Трофимова Т.И. Курс физики

Подождите немного. Документ загружается.

"тс

о^

равная

первому боровскому радиусу. Учесть, что

ls-состояние

сфсрически-сим-

т,е~

метричио.

29.4 Электрон в атоме находится

в/-состоянии.

Определите: 1)

момент

импульса (орби-

тальный)

электрона; 2) максимальное значение проекции момента импульса

пана-

правление внешнего магнитного

поля.

[1)

3,46Л;

ЗЛ]

29.5. Заполненной электронной оболочке

соответствует

главное квантовое число п = 3.

Определите число электронов в

этой

оболочке, которые имеют следующие одинаковые кван-

товые числа: 1)

2; 2)

= 0. [1) 5; 2) 3]

29.6. Минимальная длина волны рентгеновского излучения, полученного от трубки, ра-

ботающей при напряжении 50 кВ, равна 24,8 им. Определите по этим данным постоянную

Планка. [6,61

-ИГ^Дж-

с]

29.7. Определите самую длинноволновую линию

А'-серии

характеристического рентге-

новского спектра, если анод рентгеновской трубки изготовлен из платины. Постоянную эк-

ранирования принять равной единице. [20 им].

Глава

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ

§ 234. Квантовая статистика.

Фазовое пространство.

Функция распределения

Квантовая статистика — раздел

статистической физики, в котором изу-

чаются свойства систем, состоящих из

огромного числа частиц, подчиняю-

щихся законам квантовой механики.

В отличие от исходных положений

классической статистической физики,

в которой тождественные частицы раз-

личимы (частицу можно отличить от

всех таких же частиц), квантовая ста-

тистика основывается па принципе не-

различимости тождественных частиц

(см. § 226). При этом оказывается, как

будет показано ниже, что коллективы

частиц с целым и полуцелым спинами

подчиняются разным статистикам.

Пусть система состоит из

./Участии.

Введем в рассмотрение многомерное

пространство всех координат и импуль-

сов частиц системы. Тогда состояние

системы определяется заданием

6^пе-

ременных, так как состояние каждой

частицы определяется

тройкой

коорди-

нат х, у, z

тройкой соответствующих

проекций импульса

, p,

Соответ-

ственно число «взаимно перпендику-

лярных» координатных осей данного

пространства равно 6N. Это

6N-мерное

пространство называется фазовым

пространством.

Каждому микросостоянию системы

отвечает точка в

-мерном фазовом

пространстве, так как задание точки фа-

зового пространства означает задание

координат и импульсов всех частиц си-

стемы. Разобьем фазовое пространство

на малые

6Л

-мерные элементарные

ячейки объемом

dqdp =

...

[]N

• •

•

где q — совокупность координат всех

частиц; р — совокупность проекций их

импульсов.

Корпускулярио-волновой

дуализм

свойств вещества (см. § 213) и соотно-

шение неопределенностей Гейзенберга

(см. § 215) приводят к выводу, что объем

элементарной ячейки (он называется

441

фазовым объемом) не может быть мень-

ше чем

(h — постоянная Планка).

Вероятность

данного состояния

системы можно представить с помощью

функции распределения f(q,p):

(234.1)

Здесь

dPF—

вероятность того, что точ-

ка фазового пространства попадет в

элемент фазового объема

dqdp,

распо-

ложенного вблизи данной точки q, p.

Иными словами, dW представляет со-

бой вероятность того, что система на-

ходится в состоянии, в котором ее ко-

ординаты и импульсы заключены в ин-

тервале q, q + dq

р, р + dp.

Согласно формуле (234.1), функция

распределения есть не что иное, как

плотность вероятности определенного

состояния системы, поэтому она долж-

на быть нормирована на единицу:

где интегрирование производится по

всему фазовому пространству.

