Трофимова Т.И. Курс физики

Подождите немного. Документ загружается.

лярные представления. Поэтому при-

писывать им все свойства частиц и все

свойства волн нельзя. Естественно, что

необходимо внести некоторые ограни-

чения в применении к объектам мик-

ромира понятий классической меха-

ники.

В классической механике всякая ча-

стица движется по

определенной

тра-

ектории, так что в любой момент вре-

мени точно фиксированы ее координа-

та и импульс. Микрочастицы из-за на-

личия у них волновых свойств суще-

ственно отличаются от классических

частиц.

Одно из основных различий заклю-

чается в том, что нельзя говорить о дви-

жении микрочастицы по определенной

траектории и неправомерно говорить об

одновременных точных значениях ее

координаты и импульса. Это следует из

корпускулярно-волнового дуализма.

Так, понятие «длина волны в данной

точке» лишено физического смысла, а

поскольку импульс выражается через

длину волны [см. (213.1)], то отсюда

следует, что микрочастица с определен-

ным импульсом имеет полностью нео-

пределенную координату. И наоборот,

если микрочастица находится в состо-

янии с точным значением координаты,

то ее импульс является полностью нео-

пределенным.

В. Гейзенберг, учитывая волновые

свойства микрочастиц и связанные с

волновыми свойствами ограничения в

их поведении, пришел в 1927 г. к выво-

ду, что объект микромира невозможно

одновременно с любой наперед задан-

ной точностью характеризовать и коор-

динатой, и импульсом. Согласно соот-

ношению неопределенностей Гейзен-

берга,

микрочастица (микрообъект) не

может иметь одновременно и опреде-

ленную координату

(x,y,z),

опреде-

ленную соответствующую проекцию

импульса

причем неопреде-

ленности

этих величин удовлетворяют

условиям

т. е. произведение неопределенностей

координаты и соответствующей ей про-

екции импульса не может быть меньше

величины порядка h.

Из соотношения неопределенностей

(215.1)

следует, что, например, если ми-

крочастица находится в

состоянии

точ-

ным значением координаты (Ах

0),

то в этом состоянии соответствующая

проекция ее импульса оказывается со-

вершенно неопределенной

(Ар

—->•

оо),

и наоборот. Таким образом, для микро-

частицы не существует состояний,

которых ее координаты и импульс име-

ли бы одновременно точные значения.

Отсюда вытекает и фактическая невоз-

можность одновременно с любой напе-

ред заданной точностью измерить коор-

динату и импульс микрообъекта.

Поясним, что

соотношение

неопреде-

ленностей действительно вытекает из вол-

новых свойств микрочастиц. Пусть поток

электронов проходит через узкую щель ши-

риной

Д.т,

расположенную перпендикуляр-

но направлению их движения (рис. 298).

Так как электроны обладают волновыми

свойствами, то при их прохождении через

щель, размер которой сравним с длиной

волны де Бройля X электрона, наблюдает-

ся дифракция. Дифракционная картина,

Рис. 298

401

наблюдаемая на экране (Э), характеризу-

ется главным максимумом, расположен-

ным симметрично оси у, и побочными мак-

симумами по обе стороны от главного (их

не

рассматриваем, так как основная доля

интенсивности приходится на главный

максимум).

До прохождения через щель электроны

двигались вдоль оси у, поэтому составляю-

щая импульса

= 0, так что

Ар

— 0, а ко-

ордината х частицы является совершенно

неопределенной. В момент прохождения

электронов через щель их

положение

в на-

правлении оси

определяется с точностью

до ширины щели, т.е. с точностью Д х. В этот

же момент вследствие дифракции электро-

ны отклоняются от первоначального на-

правления и будут двигаться в пределах

угла

2ip

(ф

— угол,

соответствующий

перво-

му дифракционному минимуму). Следова-

тельно, появляется неопределенность в зна-

чении составляющей импульса вдоль оси х,

которая, как следует из рис. 298 и формулы

(213.1), равна

Ар

psincp

—simp.

