Тичинін В.А., Высшая математика

Подождите немного. Документ загружается.

).2 3 12 0;a x y  

0 3 12 0;

3 12;

x y

    

 



0 2 12 0;

2 12;

y x

   



).5 7 0б x y 

- проходить через О(0;0).

x = -7

y = 5

).3 8 0 ;

в x Oy

  





( 3; 1), ( 1;3), (5; 1)A B C   

a) Запишемо рівняння прямої АС:

1 0,

3 1

5 3 1 1

x y

 

 

 



  

Висота BD:

1;x 

б) Кут

ABC

 

2 1

1 2

;

1 1

BC BA

k K

k k

tg ABC

k k k



  

  



5 3

: ;

1 5 1 3

x y

 



   

   

4 5 6 3 ;

4 6 20 18 0;

4 2

4 6 2 0 ;

6 6

;

x y

x y y

   

    

      



1 3

: ;

3 1 1 3

x y

 



   

   

4 1 2 3 ;

4 4 2 6 0;

4 2 10 0;

2 4 10;

2 5;

x y

y x

   

    

   

 



CEDA

(в)

(а)

8/3

-6

-7

(б)

 

2 4

3 3

2 7

1 2

3 3

tg ABC

 

   

 

ABC arctg

 

  

 

 

в) Рівняння медіани BE:

 

3 5

1; 1 : 1;

1 1

E x

 

  

 

 

 

   

1 3

: ;

1 1 1 3

4 1 2 3 ;

4 4 2 6 0;

4 2 2 0 .

x y

 



  

   

    

   

) 2 2 1 0.a x y x   

Розв’язання.

Спочатку об’єднаємо члени рівняння, які містять х та у окремо:

2 2 1.x x y  

Виділимо зліва повний квадрат:

2 1 1 2 1;

( 1) 2 2;

( 1) 2( 1);

1 ( 1) .

x x y

x y

y x парабола

    

  

   

С(1;-1) – вершина.

Знайдемо точки перетину з осями:

 

1,2

0 ;

0 2 1 0;

1 1 1 0, 4;2,4 .

x y

y x x

  

    

    

Методична розробка до контрольної роботи №4

Контрольна робота охоплює такі розділи курсу вищої математики: функція, границя функції, нескінченно малі.

Дві важливі границі. Порівняння нескінченно малих. Властивості еквівалентних нескінченно малих.

Приблизний варіант білету контрольної роботи №4.

1). Границя функції. Основні теореми про границі. (7б.)

2). Знайти границі

а).

5 6

lim ;

3 2

x x



 

(3б.)

б).

2 14

lim ;

3 7 1

x x

 

 

 

(3б.)

в).

sin 5 7

lim ;

x x

tg x





(4б.)

г).

 

lim 4 1 2 ;

x x

 

 

(4б.)

д).

lim .

 

 

 



 

(4б.)

Зразок розв’язання контрольної роботи.

1). Границя функції.

Нехай функція

 

y f x

визначена в деякому околі точки

x a

Число b є границею функції

 

f x npu x a

, якщо

 

0 0 : ,

lim .

x a

E E x a mo

f x b E

f x b

  



      

 



Основні теореми про границі.

Теорема 1.

Границя суми кінцевого числа, змінних або функцій дорівнює сумі границь.

Теорема 2.

Границя добутку змінних або функцій дорівнює добутку границь.

Теорема 3.

Границя ділення дорівнює діленню границь:

 

lim

lim , lim 0.

lim

x a

x a x a

x a

f x

g x

g x g x



 



 

Теорема 4.

Сталий множник виноситься за знак границі.

2). Знайти границі

а).

   

2 2

3 2

5 6 0

lim lim 1;

3 2 0 2 1

x x

x x x x

 

 

 

 

  

 

   

 

б).

2 14 1

lim ;

3 7 1 3

x x

 

 



 

в).

0 0 0

sin 5 7 sin 5 7 5 7 12

lim lim lim 4;

3 3 3 3 3 3

x x x

x x x x

tg x tg x tg x

  



     

г).













2 2

4 1 2 4 1 2

4 1 4

lim 4 1 2 lim lim

4 1 2 4 1 2

1 1

lim 0;

4 1 2

x x x

x x x x

x x

x x x x

x x

     

 

   

 

    

   

  



 

д).

4 4 4

5 lim

lim lim 1 1 lim 1

5 5 5

lim 1 .

x x x

x x x x

x x x

e e

 

     







 

 

     

     

     

  

     

 

 

   

 

 



 

 

 

Методична розробка до контрольної роботи №5

Контрольна робота охоплює такі розділи курсу вищої математики: похідна функції однієї змінної

та її застосування.

Приблизний варіант білету контрольної роботи №5.

