Солодов В.Г. Моделирование турбулентных течений. Расчет больших вихрей

Подождите немного. Документ загружается.

141





F max tanh ,F

 

 

 

500

RANS d RANS

RANS

L C L

max ,

K d

 

  

 

 

Здесь

RANS

L и

RANS

K d

- турбулентный масштаб длины и турбулентная

кинетическая энергия, оцениваемые по полям из RANS модели и

расстояние до ближайшей стенки. Функция

принимает значение 1

при малой подсеточной вязкости

SGS RANS

  

, в остальных случаях –

Весовая функция такова, что вблизи стенки работает RANS

модель, а LES модель включается в свободных сдвиговых течениях и

зонах отрывов. Упрощенная версия весовой функции предложена в

[195]

tanh

SGS

RANS

 



 

 



Метод Baurle в [195] иллюстрируется использованием случая

двухпараметрической





 

RANS модели (где



- турбулентная

энстрофия).

Уравнение для турбулентной кинетической энергии при

использовании RANS модели выписывается следующим образом

RANS

j j K j

u K

K K

t x x x

 



 

   

   

 

 

 

    

 

 

i RANS

j K i i p

p K

x C x x

 

  

    

   



Здесь

RANS



  

 

RANS турбулентный масштаб представляется через энстрофию

142

3 2

RANS

L 



Подсеточная вязкость оценивается как

SGS S

C K

 

Гибридная вязкость снова определяется функцией смешения





HYBRID SGS RANS

F F     

и уравнение для турбулентной кинетической энергии преобразуется к

виду

HYBRID

j j K j j

u K

K K

t x x x x

 



 

    

     

 

 

 

     

 

 

 

3 2

HYBRID

K i i p

p K K

F C f C

C x x

 

   

 

      

 

   



 

 

Константы модели можно найти в [195].

Модифицированная двухпараметрическая





 

модель [2]

Данная модель предложена в основу гибридного RANS/LES подхода.

Основная идея напоминает DES-метод, характерные масштабы,

появляющиеся в RANS модели, заменяются масштабами,

основанными на фильтрующем операторе. Два уравнения модели –

для подсеточной кинетической энергии

SGS

и для скорости

диссипации



решаются совместно с уравнениями NS. Вихревая

турбулентная вязкость и подсеточная вязкость вычисляются.

Предлагаемые уравнения для параметров модели турбулентности

 

SGS SGS

i SGS SGS q q

j j

q q

u q / P

t x x

 

 

 

        

 

  

 

 

143

 

i RANS

j j

u / P D

t x x

  

 

  

 

        

 

  

 

 

Константы модели совпадают с аналогичными константами

известной





 

RANS модели.

Сравнительный спектральный энергетический анализ модели

(см. [153]) позволяет определить величину подсеточной вязкости для

любого отрезающего значения волнового числа





0 28

SGS

E /

 

 







0 28

RANS

E k

 

где

- энергосодержащее волновое число.

В работе [24] предлагается обобщение основной идеи DES

модели Спаларта-Аллмараса путем применения ее ко всем

турбулентным переменным. Для учета пространственного и

временного фильтров авторы [24] предлагают переопределить и

ограничить размер фильтра как





max , u t, K t

    



В данной работе рассматриваются ограничители параметров моделей

турбулентности для характерных параметров: масштаба длины,

скорости диссипации, частоты турбулентных пульсаций.

Аналогичный подход выполнен в работе [1], в которой

протестированы версии DES модели Спаларта-Аллмараса на двух-

параметрических моделях

Двухпараметрическая стохастическая модель Magnagato и

Gabi. Модель Magnagato и Gabi [114] отличается от большинства

моделей внедрением дополнительного стохастического члена,

учитывающего обратное рассеяние энергии турбулентности.

Гибридная модель базируется на

 

или

 

формулировках

144

RANS модели и использует идею (Schumann, [114]) для описания

процесса обратного рассеяния турбулентной кинетической энергии.