Зная функцию распределения

/(q,

p),

можно решить основную задачу кван-

товой статистики — определить средние

значения величин, характеризующих

рассматриваемую систему. Среднее

значение любой функции

Если иметь дело не с координатами

и импульсами, а с энергией, которая

квантуется, то состояние системы ха-

рактеризуется не непрерывной, а диск-

ретной функцией распределения.

Явное выражение функции распре-

деления в самом общем виде получил

американский физик Д.Гиббс (1839 —

1903). Оно называется каноническим

распределением Гиббса. В квантовой

статистике каноническое распределе-

ние Гиббса имеет вид

где А — постоянная, определяемая из

условия нормировки к единице; п — со-

вокупность всех квантовых чисел, ха-

рактеризующих данное состояние.

Подчеркнем, что

f(E

)

есть именно

вероятность данного состояния, а не ве-

роятность того, что система имеет оп-

ределенное значение энергии

так

как данной энергии может соответство-

вать не одно, а несколько различных со-

стояний (может иметь место вырожде-

ние).

§ 235. Понятие о квантовой

статистике

Бозе—Эйнштейна

и Ферми—Дирака

Одним из важнейших «объектов»

изучения квантовой статистики, как и

классической, является идеальный газ.

Это связано с тем, что во многих случа-

ях реальную систему можно в хорошем

приближении считать идеальным га-

зом. Состояние системы невзаимодей-

ствующих частиц задается с помощью

так называемых чисел заполнения

А^

—

чисел, указывающих степень заполне-

ния квантового

состояния

(характери-

зуется данным набором

квантовых

чисел) частицами системы, состоящей

из многих тождественных частиц.

Для систем частиц, образованных

бозонами — частицами с нулевым или

целым спином (см. § 226), числа запол-

нения могут принимать любые целые

значения:

0,1,

2, ... (см. § 227). Для си-

стем частиц, образованных фермиона-

ми — частицами с полуцелым спином

(см. § 226), числа заполнения могут

принимать лишь два значения: 0 — для

свободных состояний и 1 — для заня-

тых (см. § 227). Сумма всех чисел за-

полнения должна быть равна числу ча-

442

стиц системы. Квантовая статистика

позволяет подсчитать среднее число

частиц в данном квантовом состоянии,

т. е. определить средние числа заполне-

ния

(JV

Идеальный газ из бозонов — бозе-

газ — описывается квантовой стати-

стикой Возе — Эйнштейна}. Распреде-

ление бозонов по энергиям вытекает из

так называемого большого канониче-

ского распределения Гиббса (с пере-

менным числом частиц) при условии,

что число тождественных бозонов в

данном квантовом состоянии может

быть любым (см. § 227):

(235.1)

Это распределение

называется

рас-

пределением Бозе — Эйнштейна. Здесь

(Щ

— среднее число бозонов в кванто-

вом состоянии с энергией

;

к—

посто-

янная Больцмана; Т — термодинами-

ческая температура;

— химический

потенциал, который не зависит от энер-

гии, а определяется только температу-

рой и плотностью числа частиц.

Химический потенциал находится

обычно из условия, что сумма всех

(]У

)

равна полному числу частиц в системе.

Здесь

(л

0, так как иначе среднее чис-

ло частиц в данном квантовом состоя-

нии отрицательно, что не имеет физи-

ческого смысла.

Он

определяет измене-

ние внутренней энергии системы при

добавлении к ней одной частицы при

условии, что все остальные величины,

от которых зависит внутренняя энергия

(энтропия, объем), фиксированы.

Идеальный газ из фермиоиов —

ферми-газ — описывается квантовой

статистикой

Ферми—Дирака

Рас-

Ш. Бозе (1894— 1974) — индийский физик.

Э. Ферми

(1901

— 1954) — итальянский фи-

пределение

фермионов

по энергиям

имеет вид

(235.2)

где

(N,)

— среднее число фермионов в

квантовом состоянии с энергией

Е{,

—

химический потенциал.

В отличие от (235.1)

может иметь

положительное значение (это не приво-

дит к отрицательным значениям чисел

)).

