Шпаргалки - Физика. Электричество и магнетизм

Подождите немного. Документ загружается.

1. Поток векторного поля через поверхность – это величина

dФ E dS EdS 



, где



- вектор, модуль которого =

а направление совпадает с



. В случае замкнутых поверхностей принято брать направление



наружу. Если имеется

некоторая произвольная поверхность, то поток вектора



сквозь нее:

Ф EdS





. Из того факта, что векторы



складываются геометрически следует, что их потоки через заданную поверхность складываются алгебраечески.

2. Потенциал, единицы измерения. Потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии пробного

единичного положительного заряда в данной точке поля:

1 2

Edl

 

 





. Потенциалу какой-либо произвольной точки О

поля можно условно приписать любое значение



. Тогда потенциалы всех других точек поля определяются однозначно.

Единицей измерения потенциала является Вольт (В).

3. Связь потенциала и напряженности электрического поля.

1 2

Edl d Edl

  

    



 

dl idx jdy kdz  

 

. Пусть

перемещение



происходит вдоль оси Ох (аналогично вдоль Оу и Оz):

Edl Eidx E dx 



 



, ,

x y

E E

x y

 

 

  

 

E E i j k grad

z x y z

   

 

 

   

       

 

   

 



 

4. Потенциал точечного заряда, шара, сферы. Точечный:

1 2

Edl d Edl e dl

  



      



  

 



0 0

4 4

q dr q

d C

r r

 

 

  

 

 





  

, С, как не играющую физической роли, можно опустить. Сфера:

 

0 0

dq q

r R r d k k

R R



 

   

 

 

2 2

0 0 0 0

1 1 1

: 4

4 4 4

r r

q q q q

r R r Edr EdS E dS E r E dr

r r r

 

   

 

 

         

 

 

   





Шар:

   

3 2

3 3 3 3

0 0 0 0 0

0 0

4 4 2 4

r r

вн

r q rq rq r q

r R r E r dr EdS E dr

R R R R



       

 

        

 



 

  





 

0 0

: 4

q q

r R r Edr EdS E dS E r E

 

 



 

        

 

 

  





0 0

1 1

4 4

q q

r r

 



 



5. Электрический диполь – это система двух одинаковых по модулю разноименных точечных зарядов, находящихся на

некотором расстоянии друг от друга. Когда говорят о поле диполя, то предполагают, что сам диполь – точечный

r l

Поле диполя обладает осевой симметрией, поэтому его картина в любой плоскости, проходящей через его ось, одинакова



лежит в этой плоскости:

 

4 3

E e

r r

 





6. Электрический момент диполя – это вектор направленный по оси диполя от отрицательного заряда к

положительному:

p ql



7. Особенности электрического поля в проводнике: Основная особенность – электрическое поле внутри проводника

отсутствует:

0.E 



Следовательно, исходя из



 



проводник являет собой эквипотенциальную область.

8. Общая задача электростатики. Уравнения Пуассона и Лапласа. Задача электростатики – определение характеристик

электрического поля по известному распределению зарядов в пространстве



. Уравнение Пуассона:

2 2 2

2 2

2 2 2

0 0

, ,E E i j k

x y z

 

  

 

  

            

  



 

оператор Лапласа. Уравнение Лапласа: то же уравнение

Пуассона, но для случая, если между проводниками нет зарядов:



 

9. Теорема о единственности. Метод изображений. Теорема о единственности: Общая задача электростатики имеет

единственное решение. Доказательство: если решение не одно, то будет не единственное распределение потенциала, а,

следовательно, в каждой точке поле



- неоднозначно, а это абсурд. Метод изображений: задача об электрическом поле

зарядов, расположенных по одну сторону от проводящей плоскости сводится к отысканию электрических изображений

этих зарядов в этой поверхности (таких зарядов, которые будут порождать такое же поле, как и индуцированные в

поверхности заряды).

10. Емкость – это величина





 

.C Ф

Емкость уединенного проводящего шара:

R R

E dr dr





 

  

 

4 .

C R



  

11. Емкость плоского конденсатора.

0 0 0

, .

q qh q

E U Eh C

S S U h





  

      

где

– расстояние между обкладками.

