Скоробогатова В.И. Методические указания по теории вероятностей и математической статистике
Подождите немного. Документ загружается.
Справедливы следующие теоремы.
Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий
равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность
второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.
)/()()/()()( ABPAPBAPBPABP
.
В частности, отсюда получаем
)(
)(
)/(
BP
ABP
BAP
.
Теорема. Если событие А может произойти только при выполнении
одного из событий В
1
, В
2
,…В
n
, которые образуют полную группу
несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле
)/()(...)/()()/()()(
2211 nn
BAPBPBAPBPBAPBPAP
.
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Примеры. 1. Вероятность изготовления годного изделия данным
станком 0,9. Вероятность появления изделия первого сорта среди годных
изделий 0,8. Вычислить вероятность изготовления изделия первого сорта
данным станком.
Событие В – изготовление годного изделия данным станком; событие
А – появление изделия первого сорта. Очевидно, Р(В)=0,9,
8,0)/( BAP
.
Искомая вероятность будет
72,08,09,0)/()()( BAPBPABP
.
2. К экзамену надо подготовить 25 вопросов. Студент пришел на
экзамен, зная 20. Какова вероятность того, что студент ответит на все три
вопроса билета?
Пусть события: А – студент знает первый вопрос;
В – студент знает второй вопрос;
С – студент знает третий вопрос.
Тогда нужная вероятность будет
115
57
23
18
24
19
25
20
).()/()()( ABCPABPAPABCP
.
3. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее
наудачу извлечен один шар. Вычислить вероятность того, что извлеченный
шар окажется белым, если равновозможны все предположения о
первоначальном составе шаров.
Обозначим события: А – извлечен белый шар;
В
1
– первоначально белых шаров в урне не было;
В
2
– первоначально в урне был один белый шар;
В
3
– первоначально в урне было два белых шара.
Заметим, что
3
1
)()()(
321
BPBPBP
,
3
1
)/(
1
BAP
,
3
2
)/(
2
BAP
,
1)/(
3
BAP
. Тогда по формуле полной вероятности
)/()()/()()/()()(
332211
BAPBPBAPBPBAPBPAP
3
2
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
1
.
4. В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим
прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из
винтовки с прицелом, равна 0,95, для винтовки без прицела соответствующая
вероятность равна 0,7. Вычислить вероятность того, что мишень будет
поражена, если стрелок делает один выстрел из произвольной винтовки.
Пусть А – мишень поражена; В
1
– произведен выстрел из винтовки с
прицелом; В
1
– выстрел из винтовки без прицела. Тогда
5
3
)(
1
BP
,
5
2
)(
2
BP
и по формуле полной вероятности
85,07,0
5
2
95,0
5
3
)/()()/()()(
2211
BAPBPBAPBPAP
.
5. По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность
попадания при первом выстреле р
1
=0,3, при втором р
2
=0,6, при третьем
р
3
=0,8. При одном попадании вероятность поражения цели r
1
=0,4, при двух
попаданиях r
2
=0,7, при трех попаданиях r
3
=1. Вычислить вероятность
поражения цели при трех выстрелах.
Рассмотрим полную группу несовместных событий:
В
1
– было одно попадание;
В
2
– было два попадания;
В
3
– было три попадания;
В
4
– не было ни одного попадания.
Определим вероятность каждого события. По теоремам умножения и
сложения вероятностей будем иметь
332,0)1)(1()1()1()1)(1()(
3213213211
pppppppppBP
.
468,0)1()1()1()(
3213213212
pppppppppBP
.
144,0)(
3213
pppBP
.
056,0)1)(1)(1()(
3214
pppBP
.
Пусть событие А – цель поражена. Выпишем условные вероятности
поражения цели при осуществлении каждого из событий В
1
, В
2
, В
3
, и В
4
.
4,0)/(
1
BAP
,
7,0)/(
2
BAP
,
1)/(
3
BAP
,
0)/(
4
BAP
.
Тогда по формуле полной вероятности
6044,0)/()()/()()/()()/()()(
44332211
BAPBPBAPBPBAPBPBAPBPAP
Формула Байеса
Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий В
1
, В
2
,…В
n
вероятности появления которых
)(
1
BP
,
)(
2
BP
,…,
)(
n
BP
. Событие А может
произойти только вместе с каким-либо из событий В
1
, В
2
,…В
n
, которые будем
называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности
)/()(...)/()()/()()(
2211 nn
BAPBPBAPBPBAPBPAP
.
Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез
)(
1
BP
,
)(
2
BP
,…,
)(
n
BP
. По теореме умножения вероятностей
)/()()/()()(
1111
ABPAPBAPBPABP
,
откуда
)(
)/()(
)/(
11
1
AP
BAPBP
ABP
.
Аналогично, для остальных гипотез
)(
)/()(
)/(
AP
BAPBP
ABP
ii
i
, i=1,2,…,n.
Полученная формула называется формулой Байеса. Здесь Р(А) определяется
формулой полной вероятности.
Примеры. 1. 30% приборов собирает специалист высокой квалификации
и 70% специалист средней квалификации. Надежность работы прибора,
собранного специалистом высокой квалификации, 0,9, надежность прибора,
собранного специалистом средней квалификации, 0,8. Взятый прибор
оказался надежным. Вычислить вероятность того, что он собран
специалистом высокой квалификации.
Событие А – безотказная работа прибора;
В
1
– прибор собран специалистом высокой квалификации;
В
2
– прибор собран специалистом средней квалификации.
Вероятности гипотез равны:
3,0)(
1
BP
,
7,0)(
2
BP
.
Условные вероятности события А равны:
9,0)/(
1
BAP
,
8,0)/(
2
BAP
.
Полная вероятность события А:
83,08,07,09,03,0)( AP
.
Вычислим вероятность гипотезы В
1
при условии, что событие А
произошло
325,0
83,0
9,03,0
)(
)/()(
)/(
11
1
AP
BAPBP
ABP
.
2. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в
цель. Найти вероятность того, что первое орудие попало, если вероятности
попадания в цель каждым из орудий равны р
1
=0,4, р
2
=0,3, р
3
=0,5.
Обозначим события: А – два орудия попали в цель;
В
1
– первое орудие попало в цель;
В
2
– первое орудие не попало в цель.
Вероятности гипотез:
4,0)(
1
BP
,
6,01)(
12
pBP
.
Условные вероятности события А:
5,07,05,05,03,0)1()1()/(
32321
ppppBAP
.
15,05,03,0)/(
322
ppBAP
.
По формуле Байеса
)/()()/()(
)/()(
)(
)/()(
)/(
2211
1111
1
BAPBPBAPBP
BAPBP
AP
BAPBP
ABP
29
20
15,06,05,04,0
5,04,0
.
Формула Бернулли
Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность появления события А одна и та же и равна р, то вероятность
того, что событие А появится в этих n испытаниях k раз, выражается
формулой
knkk
nn
qpCkP
)(
, где q=1-k.
В частности, отсюда Р
n
(0)=q
n
, Р
n
(1)=npq
n-1
, … , Р
n
(n)=p
n
.
Примеры. 1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара,
причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением
следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из
четырех вынутых шаров окажется 2 белых.
Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
3
2
)( AP
,
3
1
)( AP
.
По формуле Бернулли требуемая вероятность
27
8
3
1
3
2
)2(
22
2
44
CP
.
2. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 деталей, будет
не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки
предполагаются одинаковыми.
Вероятность рождения девочки
2
1
p
, тогда
2
1
q
.
Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две
или три девочки:
32
1
)0(
5
5
qP
,
32
5
)1(
411
55
qpCP
,
32
10
)2(
322
55
qpCP
,
32
10
)3(
233
55
qpCP
.
Следовательно, искомая вероятность
16
13
)3()2()1()0(
5555
PPPPP
.
Формула Пуассона
При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой
Бернулли пользоваться неудобно, например, 0,95
1000
вычислить трудно. В
этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n –
велико) событие произойдет k раз используют формулу Пуассона
e
k
kP
k
n
!
)(
,
где λ=np=const – среднее число появлений события в n испытаниях.
Примеры. 1. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих
независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении
времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно
три элемента.
N=1000, p=0,002, λ=np=2, k=3.
Искомая вероятность
18,0
2
2
!3
)3(
2
33
1000
e
eP
.
2. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения
изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше
трех изделий.
n=500, p=0,004, λ=2.
По теореме сложения вероятностей
68,05
!2
4
!1
2
)2()1()0(
2222
500500500
eeeePPPP
.
3. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того,
что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти
вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.
λ=np=1000·0,003=3
)2()1()0(1)2(1)2(
10001000100010001000
PPPkPkP
5678,05,431
333
eee
.
Случайные величины
Случайной называется величина, которая в результате испытания
принимает одно и только одно возможное значение, какое именно заранее
неизвестно.
Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.
Случайная величина называется дискретной, если в результате
испытания она принимает одно из значений х
1
, х
2
, … , х
n
, … с
соответствующей вероятностью р
1
, р
2
, … , р
n
, …
Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать
любое значение из некоторого промежутка.