В работе величины



раскладываются на суммы

разрешаемых и подсеточных величин, например

K K K



 

Подсеточные величины должны быть предметом моделирования

на основе уравнения переноса для



. Средняя скорость диссипации



представляется в виде

3 2



 

Аналогично, разрешаемый временной масштаб



представляется в

виде



 



При этом характерный масштаб длины

оценивается по размеру

фильтра и фильтрованному значению скорости





max ,

L u t



  

Модифицированный масштаб длины, участвующий в RANS модели,

предположительно дает подсеточные турбулентные флуктуации.

Диссипативная часть модели для

 

формулировки представляется

в виде

ij ij ij

C S K



     



Для

 

формулировки

ij ij ij

C K S K



      

Общий вид модели обратного рассеяния, которая является добавкой к

выше приведенным диссипативным частям, представлен следующим

образом

145

ij B i j ij

u u K

  

  

   

Подсеточный временной масштаб





имеет вид







 



где





определяется шириной диапазона разрешаемой и подсеточной

кинетической энергии.

Скорости

i j

u u

 

вычисляются в каждый момент времени в случайном

процессе с использованием стохастического дифференциального

уравнения типа Ланжевена. Модель показывает хорошую

работоспособность и удовлетворительные результаты для внутренних

течений.

6.6 Альтернативный подход к гибридизации. Моделирование

очень больших вихрей (VLES)

Как уже упоминалось в гл.1, наряду с использованием

пространственных фильтров возможно использование и временных

фильтров. При этом используется однородное ядро

( )

G t t





и для

крупномасштабного осреднения переменной















i i

t,x t ,x G t t dt

  

   



при условии





G t t dt

 

 



В случае коробчатого фильтра ядро определяется интервалом

времени





1 2

T T

G t t , t t

 

     

Значение фильтрованной величины принимает вид

146

   

, ,

i i

t x t x dt





 

  





Временное фильтрование, взвешенное по Фавру, определяется

стандартным образом (гл.1).

В серии работ [161,162,112] (Shih, Liu) получены

фильтрованные уравнения Навье-Стокса с использованием такого

временного фильтра коробчатого типа





,t i

   



 









i i j ,i ij , j ij ij kk

, j

u u u p S S           

 

  

 











i ,i kk i ,i ij ij ii jj

, j

e u e T pS q S S S S Q

          

 



  

p RT

 



Уравнения названы авторами PRNS (partially resolved NS) – частично

разрешаемые уравнения Навье-Стокса. Индексы через запятую

означают взятие частной производной.

Для получения решения PRNS уравнений для

крупномасштабной турбулентности, необходимо их замкнуть,

моделируя члены













ij i j i j i i i

u u u u q u e u e

  

   

   

В [112] предложены уравнения переноса подсеточных

(неразрешаемых) турбулентных напряжений и потоков, полученные

из уравнений Навье-Стокса, однако метод приводит к необходимости

замыкания этих уравнений из-за появляющихся членов более

высокого порядка, которые не выражаются через разрешаемые

переменные, а требуют новых гипотез.

Для этой цели в PRNS подходе используется

двухпараметрическая модель, которая определяет неразрешаемую

турбулентную кинетическую энергию и скорость диссипации,

147

использует их для определения масштабов длины и скорости для

неразрешаемой части турбулентности, не опираясь явно на размер

сетки для масштаба длины.

Модельное уравнение для неразрешаемых турбулентных

напряжений выводится из общего определяющего соотношения [162],

коэффициенты которого определяются с использованием теории

быстрого скоса (rapid distortion theory) в рамках реализуемости.

Модель учитывает слагаемые по степеням

до третьего порядка

включительно.

6.6.1. Модель подсеточных турбулентных напряжений

Модель SGS напряжений представляется в виде







ij i j i j

u u u u

    

 

   

2 3

1 3 3

2 3

ij ij kk ij ik kj ik kj

K K

f C s s / K A f s s



            



 

   

 

 

2 2

5 5

2 3

ik kj ik kj ik km mj kl lm mk ij s ij ij kk

A f s s s s s s /

               



     





2 2 2

ij i , j j ,i ij i , j j ,i s kk mm kj jk

s ( u u ) / , ( u u ) / , s s s s /

       



        

Модельные коэффициенты

3 5

, ,

C A A



определяются условием

реализуемости и ограничениями теории быстрого скоса[162].

