Семестровая работа по электротехнике
Подождите немного. Документ загружается.
Исходные данные для расчёта:
Схема 20, n=1, k=6
Согласно варианту задания получим схему (рис.1):
R
1
= 220 Ом
R
2
= 120 Ом
R
3
= 90 Ом
R
4
= 300 Ом
R
5
= 140 Ом
R
6
= 240 Ом
E
1
= 46 В
E
3
= 16 В
J
6
= 1 А
Задание:
1) Составить уравнение по законам Кирхгофа для расчёта токов во всех ветвях.
2) Рассчитать токи во всех ветвях методом контурных токов.
3) Рассчитать токи во всех ветвях методом узловых потенциалов.
4) Результаты расчёта по п.2 и 3 сравнить между собой.
5) Проверить баланс мощностей.
Решение:
Схема содержит 4 узла, 6 ветвей, 2 источника напряжения и 1 источник тока.
Занумерованы узлы 1, 2, 3, 4 (рис.1).
Зададим положительные направления токов во всех ветвях (рис.1).
Обозначит токи ветвей I
1,
I
2,
I
3,
I
4,
I
5,
I
6
.
1) Расчёт токов с применением законов Кирхгофа:
По 1-ому закону Кирхгофа:
I
1
+ I
2
+ I
5
= 0 уз.1
I
3
+ I
4
- I
5
= 0 уз.2
- I
1
- I
3
- I
6
- J
6
= 0 уз.3
По 2-ому закону Кирхгофа:
- R
2
I
2
+ R
4
I
4
+ R
5
I
5
= 0 1 контур
R
3
I
3
- R
4
I
4
– R
6
I
6
= E
3
2 контур
R
1
I
1
- R
2
I
2
– R
6
I
6
= E
1
3 контур
Матрица для расчётов токов в общем виде:
I
1
I
1
I
1
I
1
I
1
I
1
своб.
член
1 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 -1 0 0
-1 0 -1 0 0 -1 J
6
0 -R
2
0 R
4
R
5
0 0
0 0 R
3
- R
4
0 - R
6
E
3
R
1
- R
2
0 0 0 - R
6
E
1
Матрица для расчёта токов с коэффициентами:
1 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 -1 0 0
-1 0 -1 0 0 -1 1
0 -120 0 300 140 0 0
0 0 90 -300 0 -240 18
220 -120 0 0 0 -240 46
В результате расчёта получим значения токов:
I
1
= - 0,140 А
I
2
= 0,315 А
I
3
=- 0,382 А
I
4
= 0,207 А
I
5
= - 0,175 А
I
6
= - 0,478 А
2) Расчёт токов с методом контурных токов:
Преобразуем источник тока J
6
в источник направления E
6
по правилу:
E
6
= J
6
* R
6
= 1 * 240 = 240 В
Получаем схему (рис.2):
Выберем контурные точку:
I
1
(к)
, I
2
(к)
, I
3
(к)
Запишем контурные уравнения в общем виде:
I
1
(к)
(R
2
+ R
4
+ R
5
) – R
4
I
2
(к)
+ R
2
I
3
(к)
= 0
I
2
(к)
(R
3
+ R
4
+ R
6
) – R
4
I
1
(к)
+ R
6
I
3
(к)
= E
3
- E
6
I
3
(к)
(R
1
+ R
2
+ R
6
) – R
2
I
1
(к)
+ R
6
I
2
(к)
= E
1
- E
6
В матричной форме в общем виде:
I
1
(к)
I
2
(к)
I
3
(к)
своб.
член
R
2
+ R
4
+ R
5
- R
4
R
2
0
-R
4
R
3
+ R
4
+ R
6
R
6
E
3
- E
6
R
2
R
6
R
1
+ R
2
+ R
6
E
1
- E
6
Подставим исходные данные:
560 -300 120 0
-300 630 240 -222
120 240 580 -193
После расчёта получим значения контурных швов:
I
1
(к)
= - 0,175 A
I
2
(к)
= - 0,382 A
I
3
(к)
= - 0,140 A
По этим контурным точкам определим токи ветвей (рис.2):
I
1
= I
3
(к)
= - 0,140 A
I
2
= - (I
3
(к)
+ I
3
(к)
) = - (- 0,175 - 0,140) = 0,315 A
I
3
= I
2
(к)
= - 0,382 A
I
4
= I
1
(к)
– I
2
(к)
= - 0,175 + 0,382 = 0,207 A
I
5
= I
1
(к)
= - 0,175 A
I’
6
= - (I
2
(к)
+ I
3
(к)
) = 0,382 + 0,140 = 0,522 A
Перейдём к заданной схеме (рис.1) и найдём ток в сопротивлении R
6
по 1-ому закону Кирхгофа:
I’
6
= I
6
+J
6
откуда:
I
6
= I’
6
- J
6
= 0,522 - 1 = - 0,478 A
Получение значения токов совпадает с рассчитанными по законом Кирхгофа.
