Семенов В.В. Математическое моделирование транспортного потока на нерегулируемом пересечении

Подождите немного. Документ загружается.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2008 г., том 20, номер 10, стр.14-22

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСПОРТНОГО ПОТОКА

НА НЕРЕГУЛИРУЕМОМ ПЕРЕСЕЧЕНИИ

 2008 г. В.В. Семенов

Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты N

05-01-00852, N

07-01-00618)

Описан новый подход к моделированию транспортных потоков и проведен обзор послед-

них работ в этой области. Построена и исследована аналитическая модель обслуживания с

двумя очередями для транспортных потоков на нерегулируемом пересечении со случайной

дисциплиной обслуживания. Приведены результаты численных экспериментов, которые

сопоставлены с результатами имитационного моделирования. Отмечены перспективные

направления дальнейших исследований.

MATHEMATICAL MODELLING OF UNREGULATED MOTOR-ROAD INTERSECTION

V.V. Semyonov

Keldysh Institute for Applied Mathematics, Moscow

The new traﬃc ﬂow modelling approach and the survey of latest works in this area are presented.

Two-queue model with stochastic service discipline for the traﬃc ﬂow at unregulated motor-road

intersection is investigated. The modelling numerical and simulation data are compared. The

new perspective questions to be investigated are speciﬁed.

1. Введение

В [1] приведены результаты анализа основных подходов к моделированию транспорт-

ных потоков (ТП), выявлены их ограничения и сделана попытка сформулировать основные

положения нового подхода. Последние результаты исследований позволяют уточнить и раз-

вить ряд ключевых положений нашей работы.

Новая парадигма [1] логически следует из посылок немецкого и американского ис-

следователей Б. Кернера [2] и К.Ф. Даганзо [3]. Первый утверждает, что функциональной

зависимости (фундаментальной диаграммы (ФД)) между плотностью и интенсивностью

ТП для средних величин плотностей не существует. Даганзо предлагает совсем отказаться

от рассмотрения ФД и перейти к изучению сужений и очередей.

Очевидно, формулировку идеи нового подхода можно усилить. Ранее транспортные

потоки (в терминологии ФД) изучались в ”прямом направлении” – рассматривался переход

от пустых дорог к заполненным и переполненным. Затор считался нежелательным (недо-

пустимым) состоянием ТП. Мы предлагаем исследовать динамику транспортных потоков в

обратном направлении – от затора, постулируя затор как исходное (допустимое) состояние

транспортного потока. Объектом исследования становится сам затор и процесс перехода от

затора к движению, а минимальной моделью не отдельные машины в ТП и не сам ТП, а

очередь из машин.

При таком подходе возникает два направления исследований:

1. Поведение очередей в потоке – ”очередь в потоке”.

2. Поведение машин в очереди – ”машина в очереди”.

Модели ”машина в потоке” к настоящему времени хорошо изучены. Модели ”очередь в

потоке” и ”машина в очереди” пока не изучались и с такой точки зрения не рассматривались.

Эти вопросы необходимо исследовать.

Математическое моделирование транспортного потока на нерегулируемом пересечении 15

2. Теория очередей

В теории транспортных потоков часто возникает ситуация ограниченности ресурса.

Самым распространенным примером является нерегулируемое пересечение дорог, а также

участки сужения. В этом случае ограниченным ресурсом является участок пересечения

(сужения), и два потока автомобилей конкурируют за доступ к этому ресурсу. Изучением

подобных ситуаций занимается теория массового обслуживания (ТМО). Как было показано

в ряде последних исследований (например, Вандэйла (Vandaele) [4], Ван Воэнсела, Кретена

и Вандэйла [5]), модели ТМО позволяют получать хорошие результаты при моделирова-

нии плотных транспортных потоков. Методы СМО успешно использовались и в работах

российских исследователей [6]-[9] для изучения конфликтных транспортных потоков, про-

езжающих через регулируемый перекресток.

При использовании методов ТМО для анализа ТП участок дороги делится на сег-

менты, длина которых выбирается из расчета минимально необходимого пространства для

размещения на дороге одного транспортного средства (рис. 1).

Очередь Обслуживающий прибор

Рис. 1. Представление модели с помощью ТМО

Участок транспортной сети с нерегулируемым пересечением в ТМО можно рассмат-

ривать как систему массового обслуживания (СМО) с двумя очередями и одним обслужива-

ющим прибором (сервером). СМО с нескольким очередями называется системой поллинга

(системой с циклическим опросом).