(215.2)

Для простоты ограничимся рассмотре-

нием только тех электронов, которые попа-

дают на экран в пределах главного макси-

мума. Из теории дифракции (см. § 179) из-

вестно, что первый минимум соответствует

углу ф, удовлетворяющему условию

где

Ах

— ширина щели; X — длина волны

де Бройля.

Из формул (215.2) и

(215.3)

получим

где учтено, что для некоторой, хотя и незна-

чительной, части электронов, попадающих

за пределы главного максимума, величина

Ар

psintp.

Следовательно, получаем вы-

ражение

т.е. соотношение

неопределенностей

(215.1).

Невозможность одновременно точ-

но определить координату и соответ-

ствующую проекцию импульса не свя-

зана с несовершенством методов изме-

рения или измерительных приборов, а

является следствием специфики мик-

рообъектов, отражающей особенности

их объективных свойств, а именно двой-

ственной корпускулярно-волновой при-

роды.

Соотношение неопределенностей

получено при одновременном исполь-

зовании классических характеристик

движения частицы (координаты, им-

пульса) и наличия у нее волновых

свойств. Так как в классической меха-

нике принимается, что измерение коор-

динаты и импульса может быть произ-

ведено с любой точностью, то соотно-

шение неопределенностей является, та-

ким образом, квантовым ограничением

применимости классической механики к

микрообъектам.

Соотношение неопределенностей,

отражая специфику физики микрочас-

тиц, позволяет оценить, например, в

какой мере можно применять понятия

классической механики к микрочасти-

цам, в частности, с какой степенью точ-

ности можно говорить о траекториях

микрочастиц. Известно, что движение

по траектории характеризуется в любой

момент времени определенными зна-

чениями координат и скорости. Выра-

зим соотношение неопределенностей

(215.1)

виде

(215.4)

Из этого выражения следует, что чем

больше масса частицы, тем меньше нео-

пределенности ее координаты и скоро-

сти и, следовательно, с тем большей

точностью можно применять к

этой

частице понятие траектории. Так, на-

пример, уже для пылинки массой

1СГ

кг и линейными размерами

10~

м, ко-

ордината которой определена с точно-

стью до 0,01 ее размеров (Ах -

1СГ

м),

402

неопределенность скорости,

по

(215.4), круговой орбите радиуса

«0,5-10

его скорость v

2,3 •

м/с. Таким об-

разом, неопределенность скорости со-

измерима со скоростью. Очевидно, что

в данном случае нельзя говорить о дви-

жении электрона в атоме по определен-

ной траектории, иными словами, для

описания движения электрона в атоме

нельзя пользоваться законами класси-

ческой физики.

В квантовой теории рассматривает-

ся также соотношение неопределенно-

стей для энергии и времени:

ioio

т. е. не будет сказываться при всех ско-

ростях, с которыми пылинка может

двигаться.

Таким образом, для макроскопичес-

ких тел их волновые свойства не игра-

ют никакой роли; координата и ско-

рость макротел могут быть одновремен-

но измерены достаточно точно. Это оз-

начает, что для описания движения

макротел с абсолютной достоверностью

можно пользоваться законами класси-

ческой механики.

Предположим, пучок электронов

движется вдоль оси х со скоростью v =

= 10

м/с, определяемой с точностью до

0,01 %

(Аь

М/С). Какова ТОЧНОСТЬ

определения координаты электрона?

По формуле (215.4),

т.е. положение электрона может быть

определено с точностью до тысячных

долей миллиметра. Такая точность до-

статочна, чтобы можно было говорить

о движении электронов по определен-

ной траектории, иными словами, опи-

сывать их движение законами класси-

ческой механики.

Применим соотношение неопреде-

ленностей к электрону, движущемуся в

атоме водорода. Допустим, что неопре-

деленность координаты электрона

Ах

10~

м (порядка размеров самого ато-

ма, т. е. можно считать, что электрон при-

надлежит данному атому). Тогда, со-

гласно (215.4),

'^ ,

9,1MO-

--1O-

= 7,28 • 10

м/с. Используя законы клас-

сической физики, можно показать, что

при движении электрона вокруг ядра по

(215.5)

Подчеркнем, что АЕ — неопределен-

ность энергии некоторого состояния

системы, At — промежуток времени, в

течение которого оно существует. Сле-

довательно, система, имеющая среднее

время жизни At, не может быть охарак-

теризована определенным значением

энергии; разброс энергии АЕ = — воз-

растает с уменьшением среднего време-

ни

жизни.

