Сивохин А.В. Мещеряков Б.К. Решение задач оптимального управления с использованием matlab и simulink
Подождите немного. Документ загружается.
121
))()(1()()(
211
pKpKpKpK ∗+= , где )(
1
pK – передаточная функция для основного
соединения и
)(
2
pK
– передаточная функция для звеньев обратной связи.
4. Для всех вариантов соединений выбранного набора простейших звеньев
вывести аналитические выражения для вычисления частотных функций этих
соединений, а также их модулей и аргументов, учитывая, что частотная функция
)(
ω
iK соединения равна передаточной функции )( pK того же соединения при
ω
i
p
= .
5. Задать произвольно или с соблюдением некоторых условий значения
параметров звеньев, построить на комплексной плоскости аплитудно-фазовые
характеристики – годографы векторов
)(
ω
iK для всех вариантов соединений, и
оценить их устойчивость используя М-функцию Godograph.
6. Для одного из вариантов соединения простейших звеньев найти
аналитическое выражение для реакции соединения на синусоидальное
возмущающее воздействие и выявить наличие собственных колебаний, а также
возможность возникновения резонанса.
7. С помощью преобразований Лапласа для всех вариантов соединений
выбранного набора простейших
звеньев вывести аналитические выражения для
переходных проводимостей и функций веса этих соединений.
8. Построить имитационные модели для выбранного набора простейших
звеньев и всех вариантов их соединений, произвести их моделирование при
нулевых начальных условиях и отсутствии возмущающих сил, построить графики
выходных величин, используя осциллографы, и оценить устойчивость
соединений, а также характеристики переходного
процесса.
9. Используя построенные имитационные модели, определить реакции
соединений на ступенчатое воздействие и оценить характеристики переходного
процесса.
10. С помощью имитационных моделей соединений и синусоидального
входного сигнала, имеющего переменную частоту, построить амплитудную
характеристику этого соединения.
11. Используя переходную проводимость или функцию веса одного
соединения, рассчитать реакцию соединения на заданный входной сигнал.
12. Оформить
отчет по лабораторной работе, применяя средства
генерирования HTML-описания пакета Simulink и используя результаты работы
имитационных моделей.
4.8 Оформление отчета по результатам исследований
Для завершения лабораторной работы необходимо сгенерировать отчет в
формате HTML, затем преобразовать его в формат RTF с помощью текстового
редактора, включит в него теоретические результаты, отформатировать текст и
графические объекты, записать
на дискету и в электронном виде предъявить
преподавателю. Обосновать достоверность полученных результатов.
122
Лабораторная работа № 5
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТЕЙШИМИ
ЗВЕНЬЯМИ
Цель работы: разработка аналитических моделей для определения
характеристик и нахождения оптимального управления объектами,
состоящими из простейших звеньев, реализация этих моделей в программной
среде математической системы MATLAB и построение имитационных
моделей с помощью пакета Simulink, верификация разработанных моделей и
определение с их использованием характеристик объектов управления, а
также нахождение оптимального управления для обеспечения
изменения
выходной величины на заданное значение за минимальное время.
5.1 Постановка задач исследования
В данной лабораторной работе рассматриваются объекты, движение
которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями с
постоянными коэффициентами, порядок которых не ниже второго. С точки
зрения структуры это – либо отдельные простейшие звенья, либо несложные
соединения таких звеньев. Целью управления является
минимизация времени
изменения выходной величины объекта на заданное значение за счет
рационального выбора ограниченного по модулю управляющего воздействия
U(t). Прежде чем приступить к поиску оптимального управления,
необходимо определить характеристики объекта и провести всесторонние
исследования динамики его поведения при различных возмущающих
воздействиях, в частности оценить устойчивость звена или соединения, так
как только
для устойчивых объектов имеет смысл поиск оптимального
управления. Аналитическое выражение для оптимального управления U(t)
следует искать с помощью функции Гамильтона (гамильтониана) и принципа
максимума Понтрягина. Расчет характеристик переходного процесса должен
производиться с помощью системы MATLAB. Имитационная модель должна
подтвердить расчеты по программе. Необходимо также разработать
имитационную модель для автоматического определения параметров
оптимального
управления и имитационную модель для нахождения
управлений, улучшающих динамические характеристики целевой системы
при оптимальном управлении. Необходимо также с помощью интеграла
Дюамеля рассчитать реакцию системы на оптимальное управляющее
воздействие и проверить это на имитационной модели.
