Ткаченко В.Н. Электрохимическая защита трубопроводных сетей

121

Функция i(L) при переходе через точку приложения сосредоточенной

нагрузки может изменить свой знак.

б) В точке рассечения трубопровода

В точке рассечения трубопровода или на его конце, если здесь не

приложена внешняя нагрузка ( I

m

= 0 ) , справедливо условие

i(L) = dϕ

т

(L) / dL = 0 при L = L

g

,

(6.16)

где L

g

- координата конечной точки трубопроводной линии или точки

токораздела, где, очевидно i(L

g

) = 0.

в) В узле разветвления

Пусть в точке L = L

m

, где приложена сосредоточенная нагрузка I

m

,

трубопровод разветвляется на Т лучей, каждый из которых имеет отлич-

ное от других удельное продольное сопротивление R

пр.t

и удельное сопро-

тивление изоляции R

из.t

(t = 1,2,...,T, рис.6.3). В соответствии с принятым

направлением токов имеем:

Рис.6.3.Расчетная схема

i

1

−

( i

2

+ i

3

+ ... + i

T

) + I

m

−

j

Δ

L = 0; (6.17)

при

Δ

L = (

Δ

L

1

+ ...+

Δ

L

t

+ ...+

Δ

L

т

) / 2 ,

где

Δ

L

t

/ 2 - половина длины элементарного участка, отсчитанного вдоль

коодинатной оси t-го луча c началом в узле разветвления;

Δ

L - расчетная

длина эквивалентного элементарного участка для узла разветвления. Оче-

122

видно, что при Т = 2 формула (6.17) переходит в формулу (6.12) для не-

разветвленного трубопровода, а при Т = 1 - для нагруженной консоли.

Разделив (6.17) на

Δ

L и воспользовавшись выражением (6.14) для

плотности тока участка, придем к одному из основных уравнений, связы-

вающих неизвестные j(L) и ϕ

т

(L)

Т

j(L) − 2 / Т ∑ (1 / R

пр.t

) d

2

ϕ

т

(L

t

) / dL

2

t

= δ(L

m

,L) I

m

,

(6.18)

t=1

где составляющая со знаком ∑ есть средняя плотность тока утечки в узле

разветвления, помеченном некоторой криволинейной координатой L.

6.1.4. Система уравнений для обособленной сети

Пусть проектируемая трубопроводная сеть произвольной конфигура-

ции (рис.6.4) с токовыми нагрузками отделена от существующей сети в

точках токораздела.

Рис.6.4. Расчетная схема

для обособленной сети, где

I

m

- токовые нагрузки, L

g

-

точки токораздела.

Система уравнений для нагруженной обособленной сети складывает-

ся из уравнений, полученных выше, и имеет вид

123

Так, первое уравнение в системе (6.19) есть синтез уравнений (6.4),

(6.6) и (6.11), второе - (6.18), третье - (6.16).

Решение сетевой задачи (6.19), ввиду ее сложности для сети произ-

вольной кофигурации, возможно лишь численными методами, изложен-

ными ниже.

6.2. Численный метод расчета сетевой задачи

6.2.1. Основные положения метода дискретизации

Заменим трубопроводную сеть, как совокупность проводников с

утечкой с равномерно распределенными параметрами, проводниками с

утечкой с дискретно изменяющимися параметрами. С этой целью пред-

ставим трубопроводную сеть совокупностью прямолинейных отрезков

дискретизации с неизменными в пределах отрезка параметрами. Точки

стыка отрезков дискретизации назовем узлами дискретизации.

Зафиксируем положение каждого узла дискретизации в декартовой

системе координат, произвольно расположив плоскость x0y на поверхно-

сти земли и направив ось 0z вниз.

Узлы дискретизации целесообразно совместить с такими характер-

ными точками трубопроводной сети как узлы разветвления, конечные

(граничные) точки трубопроводных линий, углы поворота трасс, места

размещения контрольно-измерительных пунктов и прочими контроли-

руемыми при эксплуатации точками сети. Для неразветвленных и прямо-

линейных трубопроводов узлы дискретизации следует назначить произ-

вольно.