Из выражения (215.5) следует, что

частота излученного фотона также дол-

АЕ

жна иметь неопределенность Av

т. е. линии спектра должны характери-

„

АЕ

зоваться

частотой,

равной

v±

Опыт подтверждает, что все спектраль-

ные линии размыты; измеряя ширину

спектральной линии, можно оценить

порядок времени существования атома

в возбужденном состоянии.

§ 216. Волновая функция

и ее статистический смысл

Экспериментальное подтверждение

идеи де Бройля об универсальности

корпускулярно-волнового дуализма,

403

ограниченность применения классиче-

ской механики к микрообъектам, дик-

туемая соотношением неопределенно-

стей, а также противоречие целого ряда

экспериментов с применяемыми в на-

чале XX в. теориями привели к новому

этапу развития квантовой теории — со-

зданию квантовой механики, описы-

вающей законы движения и взаимодей-

ствия микрочастиц с учетом их волно-

вых свойств. Ее создание и развитие

охватывает период с 1900 г. (формули-

ровка Планком квантовой гипотезы; см.

§ 200) до 20-х годов XX в.; оно связано

прежде всего с работами австрийского

физика Э.Шредингера

(1887-1961),

немецкого физика В. Гейзенберга и ан-

глийского физика П.Дирака

(1902

—

1984).

При становлении квантовой механи-

ки возникли принципиальные трудно-

сти, в частности проблема физической

природы волн де Бройля. Для выясне-

ния этой проблемы сравним дифрак-

цию световых волн и микрочастиц. Диф-

ракционная картина, наблюдаемая для

световых волн, характеризуется тем,

что в результате наложения дифраги-

рующих волн друг на друга в различ-

ных точках пространства происходит

усиление или ослабление амплитуды

колебаний. Согласно волновым пред-

ставлениям о природе света, интенсив-

ность дифракционной картины пропор-

циональна квадрату амплитуды свето-

вой волны. По представлениям фотон-

ной теории, интенсивность определяет-

ся числом фотонов, попадающих в дан-

ную точку дифракционной картины.

Следовательно, число фотонов в дан-

ной точке дифракционной картины за-

дается квадратом амплитуды световой

волны, в то время как для одного фото-

на квадрат амплитуды определяет веро-

ятность попадания фотона в ту или

иную точку.

Дифракционная картина, наблюда-

емая для микрочастиц, также характе-

ризуется неодинаковым распределени-

ем потоков микрочастиц, рассеянных

или отраженных по различным направ-

лениям, — в одних направлениях на-

блюдается большее число частиц, чем

в других.

Наличие максимумов в дифракци-

онной картине с точки зрения волновой

теории означает, что эти направления

соответствуют наибольшей интенсив-

ности волн де Бройля. С другой сторо-

ны, интенсивность волн де Бройля ока-

зывается больше там, где имеется боль-

шее число частиц, т.е. интенсивность

волн де Бройля в данной точке про-

странства определяет число частиц, по-

павших в эту точку. Таким образом,

дифракционная картина для микроча-

стиц является проявлением статисти-

ческой (вероятностной) закономерно-

сти, согласно которой частицы попада-

ют в те места, где интенсивность волн

де Бройля наибольшая.

Необхо/1имость

вероятностного

подхода к описанию микрочастиц явля-

ется важнейшей отличительной особен-

ностью квантовой теории. Можно ли

волны

де Бройля истолковывать как

волны вероятности, т. е. считать, что ве-

роятность обнаружить микрочастицу в

различных точках пространства меня-

ется по волновому закону? Такое тол-

кование воли де Бройля уже неверно

хотя бы потому, что тогда вероятность

обиаружить частицу в некоторых точ-

ках пространства может быть отрица-

тельна, что не имеет смысла.

Чтобы устранить эти трудности, не-

мецкий физик М.Борн (1882-1970)

в 1926 г. предположил, что по волново-

му закону меняется

не

сама вероят-

ность, а величина, названная ампли-

тудой вероятности

обозначаемая

Ф(.т,

y,z,t).