Например, число студентов на лекции – дискретная случайная величина,
продолжительность лекции – непрерывная.
Закон распределения
дискретной случайной величины
Соответствие между возможными значениями х
k
случайной величины Х
и их вероятностями р
k
называется законом распределения вероятностей
дискретной случайной величины Х.
Закон распределения обычно задается таблицей:
Возможные значения
случайной величины Х
х
1
х
2
… х
n
Вероятности этих
значений Р
р
1
р
2
… р
n
То, что случайная величина Х принимает одно из значений х
1
, х
2
, … , х
n
,
есть достоверное событие и поэтому должно выполняться равенство
1
1
n
k
k
p
(в случае бесконечной
последовательности значений
1
1
k
k
p
).
Закон распределения может быть задан графически в виде
многоугольника распределения вероятностей, т.е. в виде ломаной,
соединяющей точки (х
k
, р
k
).
Примеры. 1. Переменная величина Х есть число очков, выпадающее на
верхней грани игральной кости при ее однократном бросании. Составить
закон распределения этой случайной величины.
Так как любое число очков при однократном бросании кости выпадает с
вероятностью
6
1
P
, то закон распределения случайной величины имеет вид:
Х 1 2 3 4 5 6
Р 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
2. Вероятность попадания при каждом выстреле р=0,8. Имеется три
снаряда. Определить вероятность того, что будет израсходован один снаряд,
два снаряда, три снаряда, если стрельба ведется до первого попадания или
промаха всеми тремя снарядами. Составить таблицу распределения
случайной величины Х – числа израсходованных снарядов.
Пусть Х – число израсходованных снарядов. Обозначим
)(
k
xXP
-
вероятность того, что будет израсходовано х
k
снарядов. Тогда
Р(х=1)=0,8, Р(х=2)=(1-р)р=0,16, Р(х=3)=(1-р)
2
=0,04.
Таблица распределения будет иметь вид
Х 1 2 3
Р 0,8 0,16 0,04
3. Экзаменатор задал студенту 4 дополнительных вопроса. Вероятность
того, что студент ответит на любой заданный вопрос 0,9. Составить закон
распределения случайной величины Х – числа ответов на заданные вопросы.
Используем формулу Бернулли
knkk
nn
qpCkP
)(
. Здесь n=4, р=0,9,
q=0,1.
44
1,0)0( qXP
,
3311
4
1,09,04)1( qpCXP
,
22222
4
1,09,06)2( qpCXP
,
1,09,04)3(
333
4
qpCXP
,
44
9,0)4( pXP
.
Х 0 1 2 3 4
Р 0,0001 0,0036 0,0486 0,2916 0,6561
Числовые характеристики
дискретной случайной величины
Пусть имеем дискретную случайную величину Х с законом
распределения
Х х
1
х
2
… х
n
Р(Х=х
k
) р
1
р
2
… р
n
Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х
называется сумма произведений всех ее возможных значений на их
вероятности
n
k
kknn
pxpxpxpxXM
1
2211
...][
.
Для бесконечной случайной величины:
1
][
k
kk
pxXM
.
Можно показать, что при большом числе испытаний среднее
арифметическое наблюдаемых значений близко к ее математическому
ожиданию.
Математическое ожидание случайной величины Х называется центром
распределения вероятностей случайной величины.
Математическое ожидание обладает следующими свойствами.
1. M[C]=C, где С=const.
2. M[CX]=C·M[X].
3. Для независимых случайных величин Х и У М[XY]= M[X] · M[Y].
4. Для любых случайных величин Х и У М[X+Y]= M[X] + M[Y].
Характеристиками рассеивания возможных значений случайной
величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия
и среднеквадратичное отклонение.
Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание
квадрата отклонения значений величины от ее математического ожидания:
n
k
kk
pXMxXMXMXD
1
22
][][][
.
Дисперсию удобно вычислять по формуле
D[X]= M[X
2
] – (M[X])
2
.
Дисперсия обладает следующими свойствами.
1. D[C]=0, где С=const.
2. D[CX]=C
2
·D[X].
3. Для независимых случайных величин Х и У D[X+Y]= D[X] + D[Y].
В частности, из свойств дисперсии следует, что
D[С+Х]= D[X]
D[X - Y]= D[X] + D[Y].
Среднеквадратичным отклонением случайной величины называется
корень квадратный из ее дисперсии:
][][ XDX
.