124

Параметры отрезка дискретизации

Δ

L

ik

между i-м и k-м соседними

узлами, а именно, удельное продольное сопротивление ( R

пр.ik

), удельное

сопротивление изоляции ( R

из.ik

) и стационарный потенциал ( U

cт.ik

), как

мы условились, будем полагать неизменными. Параметры i-го узла дис-

кретизации ( R

пр.i

, R

из.i

, U

cт.i

), при необходимости, будем вычислять как

средние из значений параметров стыкующихся отрезков дискретизации.

При этом введем понятие шаг дискретизации

Δ

L

i

для i-го узла как полу-

сумму длин стыкующихся отрезков дискретизации (см. также формулу

(6.17))

Δ

L

i

= (L

i1

+ L

i2

+...+L

iт

) / 2 , (6.20)

где Т - число связей данного узла дискретизации с соседними; L

it

- длина

t-го отрезка дискретизации, исходящего из i-го узла ( t = 1,2,...,T).

В методе дискретизации для сетевой задачи, в отличие от классиче-

ского метода конечных разностей, где отрезок дискретизации

Δ

L

является

лишь “безымянным” аналогом бесконечно малого элементарного участ-

ка dL, отрезок дискретизации

Δ

L

ik

“овеществлен”, т.е. координатно при-

вязан, его ось ориентирована в пространстве и имеет далеко не бесконеч-

но малую длину.

Такое представление в определенной степени аналогично физическо-

му моделированию трубопровода с помощью набора последовательно со-

единенных отрезков-электродов, например, трубок, погруженных в элек-

тролит или иную проводящую среду, моделирующую некоторый объем

земли. Метод физического моделирования в недалеком прошлом был ши-

роко распространен, начиная от Кальмана В.С. в 40-х годах, затем благо-

даря работам Левина В.М., Котельникова А.В., Марквардта Г.Г., Шакова

В.И., Ткаченко В.Н., Куликова А.А., Тозони О.В., В.В.Притулы и др.

Но в эпоху всеобщей компьютеризации метод физического и анало-

гового моделирования был замен более эффектными методами численно-

го моделирования, куда и относится предлагаемый метод дискретизации.

Метод дискретизации является в настоящее время единственным, по-

зволяющим решать сетевую задачу, т.е. задачу распределения тока и по-

тенциала в разветвленной трубопроводной сети произвольной конфигу-

рации.

125

6.2.2. Система уравнений для сети с дискретными параметрами

В соответствии с методом дискретизации система уравнений сетевой

задачи (6.19) должна быть заменена ее конечно-разностным аналогом сле-

дующего вида

(6.21)

где N- число узлов дискретизации; T

i

- число узлов на связи с i-м; j

i

- ис-

комая плотность тока для i-го узла; ϕ

т.i

- искомый потенциал i-го узла;

ϕ

т.it

- потенциал t-го узла, находящегося на связи с i-м ;

Δ

L

it

- расстояние

между i-м в t-м узлами (отрезок дискретизации);

Δ

L

i

- расчетный шаг

дискретизации для i-го узла; R

из.i

- удельное сопротивление изоляции;

ϕ

з.i

- потенциал земли; ϕ

cт.i

- стационарный потенциал металла; R

пр.it

-

удельное продольное сопротивление соответствующего отрезка дискре-

тизации; m - номер узла с подключенной сосредоточенной нагрузкой I

m

;

a

ik

- коэффициент, учитывающий влияние k-го отрезка дискретизации на

i-й узел и определяемый формулой

а Gd

ik ikt

L

T

=

∫

∑

ρπ

/

()

kt

k

t=1

4

0

2

ξ (6.22)

При этом G

ikt

вычисляется по формулам типа (6.11). Так, для t-го лу-

ча k-го узла, если луч горизонтален, имеем

_________________ __________________

G

ikt

= 1 /

√

r

2

+(z

k

−

z

i

+ d

i

/ 2)

2

+ 1 /

√

r

2

+ (z

k

+ z

i

+ d

i

/ 2)

2

;

r

2

= (x

k

+ ξ cos θ

kt

−

x

i

)

2

+(y

k

+ ξ sinθ

kt

−

y

i

)

2

; (6.23)

126

θ

kt

= arc tg (y

k

−

y

t

) / (x

k

−

x

t

) ,

где x

s

,y

s

, z

s

- координаты s-го узла (s = i, k, t); d

i

- средний диаметр трубо-

провода в i-м узле.