Это распределение называется

распределением Ферми

—Дирака.

Если е

кТ

1, то распределения

Бозе—

Эйнштейна (235.1) и Ферми —

Дирака (235.2) переходят в классичес-

кое распределение Максвелла — Больц-

мана:

</V,

)

Ac'™

(235.3)

[ср. с

выражением

(44.4)], где

зик.

(235.4)

Таким образом, при высоких темпе-

ратурах оба «квантовых» газа ведут

себя подобно классическому газу.

Система частиц называется вы-

рожденной, если ее свойства сущест-

венным образом отличаются от свойств

систем, подчиняющихся классической

статистике. Поведение как

бозе-газа,

так и ферми-газа отличается от класси-

ческого газа, они являются вырожден-

ными газами. Вырождение газов стано-

вится существенным при весьма низких

температурах и больших плотностях.

Параметром вырождения называет-

ся величина А. При А

<С

1, т.е. при ма-

лой степени вырождения, распределе-

ния Бозе

—Эйнштейна

(235.1) и Фер-

ми—Дирака (235.2) переходят в клас-

сическое распределение Максвелла —

Больцмана (235.3).

443

Температурой вырождения

на-

зывается температура, ниже которой от-

четливо проявляются квантовые свой-

ства идеального газа, обусловленные

тождественностью частиц, т. е.

— тем-

пература, при которой вырождение ста-

новится существенным. Если

Т^>

,то

поведение системы частиц (газа) опи-

сывается классическими законами.

§ 236. Вырожденный

электронный газ в металлах

Распределение электронов по раз-

личным квантовым состояниям подчи-

няется принципу Паули (см. § 227), со-

гласно которому в одном состоянии не

может быть двух одинаковых (с одина-

ковым набором четырех квантовых чи-

сел) электронов, они должны отличать-

ся какой-то характеристикой, например

направлением спина. Следовательно,

но

квантовой теории электроны в метал-

ле не могут располагаться на самом низ-

шем энергетическом уровне даже

при

О К. Согласно принципу Паули, элект-

роны вынуждены взбираться вверх «по

энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле

можно рассматривать как идеальный

газ, подчиняющийся распределению

Ферми

—Дирака

(235.2). Если

()

— хи-

мический потенциал электронного газа

при Т= О К, то, согласно (235.2), сред-

нее число

(N(E))

электронов в кванто-

вом состоянии с энергией Е равно

(236.1)

Для фермионов (электроны являют-

ся фермионами) среднее число частиц

в квантовом состоянии и вероятность

заселенности квантового состояния со-

впадают, так как квантовое состояние

либо может быть не заселено, либо в

нем будет находиться одна частица. Это

означает, что для фермионов (N(E)) =

— f(E), где f(E) —функция распределе-

ния электронов по состояниям.

Из (236.1) следует, что при Т — О К

функция распределения (N(E)) = 1,

если Е <

и (N(E)) = 0, если Е >

График этой функции приведен на рис.

315,

а.

В области энергий от 0 до

фун-

кция (N(E)) равна единице. При Е=

{)

она скачкообразно изменяется до нуля.

Это означает, что при Т = О К все ниж-

ние квантовые состояния, вплоть до

состояния с энергией Е =

заполне-

ны электронами, а все состояния с энер-

гией, большей

(j,

свободны. Следова-

тельно,

есть не что иное, как макси-

мальная кинетическая энергия, которую

могут иметь электроны проводимости в

металле при О К. Эта максимальная ки-

нетическая энергия называется энерги-

ей Ферми

обозначается

()

Поэтому распределение Ферми —Дира-

ка обычно записывается в виде

(236.2)

Рис.315

Наивысший энергетический уро-

вень, занятый электронами, называет-

ся

уровнем Ферми. Уровню Ферми со-

ответствует энергия Ферми

кото-

рую имеют электроны на этом уровне.

