
ления
является степенью числа
2, то
перевод чисел
из
#-ичной
системы счисления
в
двоичную
и
обратно можно проводить
по
более простым правилам.
Для
того чтобы целое двоичное число
записать
в
системе счисления
с
основанием
q = 2
Л
,
нужно:
1. Двоичное число разбить справа налево
на
группы
по п
цифр
в
каждой.
2. Если
в
последней левой группе окажется меньше
п
разря-
дов,
то ее
надо дополнить слева нулями
до
нужного числа
разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу
как
/г-разрядное двоичное
число
и
записать
ее
соответствующей цифрой
в
системе
счисления
с
основанием
q = 2
п
.
Пример 2.22.
Число 101100001000110010
2
переведем
в во-
сьмеричную систему счисления.
Разбиваем число справа налево
на
триады
и под
каждой
из
них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
101
5
100
4
001
1
000
0
110
6
010
2
Получаем восьмеричное представление исходного числа:
541062
8
.
Пример 2.23.
Число 1000000000111110000111
2
переведем
в
шестнадцатеричную систему счисления.
Разбиваем число справа налево
на
тетрады
и под
каждой
из
них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:
0010
2
0000
0
0000
0
1111
F
1000
8
0111
7
Получаем шестнадцатеричное представление исходного
чис-
ла: 200F87
16
.
Кодирование информации. Системы счисления
51
Перевод
дробных чисел. Для
того, чтобы дробное двоичное
число записать
в
системе счисления
с
основанием
q = 2
п
, нуж-
но:
1. Двоичное число разбить слева направо
на
группы
по п
цифр
в
каждой.
2. Если
в
последней правой группе окажется меньше
п раз-
рядов,
то ее
надо дополнить справа нулями
до
нужного
числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу
как
n-разрядное двоичное
число
и
записать
ее
соответствующей цифрой
в
системе
счисления
с
основанием
q = 2
п
.
Пример 2.24.
Число 0,10110001
2
переведем
в
восьмеричную
систему счисления.
Разбиваем число слева направо
на
триады
и под
каждой
из
них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
о,
о,
101
5
100
4
010
2
Получаем восьмеричное представление исходного числа:
0,542
8
.
Пример 2.25.
Число 0,100000000011
2
переведем
в
шестнад-
цатеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо
на
тетрады
и под
каждой
из них
записываем соответствующую
шестнадцатеричную цифру:
о,
о,
1000
8
0000
0
ООН
3
Получаем шестнадцатеричное представление исходного
чис-
ла: 0,803
16
.
Перевод
произвольных чисел. Для
того чтобы произвольное
двоичное число записать
в
системе счисления
с
основанием
q
= 2
Л
,
нужно:
1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа
на-
лево,
а
дробную
—
слева направо
на
группы
по п
цифр
в
каждой.
2. Если
в
последних левой и/или правой группах окажется
меньше
п
разрядов,
то их
надо дополнить слева и/или
справа нулями
до
нужного числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу
как
/г-разрядное двоичное
число
и
записать
ее
соответствующей цифрой
в
системе
счисления
с
основанием
q = 2
п
.
52
Глава
2
Пример
2.26. Число
111100101,0111
2
переведем в восьме-
ричную систему счисления.
Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под
каждой из них записываем соответствующую восьмеричную
цифру:
111
7
100
4
101,
5,
011
3
100
4
Получаем восьмеричное представление исходного числа:
745,34
8
.
Пример
2.27. Число 11101001000,11010010
2
переведем в
шестнадцатеричную систему счисления.
Разбиваем целую и дробную части числа на тетрады и под
каждой из них записываем соответствующую шестнадцатерич-
ную цифру:
0111
7
0100
4
1000,
8,
1101
D
0010
2
Получаем шестнадцатеричное представление исходного чис-
ла: 748,D2
16
.
Перевод
чисел
из
систем
счисления
с
основанием
q = 2
п
в
двоичную
систему.
Для того, чтобы произвольное число,
запи-
санное
в системе счисления с основанием q = 2
п
> перевести в
двоичную систему счисления, нужно
каждую
цифру этого чис-
ла заменить ее /i-значным эквивалентом в двоичной системе
счисления.
Пример
2.28. Переведем шестнадцатеричное число 4АС35
16
в
двоичную систему счисления.
В соответствии с алгоритмом:
4
0100
А
1010
С
1100
3
ООН
5
0101
Получаем:
1001010110000110101
2
.
Задания
для
самостоятельного
выполнения
2.38. Заполните таблицу,
в
каждой строке которой одно
и то же
целое
число должно быть записано
в
различных системах счисления.