5.2 Разработка аналитических моделей
123
В качестве прототипа рассмотрим объект управления, который
описывается дифференциальным уравнением
u
k
x
x
T
⋅
=
+
⋅
&&&
, (5.1)
где
T и k – положительные постоянные. Данное уравнение характеризует
объект, состоящий из интегрирующего и инерционного звеньев,
соединенных последовательно.
Уравнением (5.1) приближенно описываются многие объекты
управления: маломощные электрические следящие системы постоянного и
переменного тока, двигатели которых управляются электронными
усилителями, некоторые тепловые объекты, у которых регулирующий орган
имеет интегрирующий электрический, гидравлический или пневматический
привод; транспортные механизмы, двигатели
которых управляются
напряжением сети, и т. д.
Требуется найти алгоритм управления, переводящий объект из
положения
0=x
,
0=x
&
при
0
=
t
в положение
x
n
x
=
,
0=x
&
за минимальное
время
2
t
; на управляющее воздействие наложено ограничение
max
uu ≤
.
Определить момент переключения
1
t , оптимальный переходной процесс
()
=tx
r
(
()
tx
1
,
()
tx
2
) и время перехода
2
t . По точкам построить графики
(
)
tx
1
и
()
tx
2
. Для этого интервал времени от 0 до t
1
и интервал от t
1
до t
2
разделить
на 5 равных частей и вычислить значения
(
)
tx
1
и
(
)
tx
2
в соответствующих
точках. В точке
1
tt =
()
tx
1
и
(
)
tx
2
должны рассчитываться дважды по разным
формулам и эти значения должны совпадать.
Прежде чем приступить к поиску оптимального решения, необходимо
оценить характеристики объекта и устойчивость его состояния.
Передаточная и частотная функции объекта имеют вид:
,
)1(
1
)(
+
=
Tpp
pK
(5.2)
.
)1(
1
)(
+
=
ωω
ω
Tii
iK
(5.3)
Функция переходной проводимости объекта находится как решение
дифференциального уравнения (5.1) при толчкообразном внешнем
воздействии
).(1 txxT
=
+
&&&
(5.4)
Используя прямое и обратное преобразование Лапласа, получаем
,)(
T
t
TetTt
−
++−=Λ (5.5)
или
)1()( −+=Λ
−
T
t
eTtt (5.6)
124
Функция веса объекта получается путем дифференцирования функции
переходной проводимости и имеет вид
.1)(
T
t
etW
−
−= (5.7)
Реакция объекта на синусоидальное возмущающее воздействие
определяется путем решения дифференциального уравнения
tAxxT
00
sin
ω
=
+
&&&
(5.8)
и имеет следующее аналитическое выражение:
)).
1
1
1
1
(
2
1
1(
()(
00
00
2
0
22
0
3
2
0
00
titi
T
t
e
T
i
e
T
i
e
Tk
TT
T
A
tx
ωω
ωω
ωω
ω
+
+
+−
−
+
−=
−
−
(5.9)
Рассмотрим порядок вывода этого выражения.
Используя преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях,
получаем
2
0
2
00
2
)()(
ω
ω
+
=⋅+
p
A
pxpTp
. (5.10)
Отсюда находим изображение регулируемой величины
))(1(
)(
2
0
2
00
ω
ω
++
=
pTpp
A
px
. (5.11)
Корни характеристического уравнения легко находятся и равны:
0
1
=
p ;
T
p
1
2
−= ;
03
ω
ip −= ;
01
ω
ip = .
