Смольников А.П. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
31
разомкнутая система – блок Continuous (для версии 5.2 Linear) звенья
Transfer Fcn;
мультиплексор – блок Signals &Systems(для версии 5.2 Connections) Mux;
виртуальный осциллограф – блок Sinks Scope.
Параметры входного гармонического сигнала: амплитуда – U
вх
и угло-
вая частота – ω задаются в блоке Sine Wave. Для удобства проведения экс-
перимента и последующего расчета амплитуду входного сигнала целесооб-
разно задать равной единице.
Вид и параметры звеньев разомкнутой системы определяются в соот-
ветствии с заданием. Блок Mux предназначен для одновременного наблюде-
ния на осциллографе входного и выходного сигналов.
Для измерения выбирают часть графика, на котором амплитуда выход-
ного сигнала достигла установившегося значения (обязательно исключаются
несколько первых периодов колебаний).
На экране виртуального осциллографа в общем случае будет наблю-
даться изображение (рис. 4.5), где U
вых
– амплитуда выходного сигнала, Т
с
/2
– половина периода гармонических колебаний в секундах, γ – величина
фазового сдвига выходного сигнала по отношению к входному, измеряемая
в секундах.
Рис. 4.5. Изображение на экране осциллографа
t, c
t
2
Uвых
U
вх
Т
c
/2
Входной сигнал
Выходной сигнал
t
1
γ
32
Определение сдвига по фазе γ производится между одноименными
точками графиков при пересечении их с "осью нуля". При этом входной и
выходной сигналы возрастают (пересекают ось абсцисс снизу вверх) – это
точки t
1
и
t
2
на рис. 4.5. Точка t
2
, соответствующая выходному сигналу, нахо-
дится справа от точки t
1
.
Для точного измерения координат интересующих точек выделяйте их с
помощью левой клавиши "мыши" в прямоугольные области (функция увели-
чения масштаба). Для уменьшения масштаба используйте правую клавишу.
Примечание: Если выходной сигнал c ростом частоты вместо гармо-
нического имеет "ломаный" вид, то следует уменьшить время моделирова-
ния. Для этого в опции Simulation следует
выбрать опцию Parameters и в
открывшемся окне изменить параметр Stop Time (St).
Экспериментальные данные занести в табл. 4.1, где ω, Т
с
/2, γ, U
вх
,
U
вых
– это экспериментальные значения, а А, φ, L – вычисленные значения.
Проводят 8–12 опытов для различных значений частоты входного
сигнала.
По экспериментальным данным табл. 4.1 определяют параметры час-
тотной передаточной функции.
Таблица 4.1
ω,
рад/с
Т
с
/2,
с
γ=t
2
–t
1
,
с
U
вх
U
вых
А
φ,
град
L,
дБ
ω
1
……
ω
n
Модуль для некоторой частоты ω
1
равен отношению амплитуд сигна-
лов:
./)(
вхвых
UUA
=
ω
Фазовый сдвиг между сигналами, измеренный в секундах, пересчиты-
вают в градусы по выражению:
2
180
С
T
γ
ϕ
= , град.
Значение модуля в логарифмическом масштабе определяют по формуле:
)(lg20)(
ω
ω
A
L
=
, дБ.
Полученные значения заносят в табл. 4.1.
33
Порядок выполнения работы
1. Определите экспериментально амплитудные и фазовые частотные
характеристики разомкнутой системы автоматического регулирования в
соответствии с заданным вариантом передаточной функции.
2. Постройте годограф W
P
(jω), ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы
по экспериментальным данным.
3. Определите устойчивость замкнутой системы, используя крите-
рий Найквиста.
4. Определите запасы устойчивости по амплитуде и фазе по годогра-
фу и по ЛЧХ.
5. Определите коэффициент передачи системы и вычислите критиче-
ский коэффициент усиления.
Перед началом выполнения работы запустите систему Matlab, а
затем
систему Simulink.
В командной строке Matlab введите команду: >>simulink
Создайте окно новой модели: через меню File –> New –> Model.
Экспериментальное определение частотных характеристик ра-
зомкнутой системы автоматического управления.
