Сорока Н.И., Кривинченко Г.А. Телемеханика: Телемеханика Ч1
Подождите немного. Документ загружается.
55
График изменения фазы приведён на рис. 4.7,б, где частота изменяется
через равные промежутки времени от нижней рабочей частоты
FFF ∆
−
=
1min
к
верхней
FFF ∆+=
1min
и обратно. Легко найти, что переходная фаза будет
меняться по пилообразному закону, так как
mр
Щ
рДщ
)dtC(t)(Дщш
T/
==−=
⋅
∫
2
2
122
2
0
max
,
или 2/
max
π
ψ
m= , где m=
∆
ω/Ω – индекс частотной манипуляции.
ω
1
ω
max
ω
C
ω
min
a
T t
-
τ
0
τ
ψ(t) mπ/2
б
t
-mπ/2
Рис. 4.7. Закон изменения частоты и фазы при ЧМП
В выражении (4.13) шcos и ш
s
in - периодические функции, так как
изменение фазы
ψ
происходит периодически. Периодические функции
cosшf
1
=
и
sinшf
2
=
можно разложить в ряды Фурье
∑∑
∞
=
∞
=
Ω+Ω+=
11
0
sincos)(
k
k
k
k
tkbtkaatf
и тем самым найти спектр сигнала.
При вычислении коэффициентов
0
a
,
k
a и
k
b следует учесть, что в
интервале времени от
0 до Т/2 (или π) фаза
ψ
изменяется по закону
),2
/
(
π
ψ
−Ω=
t
m в интервале времени от Т/2 (или π) до Т (или 2π) – по закону
)2/3(
t
m Ω−=
π
ψ
. Тогда для функции
ψ
cos)(
1
=
tf получим
56
∫
∫∫
=ΩΩ−+
+Ω−Ω=Ω=
π
ππ
π
π
π
π
π
ππ
2
0
0
2
0
110
;
2
sin
2
)2/3(cos
2
1
)2/cos(
2
1
)(
2
1
m
m
tdtm
tdttdtfa
2
sin
)(
4
cos)(
2
1
22
2
0
1
π
π
π
π
m
km
m
ttdktfa
k
−
=ΩΩ=
∫
при чётном k; при нечётном k получается
0a
k
=
.
0sin)(
2
1
2
0
1
∫
=ΩΩ=
π
π
ttdktfb
k
при всех k.
Аналогично для функции sinш(t)f
2
=
получим:
;0
0
=a ;0=
k
b
∫
∫
−
=ΩΩΩ−+
+ΩΩ−Ω=
π
π
π
π
π
π
π
π
2
0
22
0
2
cos
)(
4
cos)2/3(sin
2
1
cos)2/(sin
2
1
m
km
m
ttdktm
ttdktma
k
при нечётном k и 0a
k
= при чётном k.
В результате напряжение после частотной манипуляции записывается в
виде
t.cosщt1)cos(2k
2
mр
cos
)1)(2kр(m
4m
U
tsinщtcos2k
2
р
sinm
)(2k)р(m
4m
Utsinщ
2
mр
sin
рm
2
U(t)U
1
0k
22
1
0k
22
1ЧМП
∑
∑
∞
=
∞
=
+
+−
+
++
−
+=
Щ
Щ
Заменив произведение косинусов и произведение синуса на косинус,
окончательно получим
...)
.
)3cos(
2
cos
3
)2sin(
2
sin
2
)cos(
2
cos
1
sin
2
(sin
2
)(
1
22
2
1
22
2
1
22
2
1
+Ω±
−
+
Ω
±
−
+
+Ω
±
−
+
=
tщm
m
m
tщm
m
m
tщm
m
m
tщ
m
m
U
tU
ЧМП
π
π
π
π
π
(4.14)
57
Таким образом, спектр состоит из колебаний на несущей частоте
1
ω
и на
боковых частотах Ω± k
1
ω
, как в случае гармонического модулирующего
сигнала
t
t
C
Ω= cos)(, но амплитуды колебаний другие.
Примеры спектров ЧМП-сигналов, рассчитанных по выражению (4.14),
показаны на рис. 4.8.
Рис. 4.8. Примеры спектров ЧМП-сигналов
Из рис. 4.8 видно, что форма спектра сильно зависит от индекса
модуляции и при индексах модуляции, близких к 1, основная энергия
содержится в несущей
и двух первых боковых. Отсюда можно сделать вывод,
что ширина спектра ЧМП может быть определена из выражения
1)
Щ
2(mДщ
ЧМП
+
=
.
В заключение следует отметить, что спектр становится несимметричным
относительно несущей частоты при скважности, отличной от двух.