Двоичная
101010
Восьмеричная
127
Десятичная
269
Шестнадцатеричная
9В
Кодирование
информации.
Системы
счисления
53
2.39. Заполните таблицу,
в
каждой строке которой одно
и то же
дробное
число должно быть записано
в
различных системах счисления.
Двоичная
0,101
Восьмеричная
0,6
Десятичная
0,125
Шестнадцатеричная
0,4
2.40. Заполните таблицу,
в
каждой строке которой одно
и то же
произво-
льное число (число может содержать
как
целую,
так и
дробную
часть) должно быть записано
в
различных системах счисления.
Двоичная
111101,1
Восьмеричная
233,5
Десятичная
46,5625
Шестнадцатеричная
59,В
2.4.
Арифметические операции
в позиционных системах счисления
Арифметические
операции
в
двоичной
системе
счисления.
Рассмотрим более подробно арифметические операции в двоич-
ной
системе счисления. Арифметика двоичной системы счисле-
ния
основывается на использовании таблиц сложения, вычита-
ния
и умножения
цифр.
Арифметические операнды располага-
ются в верхней строке и в первом столбце таблиц, а результаты
на
пересечении столбцов и строк:
+
0
1
0 1
0 1
1 10
-
0
1
0 1
0 11
1 0
X
0
1
0 1
0 0
0 1
Рассмотрим подробно
каждую
операцию.
Сложение.
Таблица двоичного сложения предельно проста.
Только в одном случае, когда производится сложение 1 + 1,
происходит перенос в старший разряд.
Пример
2.29. Рассмотрим несколько примеров сложения
двоичных чисел:
,1001
1010
10011
1101
1011
11000
11111
100000
1010011,111
11001,110
1101101,101
54
Глава 2
Вычитание. При
выполнении операции вычитания всегда
из
большего
по
абсолютной величине числа вычитается мень-
шее
и
ставится соответствующий знак.
В
таблице вычитания
1
с чертой означает заем
в
старшем разряде.
Пример 2.30.
Рассмотрим несколько примеров вычитания
двоичных чисел:
10111001,1
-
10001101,1
=
101100,0
101011111
-
110101101
=
-1001110
10001101,1
101011111
00101100,0
001010110
Умножение.
Операция умножения выполняется
с
использо-
ванием
таблицы умножения
по
обычной схеме, применяемой
в
десятичной системе счисления
с
последовательным умножени-
ем множимого
на
очередную цифру множителя.
Пример 2.31.
Рассмотрим несколько примеров умножения
двоичных чисел:
11001
х 1101 =
101000101
11001,01
х 11,01 =
1010010,0001
11001 11001,01
1101
Х
11,01
11001 1100101
11001 1100101
11001 1100101
101000101 1010010,0001
Вы видите,
что
умножение сводится
к
сдвигам множимого
и
сложениям.
Деление. Операция деления выполняется
по
алгоритму,
по-
добному алгоритму выполнения операции деления
в
десяти-
чной
системе счисления.
Пример 2.32.
Рассмотрим пример деления двоичных чисел:
101000101:1101=11001
_ 101000101
I 1101
1101
I 11001
1110
1101
1101
1101
0
Кодирование информации. Системы счисления
55
Сложение
в
других
системах счисления.
Ниже приведена
таблица сложения
в
восьмеричной системе счисления:
+
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
10
2
3
4
5
6
7
10
11
3
4
5
6
7
10
11
12
4
5
6
7
10
11
12
13
5
6
7
10
11
12
13
14
6
7
10
11
12
13
14
15
7
10
11
12
13
14
15
16
Задания
для
самостоятельного
выполнения
2.41. Выполните арифметические операции:
а) Ш0
2
+1001
2
;
г)
1110
2
-1001
2
;
ж)
1110
2
•
1001
2
;
к)
1010
2
: 10
2
;
б)67
8
+23
8
;
д)67
8
-23
8
; з)67
8
-23
8
;
л)
74
8
:24
8
;
B)AF
16
+97
16
;
e)AF
16
-97
16
;
H)AF
16
-97
16
; М)
5А
1б
: 1Е
16
.
2.42. Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны
следующие равенства
в
двоичной системе:
а) 1100?
11 7
100 =
100000;
6)1100?
10 7 10
=
100;
в) 1100
7 10 7 10
=
110000;
г) 1100
7 10 7 10
= 1011;
д) 1100
7 11 7
100 =
0.
