Сягло И.С. Теоретическая механика
Подождите немного. Документ загружается.
m
d
dt
(r
2
˙ϕ) = mr(r ¨ϕ + 2 ˙r ˙ϕ) = −
∂U
∂ϕ
.
~
f = − ϕ
f
r
= −
∂U
∂r
, f
ϕ
= −
1
r
∂U
∂ϕ
,
r
w
r
= ¨r − r ˙ϕ
2
, w
ϕ
= r ¨ϕ + 2 ˙r ˙ϕ.
U(q
i
, t)
T =
X
a
1
2
m
a
(
X
i
∂~r
a
∂q
i
˙q
i
)(
X
j
∂~r
a
∂q
j
˙q
j
) =
1
2
X
i
X
j
(
X
a
m
a
∂~r
a
∂q
i
∂~r
a
∂q
j
) ˙q
i
˙q
j
.
a
ij
(q
i
, t) =
X
a
m
a
∂~r
a
∂q
i
∂~r
a
∂q
j
.
a
ij
T =
1
2
X
i,j
a
ij
˙q
i
˙q
j
.
L =
1
2
X
i,j
a
ij
˙q
i
˙q
j
− U(q
i
, t).
˙x, ˙y, ˙z
∂L
∂ ˙x
= m ˙x,
∂L
∂ ˙y
= m ˙y,
∂L
∂ ˙z
= m ˙z.
q
i
p
i
=
∂L
∂ ˙q
i
.
L = L[ ˙x
a
( ˙q
i
, q
i
, t), x
a
(q
i
, t), ˙y
a
( ˙q
i
, q
i
, t), y
a
(q
i
, t), ˙z
a
( ˙q
i
, q
i
, t), z
a
(q
i
, t)].
p
i
=
X
a
(
∂L
∂ ˙x
a
∂ ˙x
a
∂ ˙q
i
+
∂L
∂ ˙y
a
∂ ˙y
a
∂ ˙q
i
+
∂L
∂ ˙z
a
∂ ˙z
a
∂ ˙q
i
) =
X
a
~p
a
∂~v
a
∂ ˙q
i
.
∂~v
a
∂ ˙q
i
=
∂~r
a
∂q
i
.
p
i
=
X
a
~p
a
∂~r
a
∂q
i
.
~r = r cos ϕ sin θ
~
i + r sin ϕ sin θ
~
j + r cos θ
~
k.
∂~r
∂ϕ
= −r sin ϕ sin θ
~
i + r cos ϕ sin θ
~
j = −y
~
i + x
~
j = [
~
k ×~r].
p
ϕ
= ~p[
~
k ×~r] =
~
k[~r × ~p] =
~
k
~
M,
p
ϕ
ϕ OZ
ϕ
˙p
i
=
∂L
∂q
i
.
x y x y
p
i
(q
j
, ˙q
j
, t) = .
q
i
(t)
q
i
(t)
d
dt
L( ˙q
i
, q
i
, t) =
X
i
(
∂L
∂ ˙q
i
¨q
i
+
∂L
∂q
i
˙q
i
) +
∂L
∂t
.
∂L
∂ ˙q
i
¨
q
i
=
d
dt
(
∂L
∂ ˙q
i
˙
q
i
) −
d
dt
(
∂L
∂ ˙q
i
) ˙q
i
.
d
dt
(L −
X
i
∂L
∂ ˙q
i
˙
q
i
) =
X
i
˙
q
i
(
∂L
∂q
i
−
d
dt
(
∂L
∂ ˙q
i
)) +
∂L
∂t
.
E
E =
X
i
∂L
∂ ˙q
i
˙q
i
− L =
X
i
p
i
˙q
i
− L.
dE
dt
= −
∂L
∂t
.
p
k
=
∂L
∂
˙
q
k
=
X
j
a
kj
˙q
j
.
E =
X
k,j
a
kj
˙q
k
˙q
j
− L = T + U,
dE
dt
= −2Φ.