Эту величину называют так-

404

же волновой функцией (или

Ф-фун-

кцией). Амплитуда вероятности мо-

жет быть комплексной, и вероятность

W пропорциональна квадрату ее мо-

дуля:

(216.1)

(|Ф|

ФФ*,

Ф* — функция, комплексно

сопряженная с Ф). Таким образом, опи-

сание состояния микрообъекта с помо-

щью волновой функции имеет стати-

стический, вероятностный харак-

тер: квадрат модуля волновой функ-

ции (квадрат модуля амплитуды волн

де Бройля) определяет вероятность на-

хождения частицы в момент времени

в области с координатами

хи

х + dx, у и

dy, z

z+ dz.

Итак, в квантовой механике состоя-

ние микрочастиц описывается принци-

пиально по-новому — с помощью волно-

вой функции, которая является основ-

ным

носителем информации об их кор-

пускулярных и волновых свойствах.

Вероятность нахождения частицы в

элементе объемом dV равна

Величина (квадрат модуля

Ф-функции)

имеет смысл плотности вероятнос-

ти,

т.

е. определяет вероятность нахож-

дения частицы в окрестности точки с

координатами х,

у,

z. Таким образом,

физический смысл имеет не сама Ф-

функция, а квадрат ее модуля |Ф|

, ко-

торым задается интенсивность воли де

Бройля.

Вероятность найти частицу в момент

времени t в конечном объеме

1/,

согласно

теореме сложения вероятностей, равна

Так как

|Ф|

с1

V определяется как веро-

ятность, то необходимо волновую фун-

кцию Ф нормировать так, чтобы веро-

ятность достоверного события обраща-

лась в единицу, если за объем

^принять

бесконечный объем всего пространства.

Это означает, что при данном условии

частица должна находиться где-то в

пространстве. Следовательно, условие

нормировки вероятностей

J>|W=1,

(216.3)

—

оо

где данный интеграл вычисляется но

всему бесконечному пространству, т. е.

по координатам х, у, z от -оо до

+оо.

Таким образом, условие

(216.3)

говорит

об объективном существовании части-

цы в пространстве.

Чтобы волновая функция являлась

объективной характеристикой состоя-

ния микрочастиц, она должна удовлет-

ворять ряду ограничительных условий.

Функция Ф, характеризующая вероят-

ность обнаружения действия микроча-

стицы в элементе объема, должна быть

конечной (вероятность не может быть

больше единицы), однозначной (вероят-

ность не может быть неоднозначной

величиной) и непрерывной (вероят-

ность не может изменяться скачком).

Волновая функция удовлетворяет

принципу суперпозиции: если система

может находиться в различных состоя-

ниях, описываемых волновыми функ-

циями

...,

..., то она также

может находиться в состоянии Ф, опи-

сываемом линейной комбинацией этих

функций:

где

(п = 1, 2, ...) — произвольные,

вообще говоря, комплексные числа.

Сложение волновых функций (амплитуд

405

вероятностей), а не вероятностей (оп-

ределяемых квадратами модулей вол-

новых функций) принципиально отли-

чает квантовую теорию от классической

статистической теории, в которой для

независимых событий справедлива те-

орема сложения вероятностей.

Волновая функция Ф, являясь ос-

новной характеристикой состояния

микрообъектов, позволяет в квантовой

механике вычислять средние значения

физических величин, характеризующих

данный микрообъект. Например, сред-

нее расстояние (г) электрона от ядра

определяют по формуле

где интегрирование производится, как

и в случае

(216.3).

§ 217. Общее уравнение

Шредингера.

Уравнение Шредингера

для стационарных состояний

Из статистического толкования волн

де Бройля (см. §

216)

и соотношения не-

определенностей Гейзенберга (см. § 215)

следовало, что уравнением движения

в квантовой механике, описывающим

движение микрочастиц в различных

силовых полях, должно быть уравне-

ние, из которого бы вытекали наблю-

даемые на опыте волновые свойства

частиц.

