Трохова Н.С. Методы решения обратных задач для уравнений параболического типа
Подождите немного. Документ загружается.
21
Найти решения этой задачи в области D={
);0[],8,1;0( +∞∈∈ tx }
Шаг по оси ОХ: h=0,2 и по оси ОТ: k=0,01
Аппроксимируя систему (I), используя шаблон б), в результате получим
следующие формулы нахождения решений
iiiii
ihihixxxu
iii
*50)**04,06,0(***04,0
*500)*(6,0(*)*(*100)6,0(*
2222
0
+−=
=+−=+−=
где i=0,1,2 и j=0
0
0
=
j
u , где j=0,1,2,…,m-1 и i=0, где m-номер самой последней верхней
точки рассматриваемого слоя.
60*60
6,0
+=+= kjtu
jj
, где j=0,1,2,…,m-1 и i=0,6
2
111111
2
h
uuu
k
uu
c
jiijjiijiij +−++++
+−
=
−
λρ
, отсюда получим
ijjijiij
uhckukuuhc
2
11111
2
)2(
ρλλρ
=−−+
+++−+
(*), где i=1,2 и j=0,1,2,…,m-1
Формула (*) для нахождения значений в области, ограниченной прямыми
x=0 и x=0,6:t=0.
Рассмотрим 1-ый способ.
Аппроксимируем
2
2
x
u
t
u
c
∂
∂
=
∂
∂
λρ
(1), используя шаблон а), получаем:
2
111111
2
h
uuu
k
uu
c
jiijjiijiij +−++++
+−
=
−
λρ
, отсюда
jiijijjii
uu
k
hc
uhcu
11
2
2
1
)2(
−++
−+−=
λ
ρ
ρ
(2) , где i=4,5…8 и j=0,1,2,…,m-1
Формула (2) для нахождения значений решений для всех точек, кроме
последней.
Аппроксимируем (1), используя шаблон б)
2
111111
2
h
uuu
k
uu
c
jiijjiijjii +−++++
+−
=
−
λρ
, отсюда
11
2
1
2
11
)2(
+−+++
−−+=
jiijijji
uu
k
hc
uhcu
λ
ρ
ρ
(3)
Формула (3) для нахождения значения решений в последней точке.
Рассмотрим 2-ой способ.
Аналогично способу 1 аппроксимируем равенство (1). Формула (2) для
нахождения значения решений в начальной точке (i=4,5,…,8 и j=0).Формула (3)
для нахождения всех остальных точек (i=4,5,…,8 и j=1,2,…,m-1).
22
Мною была составлена программа на языке программирования TURBO
PASCAL 7.0 для решения данной задачи. В программе представлены два
способа решения.
program zad;uses crt;const l=0.92; h=0.2; k=0.01; r=8.89;
c2=0.093;label a1;var i,m:integer;p,k1:real;procedure metod1(k1:real); var
u1,c,a,b,f,a1,b1:array[0..5] of real; u2,u3,u:array[0..800] of real; w,i,i2:real;
i1,j,s,n,n1,f1,f2:integer;
begin
i:=0;s:=0;n:=1;
repeat
u1[s]:=i*i*(0.36-i*i)+100*i;
i:=i+h;s:=s+1;
until s=4;s:=s-1;writeln;
textcolor(4);write(0,' ');textcolor(2);gotoxy(6,10);
for i1:=0 to s do write(' ',u1[i1]:2:3);
j:=1;writeln;u2[0]:=u1[s-1];u3[0]:=u1[s];
repeat
u[0]:=0;u[s]:=j*k+60;
for i1:=1 to s-1 do
begin
c[i1]:=-(c2*r*h*h+2*l*k);f[i1]:=u1[i1]*h*h*c2*r;
end;
f[1]:=u1[1]*h*h*c2*r+l*k*u[0];