1). Диференціал та його геометричний зміст. Основні властивості. (7б.)

2). Знайти похідну

функції (8б.)

а).

2 3 1;y x x 

б).

 

cos

3 ;

y e 

в).

2 4

;

5 6







г).

 

sin 5 1 ;y tg x 

д).

ln 0;x y y  

е).

sin 5 ,

cos3 .

x t

y t t







 



3). Знайти екстремуми функції: (10б.)

 

1 2 .y x  

Зразок розв’язання контрольної роботи.

1). Диференціалом функції

 

y f x

називають головну частину її приросту, лінійну відносно

приросту аргументу.

.dy y dx





Основні властивості.

0;dC 

 

;d CU CdU

 

;d U V dU dV  

 

;d U V UdV VdU  

;

U VdU UdV

V V



 



 

 

   

.df U f U dU





2). Знайти похідну

функції:

а).

2 3 1;y x x 

2 3 1 3 ;

2 3 1

y x x

 



   

 



 

б).

 

cos

3 ;

y e 

 

cos cos

3 3 sin ;

x x

y e e x



    

в).

2 4

;

5 6







 

2 5 6 2 4

2 5 6

;

5 6

x x

   









г).

 

sin 5 1 ;y tg x 

 

cos 5 1 5;

cos sin 5 1

y x



   



д).

ln 0;x y y  

1 2 0;

2 1;

;

y y y

y y

 

    

 



  

 

 







е).

sin 5 ,

cos3 .

x t

y t t







 



cos5 5, 1 sin 3 3;

1 3sin 3

5cos 5

x t y t

x t

 

    







 



3). Знайти екстремуми функції:

 

1 2 .y x  

 

4 4

2 0.

5 2

y x





   



Добуток не обертається в «0» при будь-яких значеннях х та не існує при х=2.

Критичні точки

 

;2 

 

2; 



+ Н.О -



max



Максимум досягається в точці х=2,

max

1.y 

Методична розробка до контрольної роботи №6

Контрольна робота охоплює такі розділи курсу вищої математики: функції багатьох змінних,

частинні похідні, градієнт та похідна за напрямом вектора.

Приблизний варіант білету контрольної роботи №6

1. Диференціювання складної функції. (7б.)

2. Знайти повний диференціал функції:

2 4

3 6 5 2 .z x xy y x   

(5б.)

3. Довести, що

2 2

z z

x y y x

 



   

sin .z xy

(5б)

4. Знайти

grad z

в т. М (0;0), якщо

 

3 cos 5 .z x y tgx y  

(4б)

5. Знайти похідну функції

 

lnz x y 

в т. М (1;0) за напрямом вектора

2 3a i j 

(4 б)

Зразок розв’язання контрольної роботи.

1. Нехай

 

,z f U V

, де

   

, , ,U U x y V V x y 

, тоді частинні похідні обчислюються за

формулами:

;

z x U z V

x U x V x

z z U z V

y U y V y

    



   



    





    



   

    





Якщо

   

, ,z f x y y x



 

, тоді повна похідна обчислюється за формулою

dz z z dy

dx x y dx

 

  

 

Якщо

 

,z f x y

, де

 

x t





 

y t





, і функції диференційовані, тоді похідна складеної

функції

   

,f t t

 

 

 

обчислюється за формулою:

dz z dx z dy

dt x dt y dt

 

   

 

;

z z

dx dy

x y

 

 

 

6 6 2 2;

6 20 14;

x y M



   



  



dydxMdU 142/ 

3. Довести, що

2 2

z z

x y y x

 



   

 

2 2

sin ;

cos ;

sin cos ;

cos ;

sin cos ;

z xy

xy y

xy x y xy

x y

xy x

xy y x xy

y x

z z

x y y x





 



    

 



 



    

 



   

Що потрібно було довести.

4. Знайти

grad z

в т. М (0;0), якщо

 

3 cos 5 .z x y tgx y  

z z

grad z i j

x y

 

 

 

;

 

1 1

3cos 5 3cos 0 5 3 5 2;

cos cos 0

3 sin 2 0;

2 0 2 .

y y

x x

x y y tgx

grad z i j i



       



    



  

5. Знайти похідну функції

 

lnz x y 

в т. М (1;0) за напрямом вектора

2 3a i j 

 

2 4 3 1

cos cos 2 1 ;

13 13 13 13

2 2;

1 1;

2 2 3

cos ; cos .

4 9 13 13

z z z

M M M

a x y

x x y

y x y

 



  

      

  



  

 



  

 



  



Література:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1, М.: Интеграл ПРЕСЭ,

2006

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.2, М.: Интеграл ПРЕСЭ,

2006

3. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1978

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах,

ч.2, М: Высшая школа, 1997

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

6. Привалов И.И. Аналитическая геометрия.