2.43. Какое число
следует
за
каждым из данных:
а) 10
10
; в) AF
16
;
б) 677
8
;
г)
101
2
.
Ответ для каждого числа запишите
в
указанной
и
десятичной систе-
мах счисления.
2.44. Какое число предшествует каждому из данных:
а) 10
10
;
в) 9А
16
;
б) 56
8
;
г) 110
2
?
2.45. Выпишите целые числа, принадлежащие следующим числовым
промежуткам:
а) [101101
2
;
110000
2
]
в
двоичной системе;
б) [14
8
; 20
8
]
в
восьмеричной системе;
в) [28
16
; 30
16
]
в
шестнадцатеричной системе.
Ответ для каждого числа запишите
в
указанной
и
десятичной систе-
мах счисления.
56
Глава
2
2.46. Вычислите выражения:
а) (1111101
2
+
AF
16
)/36
8
;
б) 125
8
+
11101
2
хА2
16
-
1417
8
.
2.47. Найдите среднее арифметическое следующих чисел:
а)
10010110
2
,
1100100
2
и
110010
2
;
б) 22б
8
,
64
16
и 62
8
.
2.48. Сумму восьмеричных чисел
17
8
+
1700
8
+
170000
8
+
17000000
8
+
+
1700000000
8
перевели
в
шестнадцатеричную систему счисления.
Найдите
в
записи числа, равного этой сумме, пятую цифру слева.
2.49. Восстановите неизвестные цифры, обозначенные знаком вопроса,
в
следующих примерах
на
сложение
и
вычитание, определив внача-
ле,
в
какой системе изображены числа.
а) 5?55
б) 1536
+
?327
~ ?42
?16?4
67?
2.5.
Вычисления
в
позиционных
системах
счисления
с
использованием калькулятора
Для перевода чисел
между
десятичной, двоичной, восьме-
ричной
и шестнадцатеричной системами счисления воспользу-
емся
Wise
Calculator. В режиме
Multi-Base
Calculator
появляет-
ся
многооконная панель, позволяющая ввести число в любой
системе счисления и автоматически получить значения этого
числа в
других
системах счисления.
Пример
2.33. Перевод чисел из одной системы в
другую
с по-
мощью программы
Wise
Calculator.
Щ|
Перевод
чисел
из
одной
системы
счисления
в
другую
1 Запустить
Wise
Calculator.
2 Ввести команду [Tools-Multi-Base Calculator...].
3 На появившейся многооконной панели
Multi-Base
Calculator
ввести число в выбранной системе счисления в соответствую-
щее этой системе
окно.
Например, число 11 в окно DEC.
4 В окнах BIN, ОСТ и HEX появятся значения числа в двоич-
ной
(1011
2
), восьмеричной (13
8
) и шестнадцатеричной (В
1б
)
системах счисления.
Кодирование
информации.
Системы
счисления
57
РЯДЯЕМЯЯТВ
£drt
Dose!
•А -
DEC
JDD
BIN
|10П
OCT]13
HEX]B
Operation
: fi A+B Г А-В
Г A*B
г-в
| DEC |o
i BIN |0
;OCT|O
|HEX|b~
Г AdivB
•••••• -. r-Result "
. i DEC |11
- .{BIN |Ю11
1
ОСТ |13
:
| HEX |B
Г A mod В f AandB Г АогВ С АхогВ
:
В режиме
Multi-Base
Calculator
возможно проведение ариф-
метических операций (сложение, вычитание и умножение) в
различных системах счисления. Для этого в окна операндов А и
В необходимо ввести числа (можно в различных системах счис-
ления)
и выбрать в группе переключателей
Operation
арифме-
тическую операцию.
Пример
2.34. Выполнение арифметических операций с по-
мощью программы
Wise
Calculator.
щ
I
Арифметические
операции
в различных системах
г
^> счисления
1
Запустить
Wise
Calculator и ввести команду [Tools-Multi-Base
Calculator...].
2 На появившейся многооконной панели
Multi-Base
Calculator
ввести пару чисел в окна операндов А и Б. Например, восьме-
ричное число 12
8
в окно ОСТ (операнд Л) и шестнадцатерич-
ное
число
64
16
в
окно HEX (операнд Б).
3 Выбрать в группе переключателей
Operation,
например, опе-
рацию умножения А*Б.
4 В окнах
Result
появится
результат
выполнения арифметиче-
ской
операции одновременно в четырех системах счисления:
),
ОСТ
(1750
8
)
иЯ£Х(ЗЕ8
16
).