Следует заметить, ищется влияние k-го узла на i-й. При этом в k-м

узле источник тока находится на оси трубопровода, а подверженная влия-

нию точка узла i расположена на внешней поверхности изоляции трубо-

провода по его нижней образующей.

6.2.3. Решение системы уравнений

Алгебраическую систему уравнений сетевой задачи (6.21) удобнее

представить в матричной форме

Aj − ϕ

т

= − ϕ

з

− ϕ

cт

;

j

− Bϕ

т

= − J

,

(6.24)

где

А = {A

ik

}

N

- квадратная матрица, коэффициенты которой отражают

факт наличия взаимных влияний между отрезками дискретизации

⎧ a

ik

+ R

из.i

при i = k;

A

ik

= ⎨ (6.25)

⎩ a

ik

остальное;

где i,k = 1,2,...,N - произвольно назначенные номера узлов дискретизации.

В системе (6.24)

B - квадратная матрица, коэффициенты которой

{B

B

ik

}

N

определяют связи и сопротивления между узлами, и вычисляются

по формулам:

(6.26)

127

где i

t

- номер узла дискретизации, находящегося на связи с i-м; t - услов-

ный номер ответвления от i-го узла, Т

i

- число связей i-го узла.

Остальные матрицы ϕ

т

,ϕ

з

,ϕ

cт

в системе (6.24) - столбцовые вида

{ ϕ

i

}

N

без особенностей, за исключением столбца J = {J

i

}

N

, для

которого

⎧ I

m

/

Δ

L

i

при i = m;

J

i

= ⎨

⎩ 0 остальное,

где m - номера узлов с токовыми нагрузками I

m

.

Следует напомнить, что за положительное направление тока нагрузки

I

m

принято направление из питающей сети в трубопровод. Следовательно,

ток катодной станции в точке дренажа - нагрузка отрицательная, а тот же

ток анодного заземлителя - положительная.

Что касается граничных условий на концах трубопровода (см. третье

уравнение в (6.19)), то они автоматически выполняются при заполнении

матрицы

В. Так, если i-й узел конечный, то в формуле (6.26) для диаго-

нального элемента B

B

ii

следует принять Т

i

= 1.

а) Матричное уравнение для плотности тока

Исключим из системы двух уравнений (6.24) неизвестную ϕ

т

, для че-

го умножим первое уравнение слева на

В и затем вычтем из него второе, в

результате чего получим

основное уравнение сетевой задачи в матрич-

ном виде

(

BA − E)j = J − B(ϕ

з

+ ϕ

cт

)

,

(6.27)

где

E - единичная матрица размерности N×N, заполненная везде нулями,

кроме главной диагонали, где задана единица.

В матричном уравнении (6.27) искомым является вектор плотности

тока

j.

В общем случае, поскольку все матрицы в уравнении (6.27) отражают

физическую реальность и поэтому не имеют особенностей, решение мож-

но представить в виде

128

j = (BA − E)

−1

(J − Bϕ

з

−Bϕ

cт

), (6.28)

где (

BA − E)

−1

- обратная матрица.

Система более эффективно решается стандартными методами, т.е. без

вычисления обратных матриц.

б) Формула для расчета разности потенциалов труба-”близкая”

земля.

После определения вектора j вычисляется разность потенциалов ме-

жду трубой и “близкой” землей или, как мы уже условились ранее в тер-

минах, просто разность потенциалов труба-земля

U = R

из

j + ϕ

cт

. (6.29)

в) Формула для расчета потенциала земли, вызванного токами

трубопровода

Полезна для дальнейшего анализа формула потенциала земли, вы-

званного токами трубопровода

ϕ

з.т

= А

′

j (6.30)

где ϕ

з.т

- вектор потенциала земли, вызванного токами утечки трубопро-

вода, элементы которого соответствуют формуле (6.7);

А′

= {a

ik

}

N

- квад-

ратная матрица, элементы которой вычисляются по формуле (6.22);

j -

решение системы (6.27).