3) Расчёт токов методом условных потенциалов:
Преобразуем источник напряжения исходной схемы (рис.1) в источник тока по правилу:
J
1
= E
1
/ R
1
= 46 / 220 = 0,209 A
J
3
= E
3
/ R
3
= 18 / 90 = 0,2 A
Получаем схему (рис.3):
Пусть потенциал узла 4 равен 0:
φ
4
= 0
Тогда для остальных узлов получим уравнения:
φ
1
(G
1
+ G
2
+ G
5
) – φ
2
G
5
+ φ
3
G
1
= - J
1
φ
2
(G
3
+ G
4
+ G
5
) – φ
1
G
5
- φ
3
G
3
= - J
3
φ
3
(G
1
+ G
3
+ G
6
) – φ
1
G
1
- φ
2
G
3
= J
1
+ J
3
+ J
6
Матричная форма:
φ
1
φ
2
φ
3
своб.
член
G
1
+ G
2
+ G
5
-G
5
-G
1
-J
1
-G
5
G
3
+ G
4
+ G
5
-G
3
-J
3
-G
1
-G
3
G
1
+ G
3
+ G
6
J
1
+ J
3
+ J
6
Рассчитаем элементы этой матрицы:
G
1
= 1 / R
1
= 1 / 220 = 4,54*10
-3
см.
G
2
= 1 / R
2
= 1 / 120 = 8,33*10
-3
см.
G
3
= 1 / R
3
= 1 / 90 = 11,11*10
-3
см.
G
4
= 1 / R
4
= 1 / 300 = 3,33*10
-3
см.
G
5
= 1 / R
5
= 1 / 140 = 7,14*10
-3
см.
G
6
= 1 / R
6
= 1 / 240 = 4,17*10
-3
см.
G
1
+ G
2
+ G
5
= (4,54 + 8,33 + 7,14)*10
-3
= 20,01*10
-3
см.
G
3
+ G
4
+ G
5
= (11,11 + 3,33 + 7,14)*10
-3
= 21,58*10
-3
см.
G
1
+ G
3
+ G
6
= (4,54 + 11,11 + 4,17)*10
-3
= 19,82*10
-3
см.
J
1
+ J
2
+ J
5
= 0,209 + 0,2 + 1 = 1,409 A
Получаем матрицу для расчёта:
20,01*10
-3
-7,14*10
-3
-4,54*10
-3
-0,209
-7,14*10
-3
21,58*10
-3
-11,11*10
-3
-0,2
-4,54*10
-3
-11,11*10
-3
19,82*10
-3
1,409
Рассчитав её, получим значение потенциалов узлов:
φ
1
= 37,78 B
φ
2
= 62,25 B
φ
3
= 114,64 B
По этим потенциалам определим токи ветвей для рис.3:
I’
1
= (φ
1
– φ
3
) / R
1
= (37,78 – 114,64) / 220 = - 0,349 A
I
2
= φ
1
/ R
2
= 37,78 / 120 = 0,315 A
I’
3
= (φ
2
– φ
3
) / R
3
= (62,25 – 114,64) / 90 = - 0,582 A
I
4
= φ
2
/ R
4
= 62,25 / 300 = 0,207 A
I
5
= (φ
1
– φ
2
) / R
5
= (37,78 – 62,25) / 140 = - 0,175 A
I
6
= - φ
2
/ R
6
= - 114,64 / 240 = 0,478 A
Токи в ветвях исходной схемы (рис.1):
I
1
= I’
1
+ J
1
= - 0,349 + 0,209 = - 0,140 A
I
3
= I’
3
+ J
3
= - 0,582 + 0,2 = - 0,382 A
Полученные значения токов совпадают с рассчитанными ранее.
4) Сравнение результатов рассчитанных токов ветвей разными методами:
Токи ветвей в А I
1
I
2
I
3
I
4
I
5
I
6
Метод на основе
законов Кирхгофа
-0,140 0,315 -0,382 0,207 -0,175 -0,478
Метод контурных
токов
-0,140 0,315 -0,382 0,207 -0,175 -0,478
Метод узловых
потенциалов
-0,140 0,315 -0,382 0,207 -0,175 -0,478
5) Сравнение баланса мощностей:
Мощность, потребляемая всеми приемниками:
P
пр
= I
1
2
R
1
+ I
2
2
R
2
+ I
3
2
R
3
+ I
4
2
R
4
+ I
5
2
R
5
+ I
6
2
R
6
=
= (-0,140)
2
*220 + 0,315
2
*120 + (-0,382)
2
*90 + 0,207
2
*300 + (-0,175)
2
*140 + (-0,478)
2
*240 =
= 4,312 + 11,907 + 13,133 + 12,855 + 4,287 + 54,836 = 101,33 Вт
Мощность источников напряжения:
P
ин
= E
1
I
1
+ E
3
I
3
= 46*(-0,140) + 18*(-0,382) = -6,44 - 6,876 = -13,316 Вт
Мощность источника тока:
P
ит
= J
6
U
34
= J
6
(-I
6
R
6
) = 1*0,478*240 = 114,72 Вт
Суммарная мощность источников:
P
ист
= P
ин
+ P
ит
= -13,316 + 114,72 = 101,404 Вт
т.е.
P
пр
≈ P
ист
Баланс мощностей выполняется.