f[s-1]:=u1[s-1]*h*h*c2*r+l*k*(j*k+60);
for i1:=2 to s-1 do a[i1]:=-l*k;
for i1:=1 to s-2 do b[i1]:=-l*k;
a1[1]:=b[1]/c[1];b1[1]:=-f[1]/c[1];
for i1:=2 to s-1 do
begin
a1[i1]:=b[i1]/(c[i1]-a[i1]*a1[i1-1]);
b1[i1]:=(a[i1]*b1[i1-1]-f[i1])/(c[i1]-a[i1]*a1[i1-1]);
end;
u[s-1]:=b1[s-1];
for i1:=s-2 downto 1 do u[i1]:=a1[i1]*u[i1+1]+b1[i1];
u2[j]:=u[s-1];u3[j]:=u[s];
j:=j+1;
if j=k1*n then
begin
textcolor(4);write((j-1)*k:1:2,' ');textcolor(2);
for i1:=0 to s do write(' ',u[i1]:2:3);n:=n+1;writeln;
end;
for i1:=0 to s do u1[i1]:=u[i1];
until j=m;
i2:=0;textcolor(4);
for i1:=0 to s do
begin
gotoxy(8+7*i1,21);write(i2:2:1);i2:=i2+h;
end;
readln;f1:=26;f2:=10;n1:=1;
repeat
j:=-1;n:=0;
if i<=1.4 then f1:=f1-7*j else f1:=f1-8*j;
u[m-1]:=((c2*r*h*h)/(l*k)+2)*u3[m-1]-(c2*r*h*h)/(l*k)*u3[m-2]-u2[m-1];
23
repeat
j:=j+1;textcolor(2);
u[ j ]:=(h*h*c2*r)/(l*k)*u3[j+1]+(2-(h*h*c2*r)/(l*k))*u3[ j ]-u2[ j ];
if j=k1*n then begin
gotoxy(f1,f2+n);write(' ',u[ j ]:2:3);n:=n+1;end;
u2[ j ]:=u3[ j ];u3[ j ]:=u[ j ];
until j=m-2;
u2[m-1]:=u3[m-1];u3[m-1]:=u[m-1];
gotoxy(f1,f2+n);write(' ',u[m-1]:2:3);n:=n+1;
textcolor(4);
if i<=1 then begin gotoxy(28+7*n1,f2+n);write(i:1:1);n1:=n1+1;end
else begin gotoxy(26+8*n1,f2+n);write(i:1:1);n1:=n1+1;end;
i:=i+h;readln;
until i>p+h;
end;
procedure metod2(k1:real);
var u1,c,a,b,f,a1,b1:array[0..5] of real;
u2,u3,u:array[0..800] of real;
w,i,i2:real;
i1,j,s,n,f1,f2,n1:integer;
begin
i:=0;s:=0;n:=1;
repeat
u1[s]:=i*i*(0.36-i*i)+100*i;
i:=i+h;s:=s+1;
until s=4;s:=s-1;
textcolor(4);write(0,' ');textcolor(2);
for i1:=0 to s do write(' ',u1[i1]:2:3);
j:=1;writeln;u2[0]:=u1[s-1];u3[0]:=u1[s];
repeat
u[0]:=0;u[s]:=j*k+60;
for i1:=1 to s-1 do
begin
c[i1]:=-(c2*r*h*h+2*l*k);f[i1]:=u1[i1]*h*h*c2*r;
end;
f[1]:=u1[1]*h*h*c2*r+l*k*u[0];
f[s-1]:=u1[s-1]*h*h*c2*r+l*k*(j*k+60);
for i1:=2 to s-1 do a[i1]:=-l*k;
for i1:=1 to s-2 do b[i1]:=-l*k;
a1[1]:=b[1]/c[1];b1[1]:=-f[1]/c[1];
for i1:=2 to s-1 do
begin
a1[i1]:=b[i1]/(c[i1]-a[i1]*a1[i1-1]);
b1[i1]:=(a[i1]*b1[i1-1]-f[i1])/(c[i1]-a[i1]*a1[i1-1]);
end;
u[s-1]:=b1[s-1];
for i1:=s-2 downto 1 do u[i1]:=a1[i1]*u[i1+1]+b1[i1];
u2[ j ]:=u[s-1];u3[ j ]:=u[s];
j:=j+1;
if j=k1*n then
begin
textcolor(4);write((j-1)*k:1:2,' ');textcolor(2);
for i1:=0 to s do write(' ',u[i1]:2:3);n:=n+1;writeln;
end;
for i1:=0 to s do u1[i1]:=u[i1];
24
until j=m;
i2:=0;textcolor(4);
for i1:=0 to s do
begin