4.4. Двукратная модуляция
4.4.1. АМ-АМ-сигналы. Для повышения помехоустойчивости иногда
модулированное (АМ, ЧМ) сообщение дополнительно модулируют по частоте
или амплитуде. Такой способ модуляции обозначается двумя индексами:
0,04
0,21
0,64
0,21
0,50 0,50
0
0 0
0,04
0,273 0,273
0,5
0,382
0,382
0,212
ω
m=1,0
Q=2
0
ω
1
ω
1
+Ω
ω
1
+2Ω
ω
1
+3Ω
ω
1
+4Ω
ω
1
-4Ω
ω
1
-4Ω
ω
1
+4Ω
ω
1
-5Ω
ω
1
+5Ω
ω
1
-3Ω
ω
1
-3Ω
ω
1
+3Ω
ω
1
-2Ω
ω
1
+2Ω
ω
1
-2Ω
ω
1
-Ω
ω
1
ω
1
+Ω
(4.15)
ω
1
-Ω
0,5
ω
m=3
Q=2
58
первый означает способ модуляции поднесущей, второй – несущей. Кроме того,
двукратная модуляция применяется при передаче сообщений по радиоканалам,
а также в выделенной полосе частот проводной линии связи.
АМ-АМ-сигналы в телемеханике используются редко. Однако их
шумовые характеристики часто служат эталоном для сравнения различных
методов модуляции. Рассмотрим АМ-АМ-сигнал, когда промодулированная
по
амплитуде поднесущая описывается выражением
tщЩt)m(Uщ(t)U
АМАМ 11
sincos1
+
=
,
где U
ω
1
- амплитуда поднесущей;
1
щ - круговая частота поднесущей; m
AM
-
коэффициент амплитудной модуляции на первой ступени;Ω- круговая частота
модулирующего сообщения.
Сигнал (t)U
Н
является модулирующим по отношению к модулирующему
колебанию
tщUtU
Н 00
cos)(
=
.
В соответствии с определением амплитудной модуляции АМ-АМ-сигнал
можно записать в виде
t,щt)щЩt)m(M(U
tщt)щЩt)m(kUщ(U(t)U
АМAM
АМАМАМ
010
0110
coscoscos11
coscoscos1
++=
=
+
+
=
−
где M
AM
=kU
ω
1
/U
0
– коэффициент амплитудной модуляции на второй ступени.
Процесс получения АМ-АМ-сигнала показан на рис. 4.9.
Для получения спектра преобразуем выражение (4.18) и окончательно
получим
.)cos(
4
)cos(
4
)cos(
2
cos)(
10
0
10
0
10
0
00
tщщ
mMU
tщщ
mMU
tщщ
MU
tщUtU
AMAM
AMAM
AM
АМАМ
Ω±−+
+Ω±++
+±+=
−
Согласно выражению (4.19) спектр АМ-АМ-сигнала имеет вид,
представленный на рис. 4.10. Oн содержит составляющую на несущей частоте
0
щ , две боковые составляющие на частотах
10
щщ
+
и
10
щщ − , вокруг которых
имеются по две составляющих на частотах Ω±
+
10
щщ и
Ω
±
−
10
щщ
соответственно.
(4.16)
(4.17)
(4.18)
(4.19)
59
Рис. 4.9. Формы сигналов при АМ-АМ
Сообщение
АМ-сигнал
Поднесущая
АМ-АМ-сигнал
Несущая
0
0
t
t
U
АМ
U
АМ-АМ
ω
U
o
M
4
U
o
M
.
m
4
U
0
ω
0
ω
0
+
ω
1
-
Ω
ω
0
-
ω
1
-
Ωω
0
-
ω
1
+
Ω
ω
0
+
ω
1
+
Ω
ω
0
-
ω
1
ω
0
+
ω
1
60
Рис. 4.10. Спектр АМ-АМ-сигнала
61
Очевидно, что необходимая полоса частот для передачи такого сигнала
определяется разностью частот верхней и нижней боковых составляющих, т.е.
)(2
11010
Ω+
=
Ω
+
+
−
Ω
+
+
=
∆
−
щщщщщщ
AMAM
,
4.4.2. АМ-ЧМ-сигнал. При данном сигнале поднесущая
промодулированная по амплитуде (4.16), модулирует носитель (4.17) по
частоте. В соответствии с определением частотной модуляции можно записать
выражение для АМ-ЧМ-сигнала, представленного на рис. 4.11, в виде
∫
Ω
+
+
=
−
)cos)cos1(cos()(
100
1
tdtщtmkUtщUtU
АМЧМАМ щ
.
Рис. 4.11. Формы сигналов при АМ-ЧМ
Не раскрывая выражения (4.21), спектр АМ-ЧМ можно построить по
следующему правилу: строится спектр полезного сообщения C(t), затем спектр
полезного сообщения переносится на частоту поднесущей
1
щ по правилам АМ
сигнала, а потом полученный спектр переносится на несущую частоту по
правилам ЧМ-сигнала.