Создайте в системе
Matlab схему, соответствующую рис. 4.4, и снимите частотные характери-
стики для следующих разомкнутых систем (номер системы соответствует
номеру варианта). Для каждого варианта снимаются характеристики с двумя
наборами параметров: «а» и «б». Каждому типовому сомножителю переда-
точной функции соответствует один блок Transfer Fcn в модели системы.
Для различных значений частоты необходимо
выбрать свое время мо-
делирования St, чтобы на экране были видны 3–4 периода колебаний и кри-
вые не имели «ломаный» вид. Для заданных значений частоты провести
моделирование и занести результаты в табл. 4.1.
Передаточные функции разомкнутых систем имеют вид.
1)
1
1
)(
3
2
2
2
2
1
1
++
⋅
+
=
sTsT
K
sT
K
sW
P
а) K
1
= 2; K
2
= 2; Т
1
= 0.5; Т
2
= 0.1; Т
3
= 0.1;
б) K
1
= 6; K
2
= 2; Т
1
= 0.5; Т
2
= 0.1; Т
3
= 0.1.
Рекомендуемые значения частоты ω: 0.5; 1; 2; 4; 8,11, 12; 20.
34
2)
1
1
1
)(
4
3
3
2
2
2
2
1
1
+
⋅
++
⋅
+
=
sT
K
sTsT
K
sT
K
sW
P
а) K
1
= 1; K
2
= 2; K
3
= 2; Т
1
= 0.2; Т
2
= 0. 1; Т
3
= 0.1; Т
4
= 0.5;
б) K
1
= 3; K
2
= 2; K
3
= 2; Т
1
= 0.2; Т
2
= 0. 1; Т
3
= 0.1; Т
4
= 0.5.
Рекомендуемые значения частоты ω: 0.5; 1; 2; 4; 5; 8,11, 12; 20.
3)
111
)(
3
3
2
2
1
1
+
⋅
+
⋅
+
=
sT
K
sT
K
sT
K
sW
P
а) K
1
= 1; K
2
= K
3
= 2; Т
1
= 0.1; Т
2
= 0.2; Т
3
= 0.5;
б) K
1
= 10; K
2
= K
3
= 2; Т
1
= 0.1; Т
2
= 0.2; Т
3
= 0.5.
Рекомендуемые значения частоты ω: 0.5; 1; 2; 4; 5; 8,10, 12; 20.
4)
1111
)(
4
4
3
3
2
2
1
1
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
sT
K
sT
K
sT
K
sT
K
sW
P
а) K
1
= 0.5; K
2
= K
3
= K
4
= 2; Т
1
= 0.1; Т
2
= 0.2; Т
3
= 0.5; Т
4
= 0.5;
б) K
1
= K
2
= K
3
= K
4
= 2; Т
1
= 0.1; Т
2
= 0.2; Т
3
= 0.5; Т
4
= 0.5.
Рекомендуемые значения частоты ω: 0.5; 1; 2; 4; 5; 8,10, 12; 20.
5)
1
1
)(
3
2
2
2
2
1
1
++
⋅
+
=
sTsT
K
sT
K
sW
P
а) K
1
= 1; K
2
= 2; Т
1
= 0.5; Т
2
= 0.2; Т
3
= 0.2;
б) K
1
= 6; K
2
= 2; Т
1
= 0.5; Т
2
= 0.2; Т
3
= 0.2.
Рекомендуемые значения частоты ω: 0.5; 1; 2; 4; 6; 8,10, 12; 20.
6)
1
1
1
)(
4
3
3
2
2
2
2
1
1
+
⋅
++
⋅
+
=
sT
K
sTsT
K
sT
K
sW
P
а) K
1
= 1; K
2
= 1; K
3
= 2; Т
1
= 0.5; Т
2
= 0.2; Т
3
= 0.2; Т
4
= 1;
б) K
1
= 10; K
2
= 1; K
3
= 2; Т
1
= 0.5; Т
2
= 0.2; Т
3
= 0.2; Т
4
= 1.
Рекомендуемые значения частоты ω: 0.5; 1; 2; 3;4; 5; 8,10, 12; 20.
35
7)
111
)(
3
3
2
2
1
1
+
⋅
+
⋅
+
=
sT
K
sT
K
sT
K
sW
P
а) K
1
= 1; K
2
= K
3
= 2; Т
1
= 0.2; Т
2
= 0.5; Т
3
= 1;
б) K
1
= 10; K
2
= K
3
= 2; Т
1
= 0.2; Т
2
= 0.5; Т
3
= 1.