Коэффициенты

1 3 5

, ,

f f f

- функции отношения ширины

временного фильтра к глобальному масштабу времени

рассматриваемом течении

0 0

1 1

, если













 





 



 









148

Таким образом, подсеточные напряжения



исчезают, когда

ширина фильтра



стремится к нулю, и обратно,



стремятся к

напряжениям Рейнольдса, когда ширина фильтра



стремится к

значению временного масштаба

Так как





, все функции

1 3 5

, ,

f f f

можно разложить в ряд

0 1 2

i i i

T T T

f C C C ...

T T T

  

   

   

   

   

Здесь все первые

должны быть равны 0, т.к. коэффициенты

обращаются в 0, если ширина фильтра стремится к 0. Поэтому

главный член разложения пропорционален отношению

 

 



 

 

T T

Это отношение называется управляющим параметром разрешения

(RCP) [112].

6.6.2. Физические эффекты неразрешаемой турбулентности

Центральным вопросом любой подсеточной модели является

механизм взаимодействия разрешаемых и неразрешаемых

турбулентных масштабов. В уравнении импульсов эти

взаимодействия учтены через член

ij j



, который должен

моделироваться. В традиционных LES такое взаимодействие

моделируется через изотропную вихревую вязкость. Действительно,

эффект взаимодействия может быть учтен через модификацию

вязкости жидкости. Однако в модели



только линейная часть

действует подобно дополнительной вязкости (подсеточная вихревая

вязкость).

Нелинейные члены второго и третьего порядков действуют как

дополнительные источниковые члены, генерирующие

крупномасштабную турбулентность. Таким образом, они

обеспечивают обмен энергией между разрешаемыми и

149

неразрешаемыми масштабами турбулентности. Исходя из содержания

нелинейных членов, они учитывают эффекты анизотропии и

вращения.

Следует подчеркнуть, что в большинстве SGS моделей

источниковым членом пренебрегают.

6.6.3 Подсеточные

 

уравнения переноса [161]

Для замыкания SGS модели требуются поля подсеточной

кинетической энергии



- ее потока диссипации. Уравнения

переноса получаются из уравнений Навье-Стокса и содержат

незамкнутые корреляционные моменты величин из-за операции

фильтрования по времени.

Процедура вывода кратко состоит в следующем [161-162].

Первый шаг состоит в получении уравнения переноса для тензора

неразрешаемых напряжений



, который в следе содержит величину



; таким образом, процедура ведет к уравнению переноса для

Уравнение переноса для неразрешаемых турбулентных

напряжений







ij i j i j

u u u u

   

 

имеет вид

ij,t k ij ,k ij ij ij ij

(u ) D P

       

Здесь

- диффузионный член



 







2 2

3 3

ij i j k i j k j ik ik j mm j ik ik mm

D u u u u u u u s u s u s s

 

 

 

             

 

 

 

 

 

 

 









ik j jk i j ik i jk i jk j ik

u u pu pu pu pu

            

   







2 2

3 3

i jk jk i mm i jk jk mm

u s u s u s s

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 





- член давления – напряжения

150





ij ij ij

ps ps

  



- генерирующий член





ij ik j,k jk i ,k

P u u

    

 



- диссипативный член



 



 

4 4

2 2

3 3

ij i,k jk j ,k ik ij mm i,k jk j ,k ik ij mm

u s u s s s u s u s s s

   

          

   

   

     

Все слагаемые в правой части уравнения переноса, кроме

генерирующего члена, являются незамкнутыми и должны быть

определены из дополнительных моделей.

Если диффузионный член моделируется по закону градиентной

диффузии вихревой вязкости, то свертка данного уравнения переноса

принимает вид

,t i ,i ,i ij ij

K ( u K ) ( )K s 

          

 

 

в котором членом



пренебрегаем, игнорируя тем самым влияние

сжимаемости.

Поток диссипации определяется величиной 0 5



, т.е.



2 2

3 3

ik ik ii mm ik ik ii mm

s s s s s s s s

   

        

   

   

   

Уравнение переноса модели для



конструируется аналогично

1 2,t i ,i ,i ij ij

( ) ( u ) ( ) С s С

k k

 

 

            

 

 

Модельные коэффициенты

1 2

С С

 

известны в литературе [112],

однако в дальнейшей работе должны конструироваться как локальные

функции турбулентности.