Основное уравнение должно быть

уравнением относительно волновой

функции

Ф(.т,

у,

t),

так как именно она,

или, точнее, величина |Ф|

, определяет

вероятность пребывания частицы в мо-

мент времени t в объеме dV,

т.е.

в обла-

сти с координатами

и х + dx,

y+dy,

z и

z+dz.

Так как искомое уравнение

должно учитывать волновые свойства

частиц, то оно должно быть волновым

уравнением, подобно уравнению, опи-

сывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивист-

ской квантовой механики сформулиро-

вано в 1926 г. Э.Шредингером. Урав-

нение Шредингера, как и все основные

уравнения физики (например, уравне-

ния Ньютона в классической механике

и уравнения Максвелла для электро-

магнитного поля), не выводится, а по-

стулируется. Правильность этого урав-

нения подтверждается согласием с опы-

том получаемых с его помощью резуль-

татов, что, в свою очередь, придает ему

характер закона природы. Уравнение

Шредингера имеет вид

(217.1)

где— масса частицы; А —

оператор Лапласа

— мнимая единица,

U(x,

y,z,t) —

потенциальная функция частицы в си-

ловом поле, в котором она движется;

Ф(х,

у,

z,t) — искомая волновая функция

частицы.

Уравнение

(217.1)

справедливо для

любой частицы (со спином, равным 0;

см. § 225), движущейся с малой (по

сравнению со скоростью света) скоро-

стью, т. е. со скоростью v

с. Оно до-

полняется условиями, накладываемы-

ми на волновую функцию: 1) волновая

функция должна быть конечной, одно-

значной и непрерывной (см. § 216);

<9Ф <9Ф <9Ф

дФ

2) производные —, —, —-,

-—

долж-

дх ду

ны быть непрерывны; 3) функция |Ф|

должна быть интегрируема; это усло-

вие в простейших случаях сводится к

406

условию нормировки

вероятностей

(216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера,

рассмотрим свободно движущуюся частицу,

которой, согласно

идее

де Бройля, сопостав-

ляется

плоская

волна.

Для простоты рассмот-

рим одномерный случай. Уравнение плоской

волны, распространяющейся вдоль оси х,

имеет вид (см. § 154)

^(х,

t) = A cos

(wi

кх),

или в комплексной записи

£(ж,

t) —

кх

Следовательно, плоская волна де Бройля

имеет вид

(217.2)

(учтено, что

—

—,k

= — ). В квантовой

h h

механике

показатель экспоненты берут со

знаком « — »,

но

поскольку физический

смысл имеет только |Ф|

, то это несуществен-

но. Тогда

Используя взаимосвязь между энерги-

ей Е и импульсом

р(Е

= -—) и подставляя

2т

выражения (217.3), получим дифференци-

альное уравнение

которое совпадает с уравнением

(217.1)

для

случая U— О (мы рассматривали свободную

частицу).

Если частица движется в силовом поле,

характеризуемом потенциальной энерги-

ей U, то полная энергия Е складывается из

кинетической и потенциальной энергий.

Проводя аналогичные рассуждения и ис-

пользуя взаимосвязь между

Еир

('для

дап-

ного

случая

—

= Е -U), придем к диффе-

ренциальному уравнению, совпадающему с

(217.1).

Приведенные рассуждения не долж-

ны восприниматься как вывод уравне-

ния Шредингера. Они лишь поясняют,

как можно прийти к этому уравнению.

Доказательством правильности уравне-

ния Шредингера является согласие с

опытом тех выводов, к которым

оно

приводит.

Уравнение (217.1) является общим

уравнением Шредингера. Его также

называют уравнением Шредингера,

зависящим от времени. Для многих

физических явлений, происходящих в

микромире, уравнение (217.1) можно

упростить, исключив зависимость

от

времени, иными словами, найти урав-

нение Шредингера для стационарных

состояний — состояний с фиксирован-

ными значениями энергии. Это возмож-

но, если силовое поле, в котором час-

тица движется, стационарно, т. е. функ-

ция U=

U(x,

у,

z) не зависит явно от вре-

мени и имеет смысл потенциальной

энергии.