Рекомендуемые значения частоты ω: 0.1; 0.4 ; 1; 2; 4; 8,10, 12; 20.
8)
1111
)(
4
4
3
3
2
2
1
1
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
sT
K
sT
K
sT
K
sT
K
sW
P
а) K
1
= 0.2; K
2
= K
3
= K
4
= 2; Т
1
= 0.1; Т
2
= 0.2; Т
3
= 0.5; Т
4
= 0.5;
б) K
1
= K
2
= K
3
= K
4
= 2; Т
1
= 0.1; Т
2
= 0.2; Т
3
= 0.5; Т
4
= 0.5.
Рекомендуемые значения частоты ω: 0.2; 0.4; 0.8; 1; 2; 4; 5; 8.
Контрольные вопросы
1. Выведите формулу (2).
2. Сделайте анализ устойчивости системы, используя критерий Найк-
виста.
3. Как определяется устойчивость системы по логарифмическим час-
тотным характеристикам?
3. Что такое дополнение годографа к бесконечности?
Библиографический список
1. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического управления:
Изд.4-е, перераб. и доп. / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. СПб: Изд-во «Про-
фессия», 2003. 752 с.
Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 5
ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ И САУ
Цель работы: изучение влияния жесткой обратной связи на характери-
стики линейных звеньев и исследование основных соотношений между вре-
менными и частотными характеристиками САУ.
36
Теоретические сведения
Влияние жесткой обратной связи на характеристики звеньев
Обратные связи применяют для изменения характеристик звеньев. Если
передаточная функция звена обратной связи W
ос
(p) для установившегося ре-
жима (при p = 0) не равна нулю, то обратная связь называется жесткой об-
ратной связью.
Передаточная функция звена, охваченного жесткой обратной связью,
имеет вид
,
)(1
)(
)(
pWk
pW
pW
oc
З
+
=
где W(p) – передаточная функция неохваченного звена; k
ос
– коэффициент
жесткой обратной связи.
Жесткая обратная связь уменьшает коэффициент передачи и постоян-
ную времени неохваченного звена. Если жесткая обратная связь охватывает
группу звеньев, то увеличивается колебательность охваченных звеньев.
Если неохваченное звено является апериодическим, т.е.
1
)(
+
=
Tp
k
pW
,
то передаточная функция охваченного звена будет иметь вид
1
)(
+
=
pT
k
pW
З
З
З
, (1)
где
oc
З
oc
З
kk
T
T
kk
k
k
+
=
+
=
1
,
1
. (2)
Таким образом, в этом случае вид передаточной функции звена не из-
меняется, но параметры становятся другими.
Соотношение между временными и
частотными характеристиками САУ
1. Теоретически время переходного процесса
п
t обратно пропорцио-
нально частоте среза
с
ω
разомкнутой системы.
В лабораторной работе это положение следует проверить эксперимен-
тально для системы с передаточной функцией в разомкнутом состоянии
37
)1(
)(
+
=
Tpp
k
pW
p
. (3)
Для двух случаев сочетания параметров системы
а) k = 0.5; T = 1 c; (4)
б) k = 5; T = 0.1 c
ЛАХЧ идентичны по форме, но отличаются частотой среза. Им соответству-
ют переходные процессы одинаковой формы, но различной длительности.
2. Качество переходного процесса, определяемое перерегулированием
σ
и временем переходного процесса
п
t (рис. 5.1), зависит от частоты среза
разомкнутой системы
с
ω
и запаса по фазе
γ
(рис. 5.2). Исследуем эту связь,
изменяя величину k в (3) и оценивая качество переходного процесса при
одном значении T = 1 с и следующих значениях k:
а) k = 0.5; б) k = 1; в) k = 10. (5)
Рис. 5.1
Рис. 5.2
σ
0
t
x
t
п
2δ
L, дБ
0
–180
–90
φ
ω, с
–
1
γ
φ(ω)
–40 дБ/дек
L
(
ω
)
T
–
1
–20 дБ/дек
38
Влияние протяженности среднечастотного участка ЛАЧХ
на вид переходного процесса
Качество переходного процесса непосредственно зависит от протяжен-
ности среднечастотного участка с наклоном –20 дБ/дек в ЛАЧХ разомкнутой
системы.