gotoxy(8+7*i1,25);write(i2:2:1);i2:=i2+h;
end;
readln;f1:=26;f2:=13;n1:=1;
repeat
j:=0;n:=0;
if i<=1.4 then f1:=f1+7*(j+1) else f1:=f1+8*(j+1);
u[ j ]:=(-(c2*r*h*h)/(l*k)+2)*u3[ j ]+(c2*r*h*h)/(l*k)*u3[j+1]-u2[ j ];
if j=k1*n then
begin textcolor(2);gotoxy(f1,f2+n);write(' ',u[0]:2:3);n:=n+1;end;
repeat
j:=j+1;textcolor(2);
u[ j ]:=-(h*h*c2*r)/(l*k)*u3[j-1]+(2+(h*h*c2*r)/(l*k))*u3[ j ]-u2[ j ];
u2[j-1]:=u3[j-1];u3[j-1]:=u[j-1];
if j=k1*n then
begin gotoxy(f1,f2+n);write(' ',u[ j ]:2:3);n:=n+1;end;
until j=m-1;
gotoxy(f1,f2+n);write(' ',u[m-1]:2:3);n:=n+1;
u2[m-1]:=u3[m-1];u3[m-1]:=u[m-1];
textcolor(4);
if i<=1 then begin gotoxy(28+7*n1,f2+n);write(i:1:1);n1:=n1+1;end
else begin gotoxy(26+8*n1,f2+n);write(i:1:1);n1:=n1+1;end;
i:=i+h;readln;
until i>p+h;
end;
begin
clrscr; textcolor(5); writeln('Введите номер последнего слоя');
readln(m);k1:=m/10;
writeln('Введите номер последнего столбца, связанный с заданным шагом’);
readln(p);metod1(k1);metod2(k1);
end.
Для наглядности сравнения полученных результатов приведем таблицу и
графики решений.
1) Таблица решений(1-ый способ).
Слой Значения на прямых по оси оx
0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
1 80,054 100,163 120,355 140,624 160,961 181,378
30 80,443 100,640 120,904 141,236 161,653 182,165
50 80,709 100,965 121,304 141,703 162,185 182,764
2) Таблица решений(2-ой способ).
25
Слой Значения на прямых по оси оx
0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
1 80,054 100,170 120,364 140,309 158,000 182,291
30 80,443 100,640 120,904 141,236 161,652 182,164
50 80,709 100,965 121,304 141,703 162,185 182,764
Графики решений, полученных 1-ым способом(значения выделены
жирной линией) и 2-ым способом.
1) Графики решений на 1-ом слое.
t
182,291
181,378
160,961
160,000
140,624
140,309
120,364
120,355
100,170
100,163
80,054
0 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 x
2) Графики решений на 30-ом слое.
t
182,165
182,164
161,653
161,652
141,236
120,904
100,640
80,443
0 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 x
26
3) Графики решений на 100-ом слое.
t
182,764
162,185
141,703
121,304
100,965
80,709
0 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 x
Используемая литература
1. А. Фридман “Уравнения с частными производными параболического типа “,-
изд. «Мир”,-M,1968 г.-427 с.
2. Ж.-Л. Лионс “Некоторые методы решения нелинейных краевых задач”, -изд.