444

Уровень Ферми, очевидно, будет тем

выше, чем больше плотность электрон-

ного газа. Работу выхода электрона из

металла нужно отсчитывать не от дна

«потенциальной ямы», как это делалось

в классической теории, а от уровня

Ферми, т.е. от верхнего из занятых

электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком вы-

соких температурах выполняется нера-

венство

kT<t.E

Это означает, что элек-

тронный газ в металлах практически

всегда находится в состоянии сильно-

го вырождения. Температура

вырож-

дения (см. § 235) находится из условия

кТ

—

Она определяет границу, выше

которой квантовые эффекты перестают

быть существенными. Соответствую-

щие расчеты показывают, что для элек-

тронов в металле

К, т. е. для всех

температур, при которых металл может

существовать в твердом состоянии,

электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от О К,

функция распределения Ферми

—Ди-

рака (236.2) плавно изменяется от 1 до

О в узкой области (порядка

кТ)в

окре-

стности

(pnc.

315, б). (Здесь же для

сравнения пунктиром приведена фун-

кция распределения при Г = О К.) Это

объясняется тем, что при Т > 0 неболь-

шое число электронов с энергией, близ-

кой к

возбуждается вследствие теп-

лового движения и их энергия стано-

вится больше

Вблизи границы Фер-

ми при Е <

заполнение электрона-

ми меньше единицы, а при Е >

—

больше нуля. В тепловом движении

участвует лишь небольшое число элек-

тронов, например при комнатной тем-

пературе Т

300 К и температуре вы-

рождения

= 3 • 10

К, — это

10~

от

общего числа электронов.

Если (Е — Ер)

кТ(«хвост»

функ-

ции распределения), то единицей в зна-

менателе (236.2) можно пренебречь по

сравнению с

экспонептои

и тогда рас-

пределение Ферми — Дирака переходит

в распределение Максвелла— Больцма-

на.

Таким

образом, при (Е —

)

кТ,

т.е. при больших значениях энергии к

электронам в металле применима клас-

сическая статистика, в то же время, ког-

да (Е —

Е;,)

<С

кТ,

ним применима

только квантовая статистика Ферми —

Дирака.

§ 237. Понятие о квантовой

теории теплоемкости. Фононы

Квантовая статистика устранил а труд-

ности в объяснении зависимости тепло-

емкости газов (в частности, двухатом-

ных) от температуры (см. § 53). Соглас-

но квантовой механике, энергия враща-

тельного движения молекул и энергия

колебаний атомов в молекуле могут

принимать

лишь дискретные значения.

Если энергия теплового движения

значительно меньше разности энергий

соседних уровней энергии (кТ

Д.Е),

то при столкновении молекул враща-

тельные и колебательные степени сво-

боды практически не возбуждаются.

Поэтому при низких температурах по-

ведение двухатомного газа подобно од-

ноатомному. Так как разность между

соседними вращательными уровнями

энергии значительно меньше, чем между

колебательными, т.е.

АЕ

ЩГЛ1[[

<с

Д-£,«,:,

(см. § 230), то с ростом температуры

возбуждаются вначале вращательные

степени свободы, в результате чего теп-

лоемкость увеличивается; при дальней-

шем повышении

температуры

возбуж-

даются и колебательные степени свобо-

ды и происходит дальнейший рост теп-

лоемкости (см. рис. 82).

Функции распределения Ферми-

Дирака для Г = 0 К и Т > 0 К заметно

различаются (рис. 315) лишь в узкой

445

области энергий (порядка кТ). Следо-

вательно, в процессе

нацэевания

металла

участвует лишь незначительная часть

всех электронов проводимости.

Этим

объясняется отсутствие заметной раз-

ницы между теплоемкостями металлов

и диэлектриков, что не могло быть

объяснено классической теорией (см.

ЮЗ).