Пусть передаточная функция имеет вид
)1)(1(
)1(
)(
31
2
++
+
=
pTpTp
pTk
pW
p
(6)
при
321
TTT >>
ей соответствует ЛАЧХ на рис. 5.3.
Теоретически перерегулирование возрастает с увеличением показателя
колебательности М, который связан с запасами по амплитуде ЛАЧХ разомк-
нутой САУ, определяемыми длиной участка h,
3
2
,
1
1
T
T
h
h
h
M =
−
+
= ,
при выполнении условия
)1(
3
+
=
MT
M
c
ω
.
Рис. 5.3
ω
,
c
–
1
ω
c
h
–40 дБ/дек
L
,
д
Б
–20 дБ/дек
– 40 дБ/дек
–20 lg(M/(M+1))
–20 дБ/дек
1/Т
1
1/Т
2
1
/
Т
3
39
Для системы с двумя наборами параметрами:
а)
;5.0;2;4;2
321
cTcTcTk
=
===
б)
;25.0;4;8;2
321
cTcTcTk
=
===
исследуется связь между рассчитанным значением М и экспериментально
определенными σ и t
п
.
Указания к выполнению работы
1. Влияние жесткой обратной связи на характеристики линейных
звеньев.
Реализовать в системе Matlab схему на рис. 5.4,а и рассчитать переход-
ную функцию апериодического звена при k = 10, T = 1 с, а затем повторить
опыт, полагая
k
oc
= 1, и
k
oc
= 10.
б
Рис. 5.4
2. Соответствие между временными и частотными характеристи-
ками
.
Для системы (3) реализовать схему на рис. 5.4,б и рассчитать переход-
ные процессы замкнутой системы при следующих значениях параметров:
k = 0.5; T = 1 c ; k = 1; T = 1 c;
k = 5; T = 0.1 c; k = 5; T = 1 c.
3. Влияние протяженности среднечастотного участка ЛАЧХ на вид
переходного процесса.
Рассчитать переходные процессы для замкнутой системы с передаточ-
ной функцией в разомкнутом состоянии (4) при двух сочетаниях параметров:
;5.0;2;4;2
321
cTcTcTk
=
===
cTcTcTk 25.0;4;8;2
321
=
=== .
а
40
Порядок выполнения работы
1. Исследовать влияние жесткой обратной связи на переходную харак-
теристику апериодического звена. Построить ЛЧХ звена без обратной связи и
при указанных значениях коэффициентов обратной связи.
2. Рассчитать переходные процессы для системы (3) с параметрами (4)
и определить показатели качества σ и t
п
.
Построить ЛЧХ, соответствующие системе (3) с заданными параметра-
ми, и определить частоты среза и запасы по фазе.
Сравнить полученные ЛЧХ и переходные процессы.
3. Исследовать влияние коэффициента усиления разомкнутой системы
на качество переходного процесса для системы (3). Построить графики пере-
ходных процессов и определить
σ
и
t
n
, при значениях k, соответствующих
(5).
4. Построить ЛЧХ для заданных параметров и определить по ним час-
тоты среза и запасы по фазе.
Сравнить полученные ЛЧХ и переходные процессы.
5. Провести исследование влияния протяженности среднечастотного
участка ЛЧХ на вид переходного процесса системы (4), используя рассчи-
танные переходные процессы. Построить кривые переходных процессов и
определить
σ и t
п
.
Построить асимптотические ЛЧХ, соответствующие приведенным па-
раметрам, и определить частоты среза и запасы по фазе.
Контрольные вопросы
1. Как влияет жесткая обратная связь на коэффициент передачи и по-
стоянную времени апериодического звена?
2. Как связаны между собой частота среза ЛЧХ и время переходного
процесса?
3. Укажите связь между величиной запаса по фазе и качеством пере-
ходного процесса.
4. Что такое показатель колебательности? Как он связан с запасом ус-
тойчивости
и перерегулированием?
Библиографический список
1. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического управления:
Изд.4-е, перераб. и доп. / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. СПб: Изд-во «Про-
фессия», 2003. 752 с.