Разложим дробь на простейшие дроби:
00
00
1
0
)))(())(
1
()(0(
1
ωω
ωω
ip
D
ip
C
T
p
B
p
A
ipip
T
pp
−
+
+
+
+
+
−
=
−−−−−−
. (5.12)
Приведя это уравнение к общему знаменателю и отбросив его, получим:
1))(
1
())(
1
()())(
1
(
00
2
0
22
0
2
=+++−++++++
ωωωω
ip
T
pDpip
T
pCppBpp
T
pA
.(5.13)
Подставим в это уравнение корни и найдем коэффициенты разложения:
2
0
ω
T
A =
; (5.14)
2
0
3
1 T
T
B
ω
+
−=
; (5.15)
)
1
(2
1
0
2
0
T
i
D
+
−=
ωω
; (5.16)
125
)
1
(2
1
0
2
0
T
i
C
+−
−=
ωω
. (5.17)
Переходя с помощью таблиц от изображения к оригиналу, получаем следующее
выражение для вынужденных колебаний объекта:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
t
T
t
T
e
T
TT
T
A
tx
T
t
000
2
2
0
2
0
22
0
3
2
0
00
cos
1
sin
)
1
(
1
1
)(
ωωω
ωω
ωω
ω
(5.18)
Теперь необходимо найти алгоритм оптимального управления.
Обозначим:
(
)
(
)
.),()(
121
txtxtxtx
&
=
= Тогда вместо уравнения (5.1)
будем иметь следующую систему дифференциальных уравнений:
(
)
(
)
() ()
⎩
⎨
⎧
⋅=+⋅
=
.
,
22
21
uktxtxT
txtx
&
&
(5.18)
Разделим все члены второго уравнения на T и запишем систему в
следующем виде:
(
)
(
)
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−⋅⋅=
=
.
1
,
22
21
xuk
T
tx
txtx
&
&
(5.19)
Функция Гамильтона для системы двух дифференциальных
уравнений конструируется следующим образом:
()
(
)
(
)
(
)
(
)
utxxftutxxftuxH ,,,,,,,,
21222111
⋅
+
⋅
=
ψ
ψ
ψ
r
r
, (5.20)
где
()
t
1
ψ
и
()
t
2
ψ
- вспомогательные функции,
()
utxxf ,,,
211
и
()
utxxf ,,,
212
- правые части дифференциальных уравнений.
В нашем случае
()
(
)
txutxxf
2211
,,,
=
,
() ()()
txuk
T
utxxf
2212
1
,,, −⋅⋅=
.
Тогда гамильтониан запишется в виде
( ) () () ()()
txuk
T
txtuxH
2221
1
,, −⋅⋅⋅+⋅=
ψψψ
r
r
. (5.21)
Вспомогательные функции
(
)
t
1
ψ
и
(
)
t
2
ψ
должны удовлетворять
следующей системе дифференциальных уравнений:
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
−=
∂
∂
−=
.
,
2
1
1
2
x
H
t
x
H
t
ψ
ψ
&
&
(5.22)
В нашем случае эта система будет иметь вид:
126
(
)
() ()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅+−=
=
.
1
,0
212
1
t
T
tt
t
ψψψ
ψ
&
&
(5.23)
Из первого уравнения следует
(
)
11
ct
=
ψ
, где
1
c - постоянная величина.
Тогда второе уравнения можно записать в виде:
() ()
122
1
ct
T
t −=⋅−
ψψ
&
. (5.24)
Это линейное неоднородное уравнение. Решением линейного
однородного уравнения является функция
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
T
t
c exp
2
, а частное решение
неоднородного уравнения равна константе
3
c . Подставляя эту константу в
дифференциальное уравнение, получим
Tcc
⋅
=
13
, тогда можно записать
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+=
T
t
cTct exp
212
ψ
. (5.25)
Функция Гамильтона примет вид
() ()
[]
txuk
TT
t
cTctxcH
22121
1
exp −⋅⋅⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+⋅+⋅=
. (5.26)
На основании принципа максимума Понтрягина управление
выбирается таким образом, чтобы H принимала наибольшее значение. Для
этого максимальное значение должно принять слагаемое функции H,
которое зависит от управления
u . Обозначим это слагаемое
*
H
. В нашем
случае оно имеет вид
u
T
t
cTc
T
k
H ⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+⋅= exp
21
*
. (5.27)
Величина
*
H
принимает наибольшее значение при
max21
exp u
T
t
cTcsignk ⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+⋅=
. Так как
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+⋅
T
t
T
c
T
t
cTc expexp
2
/
21
, то мы
видим, что производная в нуль не обращается. Поэтому функция
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+⋅
T
t
cTc exp
21
может менять знак не более одного раза. Так как 0>
T
k
, то
max21
*
expmax u
T
t
cTc
T
k
H
Uu
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+⋅=
∈
. (5.28)
Обозначим через
1
t - время переключения управления, через
2
t - время
перехода системы из начальной точки
(
)
0;0
0
=
x
r
в конечную точку
()
0;
1 n
xx
r
.