12. Емкость батареи конденсаторов с параллельным соединением.

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

q qq

q q q C C C

     

       

  

13. Емкость батареи конденсаторов с последовательным соединением.

1 2

,q q q 

   

1 3 1 2 2 3

     

    

1 3

 

 

1 2

 

 

2 3

 

 

1 2 1 2

1 1 1

q q q

C C C C C C

     

14. Закон Кулона: Сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей эти

заряды, пропорциональна их величинам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Она является

силой притяжения, если знаки зарядов разные, и силой отталкивания, если эти знаки одинаковы:

1 2

, 9 10 .

q q м

F k e k

r Ф



   



15. Напряженность электрического поля, единицы измерения. Напряженность – это векторная характеристика поля, по

модулю равная силе, действующей на пробный единичный положительный неподвижный заряд:

, 9 10 .

q м

E q F k e k

r Ф





    

 



16. Принцип суперпозиции:

i ri

E E e



 

 

 



17. Геометрическое представление электрического поля. Для наглядного изображения электрических полей пользуются

силовыми линиями. Силовая линия – это математическая линия направление касательной в каждой точке совпадает с

направлением вектора



. За положительное направление силовой линии условлено считать направление самого вектора



. Густота линий на плоскости пропорциональна модулю вектора



18. Физические и математические поля. Если каждой точке пространства в соответствие поставлена некоторая точка

 

, ,x y z

, то поле называется математическим. Если каждой точке пространства в соответствие поставлена некоторая

функция

 

, ,x y z



, то поле называется математическим.

19. Дифференциирование полей.

 

, ,S x y z 

скалярное поле,

 

, ,V x y z 



векторное поле. Оператор Набла:

i j k

x y z

  

  

  



 

Дифференцирование поля – это умножение оператора Набла слева на поле:

S S S

S i j k

x y z

  

   

  



 

20. Градиент, дивергенция, ротор. Градиент в общем случае:

grad .

S S S

S S i j k

x y z

  

   

  



 

Градиент для

электростатического поля:

.E grad







Дивиргенция в общем случае:

div .

x z

V V

x y z



   

  

  

Дивиргенция для

электростатического поля – это плотность потока проходящего через бесконечно малую поверхность, окружающую точку:

div lim .

E EdS









 



Ротор в общем случае:

rot .

x y z

i j k

V V

x y z

V V V

  

 

  

 

  



 

  

В случае электростатического поля модуль

ротора указывает на завихрения в данной точке:

rot lim .

E n Edl









 





21. Теорема Остроградского-Гаусса: Интеграл по объему от дивиргенции замкнутого поля равен полному потоку через

замкнутую поверхность:

div .

V S

EdV EdS

 



 



22. Теорема Стокса: Интегральный поток ротора векторного поля через произвольную поверхность равен циркуляции

этого поля вдоль контура, на которую натянута эта поверхность:

rot .

S L

EdS Edl

 



 



23. Теорема Гаусса для напряженности электростатического поля: Полный поток через замкнутую поверхность равен

алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности деленной на



EdS











24. Теорема о циркуляции вектора



: Линейный интеграл

Edl





численно равен работе сил поля по перемещению

единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. Циркуляция – это линейный интеграл по замкнутому пути:

.Edl







Теорема о циркуляции вектора



: Циркуляция в любом электростатическом поле равна нулю:

0.Edl 







25.

26. Диэлектрик в электрическом поле. Диэлектриками называют вещества практически не проводящие электрического

поля (в них нет зарядов, способных перемещаться на значительные расстояния). Под действием внешнего электрического

поля происходит поляризация диэлектрика: если диэлектрик состоит из неполярных молекул, то в пределах каждой

молекулы происходит смещение зарядов – положительных по полю, отрицательных против поля. Если же диэлектрик

состоит из полярных молекул, то под действием внешнего поля дипольные моменты ориентируются преимущественно в

направлении внешнего поля. В следствие этого на диэлектрик начинает действовать сила или, например, увеличивается

емкость конденсатора, при заполнении его диэлектриком.

27. Поляризация диэлектрика. Для однородного изотропного диэлектрика вектор поляризации



пропорционален

вектору напряженности внешнего поля:

P E







, где



- диэлектрическая восприимчивость. Другое выражение:

P p









, где



- дипольный момент i-ой молекулы в этом объеме.