г) Матричное уравнение для потенциала трубопровода

Для определения продольных токов i необходимо знать потенциал

трубопровода ϕ

т

. Для исключения из системы (6.24) неизвестной j ум-

ножим второе уравнение слева на

А и вычтем его из первого, в результате

чего получим матричное уравнение для ϕ

т

129

(AB − E) ϕ

т

= AJ − ϕ

з

− ϕ

cт ,

(6.31)

Общее решение для потенциала ϕ

т

имеет вид

ϕ

т

= (AB − E)

−1

(AJ − ϕ

з

− ϕ

cт

).

(6.32)

д) Матричное уравнение для удельного сопротивления изоляции

Определим вектор R

из

, исходя из результатов опытных измерений

разности потенциалов труба-земля в поле действующей катодной стан-

ции, т.е. будем считать известными

U

ст

и ΔU - стационарный потенциал и

cмещение потенциала, вызванное токами катодных станций, во всех узлах

исследуемой сети.

Выделим из матрицы

А = {A

ik

}

N

, определяемой формулами (6.25),

столбец с

R

из

. Тогда первое уравнение в системе (6.24) получит следую-

щий вид (при допущении ϕ

cт

= U

ст

):

A’ j + R

из

j − ϕ

т

= − ϕ

з

− U

ст

, (6.33)

где

A’ - матрица взаимных влияний, упомянутая в формуле (6.30).

Так как разность потенциалов труба-земля

U

= ΔU + U

ст

задана и к

тому же Δ

U = R

из

j , то придем к системе, аналогичной системе уравнений

(6.24)

A’ j − ϕ

т

= − ϕ

з

− U ;

j − Bϕ

т

= − J.

(6.34)

Исключая из системы, как и прежде

ϕ

т

, получим матричное уравне-

ние относительно

j

(

BA’ − E)j = J − B(ϕ

з

+ U), (6.35)

после решения которого найдем

R

из

по формуле

R

из

= ΔU j

−1

.

(6.36)

130

е) Формула для расчета разности потенциалов трубы относи-

тельно выбранной точки земли

Если есть необходимость в вычислении разности потенциалов между

трубой и произвольной точкой земли, то формулу (6.29) следует допол-

нить

U = R

из

j + Δϕ

з

+ U

cт

, (6.37)

где Δϕ

з

- напряжение между исследуемой точкой земли и точкой земли на

внешней поверхности изоляции трубопровода.

Для определения Δϕ

з

вычисляют по формулам (6.30) потенциал зем-

ли, вызванный токами трубопровода, дважды:

для “близкой” точки земли

- ϕ

з.т

(x

i

, y

i

, z

i

+d

i

/2) и для контролируемой точки - ϕ

з.т

(x,y,z), после чего

берут их разность

Δϕ

з

= ϕ

з.т

(x,y,z)

−

ϕ

з.т

(x

i

, y

i

, z

i

+d

i

/2), (6.38)

где x

i

, y

i

, z

i

+d

i

/2- координаты точки на поверхности изоляции трубопро-

вода по его нижней образующей.

Так, при z

= 0, x = x

i

, y = y

i

определяется потенциал ϕ

з.т

(x,y,0) на по-

верхности земли над осью трубопровода.

ж) Формула для вычисления продольных токов трубопровода

Если возникает необходимость в вычислении продольных токов тру-

бопровода, то выполняют решение системы (6.31) и затем по закону Ома

находят ток i

kt

на отрезке дискретизации между k-м и kt-м соседними уз-

лами

i

kt

= (ϕ

т.k

− ϕ

т.kt

) / ( L

k t

R

пр.kt

). (6.39)

где i

kt

- среднее значение тока контролируемого участка; ϕ

т.k

, ϕ

т.kt

- потен-

циалы на концах участка; L

kt

- длина участка; R

пр.kt

- удельное продольное

сопротивление трубы.

Ткаченко В.Н. Электрохимическая защита трубопроводных сетей

Подождите немного. Документ загружается.