Сметанина Р.Н. и другие. Теоретические основы электротехники

Подождите немного. Документ загружается.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Р.Н. Сметанина, Г.В. Носов, Ю.Н. Исаев

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Часть 1

Постоянный и синусоидальный токи

в линейных цепях

Рекомендовано в качестве учебного пособия

Редакционно-издательским советом

Томского политехнического университета

3-е издание, исправленное

Издательство

Томского политехнического университета

2009

УДК 621.3.014(075.8)

ББК 31.211я73

С502

Сметанина Р.Н.

Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный

и синусоидальный токи в линейных цепях: учебное пособие /

Р.Н. Сметанина, Г.В. Носов, Ю.Н. Исаев; Томский политехниче-

ский университет. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во Томского по-

литехнического университета, 2009. – 118 с.

В пособии кратко изложены основные положения теории и мето-

ды решения задач по следующим разделам линейных цепей: цепи по-

стоянного тока, цепи однофазного синусоидального и трехфазного то-

ков, несинусоидальные токи, четырехполюсники и фильтры. По ука-

занным разделам приводятся решения типовых задач.

Пособие подготовлено на кафедре теоретической и общей элек-

тротехники и предназначено для студентов ИДО, обучающихся по спе-

циальностям 140604 «Электропривод и автоматика промышленных ус-

тановок и технологических комплексов», 140601 «Электромеханика»,

140205 «Электроэнергетические системы и сети», 140211 «Электро-

снабжение», 140203 «Релейная защита и автоматизация электроэнерге-

тических систем», 140610 «Электрооборудование и электрохозяйство

предприятий, организаций и учреждений»

УДК 621.3.014(075.8)

ББК 31.211я73

Рецензенты

Доктор технических наук, директор НИИВН

В.В. Лопатин

Доктор технических наук, профессор кафедры

теоретической и общей электротехники ТПУ

Ю.П. Усов

университет», 2009

политехнического университета, 2009

Тема 1

ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

1.1. Основные величины,

характеризующие электрическую цепь

Электрическая цепь – совокупность устройств, предназначенных

для прохождения электрического тока, электромагнитные процессы

в которых могут быть описаны с помощью понятий о токе, электродви-

жущей силе (ЭДС), напряжении и мощности.

Величина,

единица измерения

Определение

q – электрический заряд,

[q] = [Кл]

электрический заряд – источник электрического поля

i – электрический ток,

i(t) = I

sin(ωt + ψ

синусоидальный

i(t) – мгновенный ток,

i(t) = I = const,

постоянный

[i] = [А]

электрический ток в проводнике – направленное движе-

ние электрических зарядов:

i =

на схеме направление тока указывается стрелкой:

е – ЭДС,

е(t) = Е

sin(ωt + ψ

синусоидальная

е(t) = Е = const,

постоянная

[Е] = [В]

электродвижущая сила е – работа сторонних сил, при-

сущих источнику, затраченная на перемещение едини-

цы положительного заряда внутри источника от мень-

шего потенциала к большему

ϕ – потенциал,

[ϕ] = [B]

энергетическая характеристика любой точки поля

u – напряжение,

[u] = [B]

напряжение – это разность потенциалов:

u = ϕ

– ϕ

W – энергия

электрического поля,

[W] = [Дж]

энергия, затраченная на перемещение заряда q на участке

цепи с напряжением u к моменту времени t:

∫∫

∞−∞−

uidtudqW

p – мощность,

[р] = [Вт]

мощность – скорость изменения энергии во времени:

p ==

1.2. Источники электрической энергии

Основными элементами электрической цепи являются источники

электрической энергии и приемники (потребители), соединенные

проводами.

Под источниками понимают элементы, питающие цепь

электромаг-

нитной

энергией, поэтому они называются активными элементами.

Любой реальный источник с внутренним сопротивлением

вн

может

быть представлен двумя схемами:

1) источником ЭДС (напряжения);

2) источником тока.