Кл

 



 



28. Связанные и сторонние заряды в диэлектрике. Нескомпенсированные заряды, появляющиеся в результате

поляризации диэлектрика называются поляризационными или связанными (они входят в состав молекул и могут

перемещаться лишь внутри них). Заряды, которые не входят в состав молекул диэлектрика называют сторонними или

свободными.

29. Диэлектрическая восприимчивость, диэлектрическая проницаемость. Диэлектрическая восприимчивость

 

 



диэлектрическая проницаемость



- это безразмерные величины, характеризующие индивидуальные свойства

диэлектрика. Связь между ними:

 

 

30. Теорема Гаусса для вектора поляризации диэлектрика: поток вектора



через произвольную замкнутую поверхность

S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью

внутр

PdS q











31. Вектор диэлектрического смещения. Теорему Гаусса для поля



можно записать так:

 

0 . . 0 . 0 .ст внутр внутр ст внутр ст внутр ст внутр

внутр

EdS q q q q q PdS EdS PdS q E P dS q

  

 

           

    

   

     

    

. Обозначим

вектор электрического смещения:

 

0 0 0 0 0

1D E P D E E E E

     

       



      

32. Теорема Гаусса для вектора электрического смещения: поток вектора



через произвольную замкнутую

поверхность S равен стороннему заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью S:

.ст внутр

DdS q







33. Граничные условия для вектора



внутр осн

q S



 



внутр

PdS q











 

1 2 1 2

1 2 2 1 1 2

осн осн бок осн осн

осн осн осн осн осн осн осн осн осн

S S S S S S

PdS PdS PdS PdS PdS PdS P S P S S P P P P





           

     

     

     

То есть нормальная составляющая вектора поляризации на границе раздела двух диэлектриков претерпевает скачок

равный поверхностной плотности нескомпенсированного заряда.

34. Граничные условия для вектора



1 2

0Edl E E

 

  







22 2 2

1 2 1 1 2 2

1 1 1

tg tg

n n

E E E E



 



  

 

  

     

35. Граничные условия для вектора



. .

ст внутр ст внутр осн

q S







.ст внутр

DdS q







 

1 2 1 2

1 2 2 1 2 1 .

осн осн бок осн осн

осн осн осн осн осн осн осн осн осн ст внутр

S S S S S S

DdS DdS DdS DdS DdS DdS D S D S S D D D D



           

     

     

     

То есть нормальная составляющая вектора смещения на границе раздела двух диэлектриков претерпевает скачок равный

поверхностной плотности стороннего заряда, заключенного внутри поверхности.

36. Энергия системы точечных зарядов. Рассмотрим для системы из трех зарядов, а затем обобщим для большего

количества:

1 1 2

1 2 3 1 2 2 12 2

12 12

1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 31 2 1 2 1 2 2

12 13 23 12 13 23 12 13 23 12 13

, 0,

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

kq q q

W A A A A A q q k

r r

q q q q q q q q q q q q q

q q q q q q q

W k k k k k k k k k q k k

r r r r r r r r r r r

q k



       

         

             

         

         



1 1 2

3 1 1 2 2 3 3 1 2 3

12 13 23

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

q q q

k q k k q q q W W W обобщим W W

r r r

  

   

          

   

   



37. Энергия в объеме с распределенным зарядом. Если заряды распределены непрерывно, то переходим от

суммирования к интегрированию:

1 1

2 2

W dq dV

 

 

 

. В данном случае



- это потенциал создаваемый всеми

зарядами системы в элементе объемом

38. Собственная энергия, энергия взаимодействия. Каждый заряд, взятый в отдельности, обладает электрической

энергией, которая называется собственной энергией заряда и представляет собой энергию взаимного отталкивания частей,

на которые его можно мысленно разбить. Энергия взаимодействия – это суммарная потенциальная энергия, с которой

взаимодействуют заряды в системе. Полная энергия электрического поля, создаваемого двумя заряженными телами, равна

сумме собственных энергий этих тел и энергии их взаимодействия:

1 2соб соб вз

W W W W  

39. Энергия конденсатора.