Как уже указывалось (см. § 73), клас-

сическая теория не смогла объяснить

также зависимость теплоемкости твер-

дых тел от температуры, а квантовая

статистика решила эту задачу. Так,

А. Эйнштейн, приближенно считая, что

колебания атомов кристаллической ре-

шетки независимы (модель кристалла

как совокупности независимых колеб-

лющихся с одинаковой частотой гармо-

нических осцилляторов), создал каче-

ственную квантовую теорию теплоем-

кости кристаллической решетки. Она

впоследствии была развита П.Дебаем,

который учел, что колебания атомов в

кристаллической решетке не являются

независимыми (рассмотрел непрерыв-

ный спектр частот гармонических ос-

цилляторов).

Рассматривая непрерывный спектр

частот осцилляторов, П. Дебай показал,

что основной вклад в среднюю энергию

квантового осциллятора вносят колеба-

ния низких частот, соответствующих

упругим волнам. Поэтому тепловое воз-

буждение твердого тела можно описать

в виде упругих волн, распространяю-

щихся в кристалле.

Согласно

корпускулярно-волново-

му дуализму свойств вещества, упругим

волнам в кристалле сопоставляют фо-

ноны,

обладающие энергией Е =

/1ш.

Фонон есть квант энергии звуковой вол-

ны (так как упругие волны — волны

звуковые).

Фоионы

являются квазича-

стицами — элементарными возбужде-

ниями, ведущими себя подобно микро-

частицам. Аналогично тому как кван-

тование электромагнитного излучения

привело к представлению о фотонах,

квантование упругих волн привело к

представлению о фононах.

Квазичастицы, в частности фононы,

сильно отличаются от обычных частиц

(например, электронов, протонов, фо-

тонов), так как они связаны с коллек-

тивным движением многих частиц си-

стемы. Квазичастицы не могут возни-

кать в вакууме, они существуют только

в кристалле. Импульс фонола облада-

ет своеобразным свойством: при стол-

кновении фононов в кристалле их им-

пульс может дискретными порциями

передаваться кристаллической решет-

ке — он при этом не сохраняется. По-

этому в случае фононов говорят о ква-

зиимпульсе.

Энергия кристаллической решетки

рассматривается как энергия фононно-

го газа, подчиняющегося статистике

Бозе

—Эйнштейна

(см. § 235), так как

фононы являются бозонами

(их

спин

равен нулю). Фононы могут испускать-

ся и поглощаться, но их число не сохра-

няется постоянным; поэтому в форму-

ле (235.1) для фононов необходимо

положить равным нулю.

Применение статистики Бозе — Эйн-

штейна к фононному газу — газу из не-

взаимодействующих бозе-частиц —

привело П.Дебая к количественному

выводу, согласно которому при

высо-

ких температурах, когда Т

(классическая область), теплоемкость

твердых тел описывается законом Дю-

лонга и Пти (см. § 73), а при низких тем-

пературах, когда

Г<С

(квантовая об-

ласть), — пропорциональна кубу термо-

динамической температуры:

Т'

данном случае

— характеристи-

ческая температура Дебая, опреде-

ляемая соотношением

—

где

ид

—предельная частота упругих коле-

446

баний кристаллической решетки. Та-

ким образом, теория Дебая объяснила

расхождение опытных и теоретических

(вычисленных на основе классической

теории) значений теплоемкости твер-

дых тел (см. § 73 и рис.

115).

Модель квазичастиц — фононов —

оказалась эффективной для объясне-

ния открытого П.Л.Капицей явления

сверхтекучести жидкого гелия (см. § 31,

75). Теория сверхтекучести, созданная

(1941) Л.Д.Ландау и развитая (1947)

российским ученым Н.Н.Боголюбо-

вым (р. 1909), применена впоследствии

к явлению сверхпроводимости (см.

§ 239).