Ф
Multi-Base
Calculator
Edit
Closet
: A
;DEC]IO
:
BIN
|1O1O
;ocr|i2
IHEX
|A
; Operation
; Г А*В Г А-В ff A*B
«в
:
DEC]1OO
BIN
|l 100100
<ост|144
!
HEX|64
|
<~
AdivB
("AmodB
^AandB
Result
DEC [1000
BIN
|1111101000
OCT|1750
: HEX |3E8
^ A or В ^ Axof В
58
Глава
2
Задания
для
самостоятельного
выполнения
2.50. Проверить
с
помощью
Wise
Calculator правильность выполнения
за-
даний этой главы
по
переводу чисел
из
одной системы счисления
в
другую
и
выполнения арифметических операций
в
различных
сис-
темах счисления.
2.6.
Представление чисел
в
компьютере
Числовые данные обрабатываются в компьютере в двоичной
системе счисления. Числа хранятся в оперативной памяти в
виде последовательностей нулей и единиц, то есть в двоичном
коде.
Представление
чисел
в
формате
с
фиксированной
запятой.
Целые числа в компьютере хранятся в памяти в формате с фик-
сированной
запятой.
В этом
случае
каждому разряду ячейки
памяти
соответствует всегда один и тот же разряд числа, а за-
пятая
находится справа после младшего разряда, то есть вне
разрядной
сетки.
Для хранения
целых
неотрицательных
чисел
отводится
одна ячейка памяти (8 бит). Например, число А
2
=
10101010
2
будет
хранится в ячейке памяти следующим образом:
[1
1о [1 [о li jo [1 [о 1
Максимальное
значение целого неотрицательного числа до-
стигается в случае, когда во
всех
ячейках хранятся единицы.
Для л-разрядного представления оно
будет
равно:
2
п
- 1.
Пример
2.35. Определить диапазон чисел, которые
могут
храниться в оперативной памяти в формате
целое
неотрицате-
льное
число.
Минимальное
число соответствует восьми нулям, храня-
щимся
в восьми ячейках памяти, и равно нулю.
Максимальное
число соответствует восьми единицам, храня-
щимся
в ячейках памяти и равно:
А
= 1-2
7
+1-2
6
+1-2
5
+ 1-2
4
+ 1-2
3
+ 1-2
2
+ 1-2
1
+ 1-2° =
=
1-2
8
- 1 = 255
10
.
Диапазон
изменения
целых
неотрицательных
чисел
от 0 до
255.
Для хранения
целых
чисел
со
знаком
отводится две ячейки
памяти
(16 бит), причем старший (левый) разряд отводится
под знак числа (если число положительное, то в знаковый раз-
ряд записывается 0, если число отрицательное, то записывает-
ся
1).
Кодирование
информации.
Системы
счисления
59
Представление в компьютере положительных чисел с исполь-
зованием формата «знак-величина» называется
прямым
кодом
числа.
Например, число
2002
10
=
11111010010
2
будет
представ-
лено в 16-разрядном представлении следующим образом:
|о
|о Ю |о |о И И И И И |о И |о |о И |о
При
представлении целых чисел в /г-разрядном представле-
нии
со знаком максимальное положительное число (с
учетом
выделения одного разряда на знак) равно:
А = 2
п
~
х
- 1.
Пример
2.36. Определить максимальное положительное чис-
ло,
которое может хранится в оперативной памяти в формате
целое
число
со
знаком,
А
10
= 2
15
- 1 =
32767
10
.
Для представления отрицательных чисел используется до-
полнительный
код. Дополнительный код позволяет заменить
арифметическую операцию вычитания операцией сложения,
что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его
быстродействие.
ш
Дополнительный
код отрицательного
числа
Д
хранящегося в л
ячейках,
равен
2
п
-
\А\.
Дополнительный код представляет собой дополнение модуля
отрицательного числа А до 0, поэтому в л-разрядной компью-
терной арифметике:
2
п
- \А\ + \А\ = 0.
Это равенство тождественно справедливо, так как в компью-
терной л-разрядной арифметике 2
п
= 0. Действительно, двоич-
ная
запись такого числа состоит из одной единицы и п нулей, а
в
п-разрядную ячейку может уместиться только п младших
разрядов, то есть п нулей.
Пример
2.37. Записать дополнительный код отрицательного
числа
-2002
для 16-разрядного компьютерного представления.
Проведем вычисления в соответствии с определением допол-
нительного кода:
2
1б
2002
10
2
16
-|2002
10
|
=
=
=
10000000000000000
2
0000011111010010
2
1111100000101110
2
65536
10
2002
10
63534
10