Оптимальное управление будет таким:
127
⎩
⎨
⎧
≤<−
<≤
=
.при,
,0при,
21max
1max
tttu
ttu
u
(5.29)
График функции представлен на рис 5.1.
Рис 5.1 Оптимальное управление для простейшего звена
Теперь найдем время переключения
1
t , время управления
2
t , а также
()
tx
1
и
()
tx
2
. Решим дифференциальное уравнение (5.1) сначала для
max
uu
=
,
при
1
0 tt <≤ , а затем для
max
uu
−
=
, при
21
ttt
<
≤
.
Пусть
max
uu = . Тогда уравнение (5.1) запишется в виде
max11
ukxxT
⋅
=
+
⋅
&&&
. (5.30)
Это линейное неоднородное уравнение с постоянными
коэффициентами. Соответствующее линейное однородное уравнение имеет
вид:
0
11
=
+
⋅
xxT
&&&
. (5.31)
Характеристическое уравнение
0
2
=
+
⋅
r
r
T
имеет корни 0
1
=
r ,
T
t
r −=
2
. Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅+
T
t
cc exp
54
. Так как нуль является корнем характеристического
уравнения, а правая часть неоднородного уравнения равна константе, то
частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
tc
⋅
6
.
Подставляя эту функцию в неоднородное уравнение, получим
max6
ukc
⋅
=
.
Поэтому общее решение неоднородного уравнения запишется в виде
128
()
.exp
54max1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅++⋅⋅=
T
t
cctuktx
(5.32)
Постоянные интегрирования
4
c и
5
c найдем из начальных условий:
()
00
1
=x ,
()
00
1
=x
&
. В нашем случае
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⋅=
T
t
T
c
uktx exp
5
max1
&
. Тогда будем иметь
следующую систему:
(
)
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−⋅=
=+=
.00
,00
5
max1
541
T
c
ukx
ccx
&
(5.33)
Решая полученную систему, получим
Tukc
⋅
⋅
−
=
max4
, Tukc
⋅
⋅=
max5
. Тогда
при
1
0 tt <≤ :
()
,1exp
maxmax1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅⋅+⋅⋅=
T
t
Tuktuktx
(5.34)
()
.exp
maxmax1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅−⋅=
T
t
ukuktx
&
(5.35)
Теперь решим уравнение (5.1) при
max
uu
−
=
. Решение однородного
уравнения остается без изменения, а частным решением неоднородного
уравнения теперь будет функция
tuk
⋅
⋅
−
max
. Общим решением неоднородного
уравнения является функция
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅++⋅⋅−=
T
t
cctuktx exp
76max1
. (5.36)
Используем условия в конце управления:
(
)
n
xtx
=
21
,
()
0
21
=tx
&
. Так как
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⋅−=
T
t
T
c
uktx exp
7
max1
&
, то получим следующие уравнения
()
n
x
T
t
cctuktx =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅++⋅⋅−=
2
762max21
exp , (5.37)
()
.0exp
2
7
max21
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⋅−=
T
t
T
c
uktx
&
(5.38)
Из последних двух уравнений выразим
6
c и
7
c через неизвестную
2
t .