§ 238. Выводы квантовой теории

электропроводности металлов

Квантовая теория электропро-

водности металлов — теория элект-

ропроводности, основывающаяся на

квантовой механике и квантовой ста-

тистике Ферми — Дирака, — пересмот-

рела вопрос об электропроводности ме-

таллов, рассмотренный в классической

физике. Расчет электропроводности ме-

таллов, выполненный на основе этой

теории, приводит к выражению для

удельной электрической проводимости

металла

(238.1)

которое по внешнему виду напоминает

классическую формулу (103.2) для

но

имеет совершенно другое физическое

содержание. Здесь п — концентрация

электронов проводимости в металле;

)

— средняя длина свободного про-

бега электрона, имеющего энергию Фер-

ми;

)

— средняя скорость теплового

движения такого электрона.

Выводы, получаемые на основе фор-

мулы (238.1), полностью соответству-

ют опытным данным. Квантовая теория

электропроводности металлов, в част-

ности, объясняет зависимость удельной

проводимости от температуры:

[классическая теория (см. § 103) дает,

что

~ ——

1, а также аномально боль-

шие величины (порядка сотен периодов

решетки) средней длины свободного

пробега электронов в металле (см.

ЮЗ).

Квантовая теория рассматривает

движение электронов с учетом их взаи-

модействия с кристаллической решет-

кой. Согласно корпускулярно-волново-

му дуализму,

движемию

электрона сопо-

ставляют волновой процесс. Идеальная

кристаллическая решетка (в ее узлах

находятся неподвижные частицы и в пей

отсутствуют нарушения периодичнос-

ти) ведет себя подобно оптически одно-

родной среде — она «электронные вол-

ны» не рассеивает. Это соответствует

тому, что металл не оказывает электри-

ческому току — упорядоченному движе-

нию электронов — никакого сопротив-

ления. «Электронные волны», распрос-

траняясь в идеальной кристаллической

решетке, как бы огибают узлы решетки

и проходят значительные расстояния.

В реальной кристаллической решет-

ке всегда имеются неоднородности, ко-

торыми могут быть, например, приме-

си, вакансии; неоднородности обуслов-

ливаются также тепловыми колебани-

ями. В реальной кристаллической ре-

шетке происходит рассеяние «элект-

ронных волн» на

пеоднородностях,

что

и является причиной электрического

сопротивления металлов. Рассеяние

«электронных воли» на неоднороднос-

тях, связанных с тепловыми колебани-

ями, можно рассматривать как столкно-

вения электронов с фононами.

447

Согласно классической теории, (и)

VT,

поэтому она не смогла объяснить

истинную зависимость

от температу-

ры (см. § 103). В квантовой теории сред-

няя скорость

)

от температуры прак-

тически не зависит, так как доказыва-

ется, что с изменением температуры

уровень Ферми остается практически

неизменным. Однако с повышением

температуры рассеяние «электронных

волн» на тепловых колебаниях решет-

ки (на фонолах) возрастает, что соот-

ветствует уменьшению средней длины

свободного пробега электронов. В об-

ласти комнатных температур

)

Г"

поэтому, учитывая независимость (и) от

температуры, получим, что сопротивле-

ние металлов

—) в соответствии с

данными опытов растет пропорцио-

нально

Т.

Таким образом, квантовая те-

ория электропроводности металлов ус-

транила и эту трудность классической

теории.

§ 239. Сверхпроводимость.

Понятие об эффекте Джозефсона

Прежде чем на основе квантовой тео-

рии приступить к качественному объяс-

нению явления сверхпроводимости,

рассмотрим некоторые свойства сверх-

проводников.

Различные опыты, поставленные с

целью изучения свойств сверхпровод-

ников, приводят к выводу, что при пе-

реходе металла в сверхпроводящее со-

стояние не изменяется структура его

кристаллической решетки, не изменя-

ются его механические и оптические (в

видимой и инфракрасной областях)

свойства. Однако при таком переходе

наряду со скачкообразным изменением

электрических свойств качественно

меняются

его магнитные и тепловые

свойства. Так, в отсутствие магнитного

поля переход в сверхпроводящее состо-

яние сопровождается

скачкообразным

изменением теплоемкости, а при пере-

ходе в сверхпроводящее состояние во

внешнем магнитном поле скачком из-

меняются и теплопроводность, и тепло-

емкость (такие явления характерны для

фазовых переходов II рода; см. § 75).