В данном случае решение уравнения

Шредингера может быть представлено

в виде произведения двух функций,

одна из которых есть функция только

координат, другая — только времени,

причем зависимость от времени выража-

ется множителем е"

= е

, так что

(217.4)

где Е — полная энергия частицы, посто-

янная в случае стационарного поля.

Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления па общий множи-

тель е

h J

соответствующих преобра-

407

зовании придем к уравнению, опреде-

ляющему функцию

я[>:

Уравнение

(217.5)

называется

урав-

нением Шредингера для стационар-

ных состояний. В это уравнение в ка-

честве параметра входит полная энер-

гия Е частицы. В теории дифференци-

альных уравнений доказывается, что

подобные уравнения имеют бесчислен-

ное множество решений, из которых по-

средством наложения граничных усло-

вий отбирают решения, имеющие фи-

зический

смысл.

Для уравнения Шредингера такими

условиями являются условия регуляр-

ности волновых функций: волновые

функции должны быть конечными, од-

нозначными и непрерывными вместе со

своими первыми производными.

Таким образом, реальный физичес-

кий смысл имеют только такие реше-

ния, которые выражаются регулярны-

ми функциями

O|J.

Но регулярные реше-

ния имеют место не при любых значе-

ниях параметра Е, а лишь при опреде-

ленном их наборе, характерном для дан-

ной задачи. Эти значения энергии на-

зываются собственными. Решения же,

которые соответствуют собственным

значениям энергии, называются соб-

ственными функциями. Собственные

значения Е могут образовывать как не-

прерывный, так и дискретный ряд. В пер-

вом случае говорят о непрерывном, или

сплошном, спектре, во втором — о дис-

кретном спектре.

§ 218. Принцип причинности

в квантовой механике

Из соотношения неопределенностей

часто делают вывод о неприменимости

принципа причинности к явлениям,

происходящим в микромире. При этом

основываются на следующих соображе-

ниях. В классической механике, соглас-

но принципу причинности — принци-

пу классического детерминизма, по

известному состоянию системы в неко-

торый момент времени (полностью оп-

ределяется значениями координат и

импульсов всех частиц системы) и си-

лам, приложенным к ней, можно абсо-

лютно точно задать ее состояние в лю-

бой последующий момент. Следова-

тельно, классическая физика основыва-

ется на следующем понимании причин-

ности: состояние механической систе-

мы в начальный момент времени с из-

вестным законом взаимодействия час-

тиц есть причина, а ее состояние в пос-

ледующий

момент — следствие.

С другой стороны, микрообъекты не

могут иметь одновременно и опреде-

ленную координату, и определенную

соответствующую проекцию импульса

[задаются соотношением неопределен-

ностей

(215.1)],

поэтому и делается вы-

вод о том, что в начальный момент вре-

мени состояние системы точно не оп-

ределяется. Если же состояние системы

не определенно в начальный момент

времени, то не могут быть предсказаны

и последующие состояния, т. е. наруша-

ется принцип причинности.

Однако никакого нарушения прин-

ципа причинности применительно к

микрообъектам не наблюдается, по-

скольку в квантовой механике понятие

состояния микрообъекта приобретает

совершенно иной смысл, чем в класси-

ческой механике. В квантовой меха-

нике состояние микрообъекта полнос-

тью определяется волновой функцией

4i(x,y,z,t),

квадрат модуля которой

|Ф(.т,

у,

t)\

задает плотность вероятно-

сти нахождения частицы в точке с ко-

ординатами х, у, z.

408

В свою очередь, волновая функция

4)(x,y,z,t)

удовлетворяет уравнению

Шредингера

(217.1),

содержащему пер-

вую производную функции Ф по време-

ни. Это же означает, что задание функ-

ции

Ф„

(для момента времени

)

опре-

деляет ее значение в последующие мо-

менты. Следовательно, в квантовой ме-

ханике начальное состояние

()

есть

причина, а состояние Ф в последующий

момент — следствие. Это и есть форма

принципа причинности в квантовой

механике, т.е. задание функции

пре-

допределяет ее значения для любых

последующих моментов. Таким обра-

зом, состояние системы микрочастиц,

определенное в квантовой механике,

однозначно вытекает из предшествую-

щего состояния, как того требует прин-

цип причинности.