     

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

qU CU q

W q q q q q q U

     

           

         

Это полная

энергия!!!

40. Постоянный электрический ток – это упорядоченный перенос заряда через ту или иную поверхность S (например,

через сечение проводника). Носителями тока в проводящей среде есть электроны (в металлах), ионы (в электролитах) или

другие частицы (например, дырки).

41. Сила тока, плотность тока, их связь. Сила тока численно равна заряду, переносимому через единицу площади за

единицу времени:

 

, .

I I A

 

Плотность тока – это вектор, модуль которого численно равен отношению силы тока

через элементарную площадку, расположенную в данной точке перпендикулярно направлению движения носителей,

к ее площади





. Связь:

I jdS







42. Уравнение непрерывности. Заряд, выходящий за единицу времени наружу из объема

, охватываемого

поверхностью

, равен убыли заряда в единицу времени внутри объема

jdS









. По сути это закон сохранения

электрического заряда. Для постоянного тока, распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным, т.е.

0 0.

jdS

  







43. Закон Ома для однородного проводника в интегральном и дифференциальном виде. Экспериментально открытый:

сила тока, протекающего по однородному проводнику пропорциональна разности потенциалов на его концах:



дифференциальной форме:

j E E





 

 



, где



– удельное электрическое сопротивление,



– удельная электрическая

проводимость. В интегральном виде:

0 0 0, 0 0.jdS EdS EdS EdS

  

       

   

   

  



   

Т.е. избыточный заряд

внутри проводника равен нулю.

44. Закон Ома для неоднородного проводника в интегральном и дифференциальном виде. В дифференциальной форме:

 

j E E





 

 



, где





– напряженность поля сторонних сил. В интегральном виде:

 

2 2 2

1 1 1

1 2 12

2 2 2 2

1 2 12

1 1 1 1

, ,

j E E jdl Edl E dl jdl Edl E dl

jdl I RI Edl E dl

  

  

    

  





       



   





    





  

   

     

  



  

 



45. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей. Первое: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю:

I 



Второе: алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого

контура на их сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:

k k j

I R





 

46. Магнитное поле в вакууме. Магнитное поле – это поле, создаваемое движущимися зарядами и действующее только

на движущиеся заряды с силой Лоренца:

F qE q vB

 

 

 

  



. Замечание: магнитная сила



скорости заряда, а потому работы

над зарядом не совершает.

47. Магнитная индукция – это вектор, направленный перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы



, не

зависящий от величины заряда и его движения и характеризующий только магнитное поле, который равен:

 

0 0

3 2

, ,

q vr

B vE B Тл

r c



 



 

 

 

    

 





 



с – электродинамическая постоянная, равная скорости света в вакууме. Если

магнитное поле создается системой зарядов:

B B



 

48. Сила Лоренца – это сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся заряд и равная:

F qE q vB

 

 

 

  



Последнее выражение можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей.

49. Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитное поле постоянного электрического тока в некотором объеме:

jr dV





 

 

 



, а если ток течет по тонкому проводнику:

I dlr





 

 

 



Следовательно:

jr dV





 

 







и,

соответственно:

I dlr





 

 









50. Теорема Гаусса для магнитной индукции: Поток вектора



сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

0.BdS 







Следствие: поток вектора



сквозь поверхность

, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не

зависит от формы поверхности.

51. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции: Циркуляция вектора



по произвольному контуру





равна

произведению



на алгебраическую сумму токов, охватываемую контуром:

Bdl I













52. Сила Ампера – это сила, действующая на ток в магнитном поле. Закон Ампера:

dF jB dV

 



 

 



, а если ток течет по

тонкому проводнику:

.dF I dlB

 



 



 

Именно под действием силы Ампера проводники с одинаково направленными токами

притягиваются, а с противоположно направленными – отталкиваются.

53. Момент сил, действующих на контур с током. По определению, результирующий момент амперовых сил:

 

, громоздкие рассчеты ,

M r dF p B

   

  

   



 



где



- магнитный момент контура с током (для плоского контура

p ISn

 

). Когда

p B M   

 



- это устойчивое положение, а если

p B M   

 



- это неустойчивое положение.