Имеем
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅−=
T
t
Tukc
2
max7
exp , Tuktukxc
n
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
=
max2max6
. Тогда при
21
ttt
<
≤
будем иметь
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅−+−⋅⋅+=
T
tt
TTttukxtx
n
2
2max1
exp
, (5.39)
129
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅⋅= 1exp
2
max1
T
tt
uktx
&
. (5.40)
Теперь мы имеем две неизвестные
1
t и
2
t . Для их определения
применим метод стыковывания уравнений. В точке
1
tt
=
()
tx
1
, вычисленные
по формулам (5.16) и (5.18), должны совпадать. В этой точке значения
(
)
tx
1
&
,
вычисленные по формулам (5.17) и (5.19), также должны совпадать. Имеем
следующую систему уравнений
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅−⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅−+−⋅⋅+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅⋅+⋅⋅
.1expexp
exp1exp
12
max
1
maxmax
12
12max
1
max1max
T
tt
uk
T
t
ukuk
T
tt
TTttukx
T
t
Tuktuk
n
, (5.41)
В первом уравнении раскроем скобки и приведем подобные члены, а
правую и левую часть второго уравнения разделим на
max
uk ⋅ , получим
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅⋅⋅−⋅⋅+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
.02expexp
,exp2exp2
112
12
max2max
1
max1max
T
t
T
tt
T
tt
Tuktukx
T
t
Tuktuk
n
(5.42)
Перепишем первое уравнение в виде:
2max
112
max1max
2expexp2 tukx
T
t
T
tt
Tuktuk
n
⋅⋅+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
. (5.43)
Так как выражение в скобках равно 0, то из последнего уравнения
находим
max
12
2
uk
x
tt
n
⋅
−=
. (5.44)
Второе уравнение сначала умножим на
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
T
t
1
exp , а вместо
2
t подставим
его найденное значение, получим
01
2
expexp2
max
1
1
=−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
T
uk
x
t
T
t
n
. (5.45)
Обозначим
y
T
t
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
1
exp ,
(
)
1>y . Тогда следует
01exp2
max
2
=−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅
−⋅−
Tuk
x
yy
n
. (5.46)
130
Правую и левую части последнего уравнения умножим на
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅
−
Tuk
x
n
max
exp
, получим 02
maxmax
2
=+⋅−
⋅⋅⋅⋅ Tuk
x
Tuk
x
nn
eyy . Обозначим
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅
=
Tuk
x
z
n
max
exp
,
()
1>z . Тогда уравнение примет вид 02
2
=+⋅− zyzy . Решая квадратное
уравнение, получим
zzzy −−=
2
1
, zzzy −+=
2
2
. Так как 1>z , то
zzzz <−<−
2
1 , а тогда zzzz −<−−<− 1
2
. Прибавим ко всем частям
неравенства
z
, получим 10
2
<−−< zzz . Следовательно, 1
1
<y является
посторонним корнем. Таким образом
zzzy −+=
2
. Произведем расчеты для
заданных исходных данных: T = 0.62; k = 0.0023; U
max
= 220; x
n
= 2.09.
Подставляя эти значения в выражения для z и y, получим:
107.782
62.02200023.0
09.2
exp =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅⋅
=z , (5.47)
714.1563107/782107.782107.782
2
=−+=y . (5.48)
Из уравнения
y
T
t
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
1
exp , находим
()
5600.4714.1563ln62.0ln
1
=
⋅
=
⋅
=
yTt .
Теперь по формуле (5.20) найдем время управления.
9895.4
2200023.0
09.2
5600.42
2
=
⋅
−⋅=t
. Траектория движения точки в фазовом
пространстве
(
)
tx
1
и её скорость
(
)
tx
2
должны рассчитываться по формулам:
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅−+−⋅⋅+
<≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅⋅+⋅⋅
=
.,exp
,0,1exp
21
2
2max
1maxmax
1
tttпри
T
tt
TTttukx
ttпри
T
t
Tuktuk
tx
n
(5.49)
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅⋅
<≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⋅⋅
=
.,1exp
,0,exp1
21
2
max
1max
2
tttпри
T
tt
uk
ttпри
T
t
uk
tx
(5.50)
5.3 Программная реализация аналитических моделей
function RKiw(T)
%
%-- ГРАФИКИ ЧАТОТНОЙ ФУНКЦИИ K(iw):
%
%-- 1.Диапазон частот:
%