§219. Движение

свободной частицы

Свободная частица — частица, дви-

жущаяся в отсутствие внешних полей.

Так как на свободную

частиц)'

(пусть

она движется вдоль оси х) силы не дей-

ствуют, то потенциальная энергия час-

тицы U(x) = const и ее можно принять

равной нулю. Тогда полная энергия ча-

стицы совпадает с ее кинетической

энергией. В таком случае уравнение

Шредингера (217.5) для стационарных

состояний примет вид

(219.1)

Прямой подстановкой можно убе-

диться в том, что частным решением

уравнения (219.1) является функция

°^{х)

—

Ае'

кх

где А = const и к = const,

с собственным значением энергии

(219.2)

Функция

-ф(ж)

Ае

гкх

Ае

представляет собой только координат-

ную часть волновой функции

Ф(з;

;

£).

Поэтому зависящая от времени волно-

вая функция, согласно (217.4),

т)

(здесь

—ик

у-).

Функция

[Ь

(219.3) представляет собой плоскую

монохроматическую волну де Бройля

[см. (217.2)].

Из выражения (219.2) следует, что

зависимость энергии от импульса

оказывается обычной для нерелятиви-

стских частиц. Следовательно, энергия

свободной частицы может принимать

любые значения (так как волновое чис-

ло к может принимать любые положи-

тельные значения), т. е. энергетический

спектр свободной частицы является

непрерывным.

Таким образом, свободная квантовая

частица описывается плоской монохро-

матической волной де Бройля. Этому

соответствует не зависящая от време-

ни плотность вероятности обнаружения

частицы в данной точке пространства

т. е. все положения свободной частицы

в пространстве являются равновероят-

ными.

§ 220. Частица в одномерной

прямоугольной «потенциальной

яме» с бесконечно высокими

«стенками»

Проведем качественный анализ ре-

шений уравнения Шредингера приме-

409

Рис. 299

нительно к частице в одномерной пря-

моугольной «потенциальной яме» с

бесконечно высокими «стенками». Та-

кая «яма» описывается потенциальной

энергией вида (для простоты принима-

ем, что частица движется вдоль оси х)

где

I—

ширина «ямы», а энергия отсчи-

тывается от ее дна (рис. 299).

Уравнение Шредингера (217.5) для

стационарных состояний в случае одно-

мерной задачи запишется в виде

По условию задачи (бесконечно вы-

сокие «стенки»), частица не проникает

за пределы «ямы», поэтому вероятность

ее обнаружения (а следовательно, и вол-

новая функция) за пределами «ямы»

равна нулю. На границах «ямы» (при

х— 0 и х =

непрерывная волновая

функция также должна обращаться в

нуль. Следовательно, граничные усло-

вия в данном случае имеют вид

.ф(О)

<ф(0

0. (220.2)

В пределах «ямы» (0

урав-

нение Шредингера (220.1) сведется к

уравнению

где

(220.3)

(220.4)

Общее решение дифференциально-

го уравнения (220.3):

Так как по (220.2)

<ф(0)

= 0, то В = 0.

Тогда

(220.5)

Условие (220.2)

ЦГ)

Asinkl

= 0

выполняется только при

Ы=

птт,

где п —

целые числа, т. е. необходимо, чтобы

(220.6)

Из выражений (220.4) и (220.6) сле-

дует,

что

или

410

т. е. стационарное уравнение Шредин-

гера, описывающее движение частицы

в «потенциальной яме» с бесконечно

высокими «стенками», удовлетворяет-

ся только при собственных значени-

ях

зависящих от целого числа п.

Следовательно, энергия

частицы в

«потенциальной яме» с бесконечно вы-

сокими «стенками» принимает лишь

определенные дискретные значения, т. е.

квантуется.

Квантованные значения энергии

называются уровнями энергии, а чис-

ло п, определяющее энергетические

уровни частицы, называется главным

квантовым числом. Таким образом,

микрочастица в «потенциальной яме»

с бесконечно высокими «стенками»

может находиться только на определен-

ном энергетическом уровне

или, как

говорят, частица находится в квантовом

состоянии

п.