Достаточно сильное магнитное

поле

(а следовательно, и сильный электри-

ческий ток, протекающий по сверхпро-

воднику) разрушает сверхпроводящее

состояние.

Как показал немецкий физик В. Мейс-

снер (1882 — 1974), в сверхпроводящем

состоянии магнитное поле в толще

сверхпроводника отсутствует. Это озна-

чает, что при охлаждении сверхпровод-

ника ниже критической температуры

(см. § 98) магнитное поле из него вытес-

няется (эффект Мейсснера).

Общность эффектов, наблюдаемых

в сверхпроводящем состоянии различ-

ных металлов, их соединений и сплавов,

указывает па то, что явление сверхпро-

водимости обусловлено физическими

причинами, общими для различных ве-

ществ, т.е. должен существовать еди-

ный для всех сверхпроводников меха-

низм этого явления.

Физическая природа сверхпроводи-

мости была понята лишь в 1957 г. на

основе теории (создана Ландау в 1941 г.)

сверхтекучести гелия (см. § 237). Тео-

рия сверхпроводимости создана аме-

риканскими физиками

Д.Бардином

(1908-1991),

Л.Купером

(р. 1930) и

Д.Шриффером (р. 1931) и развита

Н.Н.Боголюбовым.

Оказалось, что помимо внешнего

сходства между

сверхтекучестью

(сверх-

текучая жидкость протекает по узким

капиллярам без трения, т.е. без сопро-

тивления течению) и сверхпроводимо-

стью (ток в сверхпроводнике течет без

448

сопротивления по проводу) существует

глубокая физическая аналогия: и сверх-

текучесть, и сверхпроводимость — это

макроскопический квантовый эффект.

Качественно явление сверхпроводи-

мости можно объяснить так. Между

электронами металла помимо кулонов-

ского отталкивания, в достаточной сте-

пени ослабляемого экранирующим дей-

ствием положительных ионов решетки,

в результате электрон-фононного вза-

имодействия (взаимодействия электро-

нов с колебаниями решетки) возника-

ет слабое взаимное притяжение. Это

взаимное притяжение при определен-

ных условиях может преобладать над

отталкиванием. В результате электро-

ны проводимости, притягиваясь, обра-

зуют своеобразное связанное состоя-

ние, называемое куперовской парой.

«Размеры» пары много больше (при-

мерно на четыре порядка) среднего меж-

атомного расстояния, т. е. между элект-

ронами, «связанными» в пару, находит-

ся много «обычных» электронов.

Чтобы куперовскую пару разрушить

(оторвать один из ее электронов), надо

затратить некоторую

энергию,

которая

пойдет на преодоление сил притяжения

электронов пары. Такая энергия может

быть в принципе получена в результа-

те взаимодействия с фононами. Одна-

ко пары сопротивляются своему разру-

шению. Это объясняется тем, что суще-

ствует не одна пара, а целый ансамбль

взаимодействующих друг с другом ку-

перовских пар.

Электроны, входящие в куперов-

скую пару, имеют противоположно на-

правленные спины. Поэтому спин та-

кой пары равен нулю и она представ-

ляет собой бозон. К бозонам принцип

Паули неприменим, и число бозе-час-

тиц, находящихся в

одном

состоянии,

не ограничено. Поэтому при сверхниз-

ких температурах бозоны скапливают-

ся в основном состоянии, из которого

их довольно трудно перевести в воз-

бужденное. Система бозе-частиц — ку-

перовских пар, обладая устойчивостью

относительно возможности отрыва элек-

трона, может под действием внешнего

электрического поля двигаться без со-

противления со стороны проводника,

что и приводит к сверхпроводимости.