1.2.1. Источники ЭДС (напряжения)

Источник ЭДС – такой источник, ЭДС которого не зависит от тока

приемника, а

вн

равно нулю

a) источник постоянной ЭДС,

(

) =

= const;

Схема Характеристики

Схема 1

– напряжение

на зажимах источника ЭДС;

1. U

(I) – ВАХ, R

вн

≠ 0; U

= Е – I R

вн

(реальный источник);

КЗ

I =

(

) =

= const,

вн

= 0

(идеальный источник);

ВАХ – вольтамперная характеристика

б) источник гармонической ЭДС,

(

) =

sin(ω

+ ψ

Схема Характеристики

Схема 2

– начальная фаза;

> 0,

– угловая частота;

;22 Tf π=π=ω

T – период; (ωt + ψ

) – фаза ЭДС;

– амплитуда ЭДС

1.2.2. Источники тока

Источник тока – такой источник, ток которого не зависит от на-

пряжения на его зажимах, а

вн

бесконечно велико:

a) источник постоянного тока,

(

) =

= const;

Схема Характеристики

Схема 3

(

) – ВАХ,

вн

∞

(реальный источник).

(

) =

= const,

вн

∞

(идеальный источник).

Схемы 1 и 3 взаимозаменяемы:

вн

JRE =

, если 0 <

вн

< ∞;

б) источник гармонического тока,

(

) =

sin(ω

+ ψ

Схема 4

– начальная фаза;

< 0,

– угловая частота;

– амплитуда тока;

(

ωt

) – фаза тока.

1.3. Пассивные элементы

Пассивный двухполюсник – схема любой сложности, имеющая два

входных зажима, но не имеющая источников энергии.

Двухполюсник линеен, если линейна его вольтамперная характери-

стика (ВАХ)

(

В качестве приемников электрической энергии используются

рези-

стивные

элементы, в которых происходят необратимые процессы пре-

образования электрической энергии в другие виды энергии (механиче-

скую, тепловую, световую и т. п.), и

реактивные элементы

(индуктив-

ные и емкостные), в которых происходит накопление, а затем расходо-

вание магнитной или электрической энергии.

Резистивный элемент:

ВАХ

(

) линейна, причем сопротивление

consttg

=α⋅=

– это

коэффициент пропорциональности между напряжением и током, кото-

рый характеризует способность этого элемента препятствовать протека-

нию тока, [R] = [Ом]; G =

; G – проводимость, которая характеризует

способность этого элемента проводить электрический ток, [G] = [См],

где См – Сименс.

Связь между напряжением и током для резистивного элемента вы-

ражается законом Ома

i ⋅== .

Сопротивления R для постоянного и переменного токов несколько

различаются по величине, но в практических расчетах будем полагать

их одинаковыми и зависящими от геометрических размеров проводника

и материала, из которого он изготовлен:

⋅γ

=⋅ρ=

где ρ – удельное сопротивление материала, [

ρ] = [Ом м]; γ – удельная

проводимость материала, [ γ ] = [1/Ом м]; l – длина проводника, [l] = [м];

S – площадь поперечного сечения проводника, [S] = [м

Мощность тепловых потерь в резистивном элементе находится по

закону Джоуля – Ленца

uiGu

===

размерность [Р] = [Вт], где Вт – ватт.

Индуктивный элемент (катушка):

Вебер-амперная характеристика (ВбАХ) )(iψ линейна, причем ин-

дуктивность

consttg =

=α⋅=

– это коэффициент пропорцио-

нальности между потокосцеплением

ψ и током i, который характеризу-

ет способность катушки запасать энергию в магнитном поле, [L] = [Гн],

где Гн – генри.

Индуктивный элемент при протекании электрического тока создает

магнитное поле, характеризуемое магнитным потоком Ф и соответст-

вующим ему потокосцеплением

Фw=ψ

[Вб] – причем w равно числу

витков катушки, где Вб – вебер.

Связь между током и напряжением индуктивного элемента выража-

ется законом электромагнитной индукции

= .

Если ток постоянный, то di/dt = 0 и u

= 0, тогда для постоянного то-

ка индуктивный элемент L можно заменить закороткой ( ).

Величина запасенной энергии в магнитном поле индуктивного эле-

мента равна

iiL

⋅ψ

⋅

, [Дж].

Емкостный элемент (конденсатор):

кулон-вольтная характеристика (КВХ) q(u) линейна, причем емкость

(u=u

) consttg ==α⋅=

C – это коэффициент пропорционально-

сти между зарядом q и напряжением u

на обкладках конденсатора, ко-

торый характеризует способность конденсатора запасать энергию

в электрическом поле, [С] = [Ф], где Ф – фарада, причем мкФ – микро-

фарада (1 мкФ = 10

–6

Ф).