(4.20)
(4.21)
АМ-cигнал
Поднесущая
Несущая
C
¦
t
¦
-сообщение
t
t
U
АМ-ЧМ
U
АМ
62
Спектр, построенный по рассмотренной выше методике, приведен на
рис. 4.12. Следует отметить, что спектр, построенный по данной методике, дает
представление о частотном составе спектра, позволяет определить полосу
частот, занимаемую сигналом, но не дает возможности определить амплитуды
отдельных гармонических составляющих.
Рис. 4.12. Процесс построения спектра АМ-ЧМ-сигнала
Определим полосу частот, занимаемую
АМ-ЧМ-сигналом, как разность
частот между верхней и нижней боковыми составляющими.
),(2)(2)(2
11
1010
Ω+=Ω+≈Ω+=
=
Ω
+
+
−
Ω
+
+
=∆
−
н
щщMnщ
nщщnщщщ
ЧМ
AMAM
g
где М
ЧМ
= ω
g
н
/ω
1
– индекс частотной модуляции несущего сигнала; ω
g
н
–
девиация частоты носителя.
4.4.3 ЧМ-АМ-сигнал. Частотно-модулированная поднесущая
)sincos()(
11
tmtщUщtU
АМЧМ
Ω
+
=
модулирует носитель по амплитуде; в результате получаем ЧМ-АМ сигнал
(рис. 4.13), который можно записать в виде
(4.22)
UΩ
2Ω
ω
ω
ω
2щ
g
н
U
АМ
U
АМ-ЧМ
ω
1
-
Ω
ω
1
ω
1
+
Ω
ω
0
-
nω
1
ω
0
-
nω
1
-
Ωω
0
+
n
ω
1
+
Ω
ω
0
+
nω
1
ω
0
-
ω
1
ω
0
ω
0
+
ω
1
Ω
Ω
63
.cos))sinsin(sin
)sincos((cos1(
cos))sincos(1(
cos))sincos(()(
01
10
010
010
1
tщtmtщ
tmtщMU
tщtmtщMU
tщtmtщkUUtU
ЧМ
ЧМAМ
ЧМAМ
ЧМАМЧМ
щ
Ω×−
−Ω×+=
=Ω++=
=
Ω
+
+
=
−
Рис. 4.13. Форма сигналов при ЧМ-АМ
Подставив в выражение (4.23) значения
t
J
2J
1n
0
Щ(m)cos2n(m)t)sinЩcos(m
n
ЧМ
∑
⋅
+=
∞
=
2
и
t1)-sin(2n
J
.
2
1-2n
1n
(m)t)sinЩsin(m
ЧМ
Ω
∑
=
∞
=
,
получим
(4.23)
t
t
U
ЧМ-АМ
(t)
U
ЧМ
(t)
U
С
(t)
64
...)2cos()(
2
)cos()(
2
)cos()(
2
)cos()(
2
cos
cos...)))2cos()()cos()(
)cos()(cos)((1()(
102
0
101
0
101
0
100
0
00
01211
11100
+Ω±±+
+Ω−±−Ω+±+
+±+=
=+Ω±+Ω−−
−Ω+
+
+
=
−
tщщmJ
MU
tщщmJ
MU
tщщmJ
MU
tщщmJ
MU
tщU
tщtщmJtщmJ
tщmJtщmJMUtU
AМ
AМAМ
AМ
AМАМЧМ
В соответствии с выражением (4.24) спектр ЧМ-АМ-сигнала имеет вид
представленный на рис. 4.14.
Рис. 4.14. Спектр ЧМ-АМ-сигнала
Как следует из рис. 4.14, полоса частот, занимаемая ЧМ-АМ-сигналом,
равна
),(2)(2)(2
111
1010
gн
щщmщnщ
nщщnщщщ
ЧМ
AMЧM
+=Ω+≈Ω+=
=Ω++−Ω++=∆
−
где
Ω
= /
нЧМ
щm
g
– индекс частотной модуляции;
н
щ
g
– девиация частоты
поднесущей.
Необходимо отметить, что данный вид двукратной модуляции следует
применять в том случае, когда требуется обеспечить высокую
помехоустойчивость при передаче по узкополосному каналу связи. Тогда
помехоустойчивость обеспечивается ЧМ, а экономия полосы частот – АМ.
4.4.4. ЧМ-ЧМ сигналы. В данном случае сначала сообщением
Щt
UC(t)
Щ
cos= модулируется по частоте поднесущая, а затем ЧМ-сигнал
модулирует по частоте несущую. Формы сигналов при ЧМ-ЧМ показаны на
рис. 4.15.
(4.24)
(4.25)
ω
0
-ω
1
-nΩ ω
0
-ω
1
ω
0
-ω
1
+nΩ ω
0
ω
0
+ω
1
-nΩ ω
0
+ω
1
ω
0
+ω
1
+nΩ
ω
U
0
М
АМ
2
U
0
J
0
(m)
U
0
M
AM
2
U
0
M
AM
2
U
0
M
AM
2
J
0
(m)
J
n
(m)
J
n
(m)
`
`
`