«Мир”,-M,-1972 г.-587 с.
3. О.М. Алифанов “Обратные задачи теплообмена “,-изд.”Мир”,-M,1988 г.-
279 с
4. “Ддифференциального уравнения с частными производными”(труды
симпозиума, посвященного 60-летию академика Сергея Львовича
Соболева), -изд.”Наука”,-1970 г.-250 с.
5. А. А. Самарский “ Введение в теорию разностных схем”,-изд.”Наука”,-M,1971
г.-552 с.
6. Инженерно - физический журнал Том XXIX №1, А.Н. Тихонов " Обратные
задачи теплопроводности",-1975г.
7. Инженерно - физический журнал Том XXIX №1, 0.М. Алифанов " Граничные
обратные задачи теплопроводности",-1975г.
27
8. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсеньев " Методы решения некорректно поставленных
задач",-изд."Наука",-М.,1974г.-224с.
9. О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, С.В. Румянцев "Эксперементальные методы
решения некорректных задач",-изд."Наука",-М.,1988г.-274с.
28
Приложение
Примеры для самостоятельной работы по теме
«Решения обратных задач теплопроводности».
Дана система:
=
=
∈=
∪∈
∂
∂
=
∂
∂
)(),(
)(),0(
];0[),()0,(
);();0(,
2
2
tgtu
tptu
xxxu
Lx
x
u
t
u
c
α
αϕ
ααλρ
u(L,t)=неизвестна
где ϕ(x),p(t),g(t) – это функции определяющие значения решения на границах, а
α - внутренняя точка, рассматриваемой области, α принадлежит оси ОХ.
Найти значения решения этой задачи в области D={
);0[],;0( +∞∈∈ tx
α
}
Шаг по оси ОХ: h=0,2 и по оси ОТ: k=0,01
В вариантах 1-3 область D – золотой стержень; в вариантах 4-6 область D –
серебряный стержень; в вариантах 6-9 область D – бронзовый стержень; в
вариантах 9-12 область D – железный стержень.
1.
)0;6,2(,8,0
64,07)(
5)(
)(
2
L
ttg
ttp
xx
=
−=
=
=
α
ϕ
2.
)0;1(,4,0
4,72)(
7)(
7)(
2
2
L
tttg
ttp
xx
=
++=
+=
+=
α
ϕ
3.
)0;8,1(,6,0
64,0)(
18)(
1)(
2
2
L
ttg
ttp
xx
=
+=
+=
−=
α
ϕ
4.
)0;2(,8,0
56,25)(
2)(
5)(
2
3
L
ttg
ttp
xx
=
+=
=
=
α
ϕ
T
g(t)
?
p(t)
0 α L x
29
5.
)0;2,1(,6,0
7)(
5)(
)36,0()(
2
L
ttg
ttp
xxx
=
=
=
−=
α
ϕ
6.
)0;2,2(,8,0
)(
0)(
)64,0()(
2
2
L
ttg
tp
xxx
=
=
=
−=
α
ϕ
7.
)0;4,2(,8,0
64,85)(
6)(
10)(
2
L
ttg
ttp
xxx
=
+=
=
+=
α
ϕ
8.
)0;8,2(,1
16)(
2)(
2)(
2
L
ttg
ttp
xx
=
−=
−=
−=
α
ϕ
9.
)0;8,1(,6,0
36,02)(
0)(
)(
2
2
L
ttg
tp
xx
=
−=
=
=
α
ϕ
10.
)0;8,1(,8,0
64,72)(
72)(
7)(
2
L
tttg
ttp
xx
=
++=
+=
+=
α
ϕ
11.
)0;2(,1
32)(
2)(
2)(
2
2
L
ttg
ttp
xx
=
+=
+=
+=
α
ϕ
12.
)0;6,2(,8,0
)(
2)(
)64,0()(
2
3
22
L
ttg
tttp
xxx
=
=
+=
−=
α
ϕ