При изменении заряда на обкладках конденсатора через него проте-

кает электрический ток

== .

Если приложенное к конденсатору напряжение постоянное, то

/dt = 0 и i = 0, тогда при постоянном напряжении емкостный эле-

мент можно заменить обрывом (

Величина запасенной энергии в электрическом поле емкостного эле-

мента равна

uquC

⋅

= , [Дж].

Два соотношения, обладающие свойством взаимного перехода друг

в друга при замене соответствующих величин, называются дуальными.

Дуальные величины: u ↔ i, R ↔ G, L ↔ C.

Связь между током и напряжением на зажимах этих элементов для

переменного и постоянного токов представлена табл. 1.

Таблица 1

Переменный ток

(

) =

= const

Элемент вольтамперные

характеристики

энергетические

характеристики

схема

замещения

резистивный

G u

индуктивный

∫

= dtu

= 0

(закоротка)

емкостный

∫

= idt

W =

(разрыв)

1.4. Топологические (геометрические) понятия

электрической цепи

Электрическая цепь

– совокупность устройств, предназначенных

для вырабатывания, распределения и преобразования электрической

энергии.

Для упрощения расчета и анализа электрических цепей применяются

топологические (геометрические) понятия.

Схема

– графическое изображение электрической цепи, содержащее

условные обозначения ее элементов и показывающее их соединение.

Геометрическая конфигурация схемы характеризуется понятиями

узел, ветвь, контур, граф, сечение, дерево.

Определение топологических

элементов схемы

Пример

Узел – место соединения трех

и более ветвей.

Ветвь – участок цепи, по которо-

му протекает один и тот же ток.

Контур – любой замкнутый путь,

образованный ветвями и узлами

Узлы: a, b, c, d,

узлы k и m – устранимые.

Ветви: ab, bd, bc, ac, dc, ad.

Контуры: akbda, dbcd, adca, akbcda и т. д.

Граф – упрощенное изображение

схемы в виде точек (узлов) и линий

(ветвей). Стрелки – направления

токов, источники ЭДС закорачива-

ются, ветви с источниками тока не

изображаются.

Сечение S – любой замкнутый

путь, пересекающий ветви графа

Граф схемы

S – сечение

Дерево – часть графа, соединяю-

щая все узлы, но не образующая

контуров.

Хорды – ветви, дополняющие де-

рево до графа.

Независимый (главный) контур –

составленный из ветвей дерева

и только одной хорды

Дерево образовано ветвями

3, 4, 5 (одно из деревьев).

Хорды: 1, 2, 6.

Главные контуры: abda, bcdb, adca

Тема 2

ЦЕПИ С ГАРМОНИЧЕСКИМИ

(СИНУСОИДАЛЬНЫМИ) ИСТОЧНИКАМИ

2.1. Сущность комплексного метода расчета

Для расчета цепей с гармоническими источниками применяются

комплексные числа. Из математики известно, что комплексные числа

(КЧ) располагаются на комплексной плоскости, образованной осью дей-

ствительных (+1) и осью мнимых чисел (+j), где

1−=j . Каждому

комплексному числу соответствует точка на комплексной плоскости.

Положение точки (КЧ) на комплексной плоско-

сти может быть представлено:

1. В показательной форме

⋅=

eAA , где А – ком-

плексное число (КЧ); А – модуль КЧ; α – аргумент

(угол) КЧ, отсчитываемый от оси +1, причем при α >0

отсчет этого угла ведется против часовой стрелки, а при α < 0 – по часо-

вой стрелке.

2. В алгебраической форме:

= a+jb, где )Re(

⋅=

eAa – действительная часть КЧ;

)(

⋅=

eAJmb – мнимая часть КЧ.

Обе формы связаны прямоугольным треугольником:

α⋅= cos

a , α⋅= sin

b ;

baA

)180(arctg

±+=α

, где

180 прибавляется только при

a <

Таким образом, любое КЧ может быть представлено

α⋅+α⋅=+=⋅=

sincos jAAjbaeAA

При расчетах с комплексными числами возникает необходимость

перевода КЧ из одной формы в другую форму.

1. Сложение и вычитание комплексных чисел производится только

в алгебраической форме, например:

.32,2732,270

)1010()32,1710(1,1420

4560

jjee

⋅=+=

=−−+=⋅−⋅

−