13
âû÷èñëèòü âåêòîð Ð – âåêòîð âåðîÿòíîñòåé òîãî, ÷òî íà çàäàííîì èíòåðâàëå
âðåìåíè äëÿ êàæäîé åäèíèöû òðàíñôîðìàòîðíîãî îáîðóäîâàíèÿ íå ïðîèçîéäåò
ôèíàëüíîé àâàðèè. Îïðåäåëèòü, ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ íà çàäàííîì ïðîìåæóòêå
âðåìåíè (T
0
, T
1
) ïðîèçîéäåò òî÷íî k ôèíàëüíûõ àâàðèé. Èíà÷å ãîâîðÿ, íàéòè çà-
êîí ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ôèíàëüíûõ àâàðèé íà äàííîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè.
Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ôèíàëüíîé àâàðèè íà ëþáîì ïðîìå-
æóòêå âðåìåíè äëÿ êàæäîãî Ò èëè ÀÒ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (8) èëè áîëåå
òî÷íîé ôîðìóëîé ñ ó÷åòîì êâàäðàòè÷íîé äîáàâêè (ýòî äëÿ äàëüíåéøåãî íå ñó-
ùåñòâåííî); áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Ð
m
(T
0
, T
1
) îïðåäåëåíû äëÿ âñåõ m. Äëÿ êðàòêî-
ñòè îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç p
m
, q
m
= 1 – p
m
.
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ
m
, êîòîðûå ïðèíèìàþò çíà-
÷åíèå 1, åñëè ñ òðàíñôîðìàòîðîì m íà îòðåçêå âðåìåíè (T
0
, T
1
) ïðîèçîøëà
ôèíàëüíàÿ àâàðèÿ, è çíà÷åíèå 0, åñëè ôèíàëüíîé àâàðèè íå ïðîèçîøëî. Ïðîèç-
âîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ
m
ðàâíà
ψ
m
(z) =q
m
z +p
m
.
Ñóììà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
ξ
m
åñòü ÷èñëî ôèíàëüíûõ àâàðèé â ðàññìàòðè-
âàåìîé ãðóïïå, à ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ýòîé ñóììû åñòü ïðîèçâåäåíèå âñåõ
φ
m
(z).
ψ
sum
(z) = Ï(q
m
z + p
m
).
 ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâàìè ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî íå ïðîèçîéäåò íè îäíîé ôèíàëüíîé àâàðèè, ðàâíà ñâîáîäíîìó ÷ëåíó ïðîèç
-
âîäÿùåé ôóíêöèè ψ
sum
(0); âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðîèçîéäåò k ôèíàëüíûõ àâà-
ðèé, ðàâíà êîýôôèöèåíòó â ψ
sum
(z) ïðè z
k
. Ïîýòîìó, âû÷èñëèâ êîýôôèöèåíòû
φ
sum
(z), ïîëó÷èì òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ÷èñëà ôèíàëüíûõ àâà-
ðèé íà ðàññìàòðèâàåìîì îòðåçêå âðåìåíè.
Âåðîÿòíîñòü Â
k
, ÷òî íà (Ò
0
, Ò
1
) ïðîèçîéäåò ðîâíî k ôèíàëüíûõ àâàðèé, ðàâíà
ψ
sum
(k)
(z)/k! ïðè z = 0.
Çäåñü ψ
sum
(k)
(z) – ïðîèçâîäíàÿ k-ãî ïîðÿäêà â íóëå. Ïðîèçâîäíûå î÷åíü ïðî-
ñòî âû÷èñëÿþòñÿ â ÌÀÒÊÀÄå íà ïàíåëè Calcus íàæàòèåì ñîîòâåòñòâóþùåé
êíîïêè.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà ôèíàëüíûõ àâàðèé ðàâíî ψ´
sum
(1) = Ì
sum
;
äèñïåðñèÿ ÷èñëà ôèíàëüíûõ àâàðèé D
sum
= ψ´´
sum
(1) + ψ´
sum
(1)[1 – ψ´
sum
(1)] è ò. ä.
Òåì ñàìûì ïîëíîå îïèñàíèå ýêñïëóàòàöèîííîé íàäåæíîñòè òðàíñôîðìàòîðíîé
ãðóïïû íà ëþáîì íàïåðåä çàäàííîì èíòåðâàëå âðåìåíè íàéäåíî.
Ïðèìåð. Äëÿ ãðóïïû ÀÒ è Ò, ðàññìîòðåííîé â ïðåäûäóùåì ïðèëîæåíèè,
èìååì òàáëèöó çíà÷åíèé ð
k
, q
k
:
¹ ÀÒ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
pk
0,935 0,935 0,926 0,926 0,942 0,942 0,949 0,96 0,96 0,961
qk
0,065 0,065 0,074 0,074 0.058 0,058 0,051 0,04 0,04 0,039
¹ ÀÒ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
pk
0,961 0,954 0,954 0,957 0,937 0,938 0,938 0,96 0,96 0,963
qk
0,039 0,046 0,046 0,043 0,063 0,062 0,062 0,04 0,04 0,037