Примеры. 1. Случайная величина Х задана следующим законом
распределения:
Х 2 3 4
Р 0,3 0,4 0,3
Найдем ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное
отклонение.
M[X]=2·0,3+3·0,4+4·0,3=3;
D[X]=(2 – 3)
2
·0,3+(3 – 3)
2
·0,4+(4 – 3)
2
·0,3=0,6;
77,06,0][ X
.
2. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее три раза подряд извлекают
шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну. Пусть Х – число
извлеченных белых шаров. Составить закон распределения этой величины,
определить ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное
отклонение.
Вероятность вынуть из урны белый шар р=0,6. Чтобы найти закон
распределения случайной величины Х, воспользуемся формулой Бернулли,
для которой n=3.
064,0)0(
3
qXP
.
288,016,06,03)1(
21
3
pqCXP
.
432,04,036,03)2(
22
3
qpCXP
.
216,0)3(
3
pXP
.
Итак, закон распределения имеет вид
Х 0 1 2 3
Р 0,064 0,288 0,432 0,216
Определим числовые характеристики случайной величины.
M[X]=0,288+0,864+0,648=1,8
D[X]= M[X
2
] – (M[X])
2
=1·0,288+4·0,432+9·0,216 – 3,24=0,72.
85,072,0][ X
.
Биномиальный закон распределения
дискретной случайной величины
Закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может
принимать n+1 значение 0,1,2,…,n, описываемый формулой Бернулли
knkk
nn
qpCkP
)(
, называется биномиальным. Запишем биномиальный закон в виде
таблицы
Х 0 1 2 … n
Р
n
q
11 n
n
pqC
222 n
n
qpC
… p
n
Определим числовые характеристики биномиального распределения.
Пусть Х – число появлений события А в n испытаниях. Если обозначим через
X
k
– число появлений события А в k-ом испытании, то
n
k
kn
XXXXX
1
21
...
.
Закон распределения случайной величины X
k
имеет вид
X
k
0 1
Р q P
Легко видеть, что M[X
k
]=p, D[X
k
]=pq.
Тогда для случайной величины Х
npXMXM
n
k
k
1
][][
.
npqXDXD
n
k
k
1
][][
.
npqX ][
.
Закон распределения Пуассона
дискретной случайной величины
Этот закон определяется формулой Пуассона
e
k
kP
k
n
!
)(
, где λ=np.
Случайная величина Х – число появлений события А в n испытаниях при
большом n и малой вероятности р имеет распределение Пуассона
Х 0 1 2 … n
Р
e
e
!1
e
!2
2
…
e
n
n
!
Можно показать, что для распределения Пуассона
M[X]= D[X]=λ=np.
Функция распределения
непрерывной случайной величины.
Плотность распределения
Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, заданную а некотором
интервале (а, b). Закон распределения вероятностей для такой величины
должен позволять находить вероятность попадания ее значения в любой
интервал (х
1
, х
2
).
Функция распределения непрерывной случайной величины Х называют
функцию F(x), определяющую для каждого значения
),( bax
вероятность
того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е.
)()( xXPxF
.
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1. Как любая вероятность
1)(0 xF
.
2. F(x) – неубывающая функция, т.е. если х
1
< х
2
, то F(x
1
)≤ F(x
2
).
3.
)()()(
1221
xFxFxXxP
.
4. Р(Х= x
1
)=0.
5. Если все возможные значения случайной величины Х находятся на
интервале (а, b), то F(x)=0 при х≤а и F(x)=1 при
bx
.
6.
0)(lim
xF
x
,
1)(lim
xF
x
.
Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х
называют производную от функции распределения:
)()( xFxf
.
Плотность распределения непрерывной случайной величины Х обладает
свойствами:
1. f(x)≥0.
2.
1)(
dxxf
.
3. Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения
случайной величины
x
dxxfxF )()(
.
4.
b
a
dxxfbXaP )()(
.
Примеры. 1. Случайная величина Х задана функцией распределения
.3 при 1
,32 при )2(
,2 при 0
)(
2
x
xx
x
xF
Найти плотность распределения этой случайной величины и вероятность
попадания ее в интервал (1; 2,5).
По определению
.3 при 0
,32 при )2(2
,2 при 0
)()(
x
xx
x
xFxf
Требуемая вероятность будет
4
1
0
4
1
)1()5,2()5,21( FFXP
.
2. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
.2 при 0
,21 при
2
1
,1 при 0
)(
x
xx
x
xf
Найти функцию распределения этой величины.
Воспользуемся формулой
x
dxxfxF )()(
.
Если х≤1, то f(x)=0, следовательно,
00)(
x
dxxF
.