На основе теории сверхпроводимо-

сти английский физик Б.Джозефсон

(р. 1940) в 1962 г. предсказал эффект,

названный его именем (Нобелевская

премия 1973 г.). Эффект Джозефсо-

на (обнаружен в 1963 г.) — протекание

сверхпроводящего тока сквозь тонкий

слой диэлектрика (пленка оксида ме-

талла толщиной

«1

нм),

разделяющий

два сверхпроводника (так называемый

контакт Джозефсона).

Электроны проводимости проходят

сквозь диэлектрик благодаря туннель-

ному эффекту. Если ток через контакт

Джозефсона не превышает некоторого

критического значения, то падения на-

пряжения на нем нет (стационарный

эффект Джозефсона), если превыша-

ет — возникает падение напряжения U

контакт излучает электромагнитные

волны (нестационарный эффект

Джозефсона). Частота у излучения

связана с U на контакте соотношением

2eU

ч D

v = ——— (е — заряд электрона). Воз-

IЬ

никновение излучения объясняется

тем, что куперовские пары (они созда-

ют сверхпроводящий ток), проходя

сквозь контакт, приобретают относи-

тельно основного состояния сверхпро-

водника избыточную энергию. Возвра-

щаясь в основное состояние, они излу-

чают квант электромагнитной энергии

hv = 2eU.

Эффект Джозефсона используется

для точного измерения очень слабых

магнитных полей (до 10~

Тл), токов

1 5 Курс физики

449

(до 10

А) и напряжений (до 10

В), щих элементов логических устройств

а также для создания быстродействую- ЭВМ и усилителей.

Контрольные вопросы

• Чем отличается бозе-газ от ферми-газа?

• Запишите распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака и объясните их физи-

ческий смысл. Когда они переходят в классическое распределение Максвелла — Больц-

маиа?

• В чем принципиальное отличие квантовой статистики от классической?

• Что такое фазовое пространство? фазовый объем?

• При каких условиях к электронам в металле можно применять классическую статисти-

ку, а когда — только квантовую?

• Как объясняет квантовая статистика отсутствие заметного отличия

теплоемкостей

ме-

таллов и диэлектриков?

• Что такое

фонон?

Каковы его свойства?

• Как на основе понятий квантовой теории электропроводности металлов объяснить за-

висимость удельной проводимости от температуры ?

• Как объяснить явление сверхпроводимости?

• Что такое эффект Джозефсона?

ЗАДАЧИ

30.1.

Покажите, что при малом параметре вырождения распределения Бозе — Эйнштей-

на и Ферми

—Дирака

переходят в распределение Максвелла —

Больцмана.

30.2. Определите функцию распределения для электронов, находящихся на энергети-

ческом уровне Е, для случая (Е —

)

<С

кТ, пользуясь: 1) статистикой Ферми

—Дирака;

2) статистикой Максвелла— Больцмана.

30.3. Определите в электрон-вольтах максимальную энергию Е фотона, который может

возбуждаться в кристалле

КС1,

характеризуемом температурой Дебая

= 227 К. Фотон

какой длины волны X обладал бы такой

энергией?

[Е= 0,02 эВ; X = 63,5 мкм]

30.4. Глубина потенциальной ямы металла составляет

эВ, а работа выхода 4 эВ. Опре-

делите полную энергию электрона на уровне Ферми. [Е = -4 эВ]

30.5. Электрон с кинетической энергией 4 эВ попадает в металл, при этом его кинетичес-

кая энергия увеличивается до 7 эВ. Определите глубину потенциальной ямы. [3 эВ]

Глава

ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 240. Понятие в принципе можно рассмотреть задачу

о зонной теории твердых тел

кристалле, например найти возмож-

ные значения его энергии, а также со-

Используя уравнение Шредингера — ответствующие энергетические

состоя-

основное уравнение динамики в нере- ния. Однако как в классической, так и

лятивистской квантовой механике, — в квантовой механике отсутствуют ме-

450