Для построения модели проезда транспортных средств через нерегулируемое пересе-

чение необходимо определить следующие характеристики: тип модели, порядок обслужи-

вания, дисциплину обслуживания.

По типу модель дискретная, поскольку число очередей и число мест для ожидания ко-

нечно. Порядок обслуживания очередей – циклический, поскольку транспортные средства

проезжают некоторым образом через пересечение с обеих дорог.

Дисциплины обслуживания очередей подразделяются на детерминированные и сто-

хастические. В нашем случае пересечение нерегулируемое, следовательно, порядок проезда

случайный. Дисциплина обслуживания является самым важным параметром. Остановимся

на нем подробнее. При случайной дисциплине число заявок, которое может быть обслуже-

но в очереди (число автомобилей одной полосы, которые могут проехать через перекресток

друг за другом), определяется значением дискретной случайной величины. К настоящему

времени исследованы системы поллинга со следующими случайными дисциплинами:

1. Биномиальная, при которой случайная величина имеет биномиальное распределе-

ние.

2. Дисциплина Бернулли, при которой первая заявка в очереди обслуживается с веро-

ятностью 1, а каждая последующая с вероятностью p. С противоположной вероят-

ностью 1 − p обслуживание очереди прекращается.

Подробная классификация дисциплин обслуживания приведена в [10]. Мы построим

модель с новой стохастической дисциплиной обслуживания.

16 В.В. Семенов

3. Математическая модель

Предположим, что при проезде через пересечение первая дорога является приори-

тетной (рис. 2). Обычно такая ситуация возникает при въезде на трассы.

Рис. 2. Представление модели с помощью ТМО

Место пересечения является ограниченным ресурсом (пропускная способность пере-

сечения конечна), к которому получают доступ автомобили двух дорог. Полагаем также,

что на дороге могут уместиться конечное число автомобилей, M – на первой дороге, N –

на второй.

При заданных ограничениях предполагаем, что транспортный поток может вести

себя следующим образом:

• первая дорога является приоритетной, то есть, если автомобили этой дороги проез-

жают через пересечение, то автомобили второй могут проехать лишь тогда, когда

возле пересечения нет автомобилей из первой дороги (в терминах ТМО первая по-

лоса представляет собой очередь с исчерпывающим обслуживанием).

• если первая (приоритетная) дорога пуста, а вторая заполнена, через пересечение

проезжают машины со второй дороги, второй очереди в модели СМО.

• если начался проезд через пересечение автомобилей со второй дороги, а на пер-

вой дороге появились автомобили, то каждая следующая машина со второй дороги

проезжает через пересечение с вероятностью p

,гдеm – число машин на первой

(приоритетной) дороге.

Таким образом, число автомобилей, проехавших с каждой из очередей (дорог) через

сужение, случайно и для второй очереди зависит от длины первой.

Введем следующие обозначения:

• λ

,λ

– интенсивности поступления автомобилей на первой и второй дорогах, соот-

ветственно. (Обозначим при этом λ = λ

+ λ

);

• μ

,μ

– интенсивности проезда через пересечение автомобилей с первой и второй

дорог соответственно.

Для описания состояний системы в произвольный момент времени рассмотрим набор

трех параметров (i, m, n),гдеi – номер дороги, автомобили которой проезжают через пере-

сечение, m – число автомобилей на первой (приоритетной) дороге и n – число автомобилей

на второй дороге.

Математическое моделирование транспортного потока на нерегулируемом пересечении 17

Предположим, что система функционирует в стационарном режиме, то есть веро-

ятности состояний системы не зависят от времени и от начальных условий. Система, в

которой такой режим существует, за конечное время переходит в стационарный режим

функционирования.

Введем стационарные вероятности состояний системы. Пусть π

(m, n) – стационарная

вероятность того, что система находится в состоянии (i, m, n).

4. Уравнения равновесия

Для состояния, когда на дорогах нет автомобилей, будем опускать индекс i, поскольку

автомобили не проезжают через пересечение и ни одна из дорог не имеет к нему доступа.

Интенсивность λ выхода системы из состояния (0, 0) равна интенсивности входа в это

состояние (см. рис. 3).

0, 01, 1, 0 2, 0, 1

Рис. 3. Граф перехода системы из состояния (0, 0).

Заметим, что перейти в состояние (0, 0) можно лишь из состояний (1, 1, 0) и (2, 0, 1)

за счет обслуживания заявки:

λπ(0, 0) = μ

(1, 0) + μ

(0, 1). (1)

Интенсивность выхода из состояния, в котором на первой полосе находится m машин,

а на второй – n, а система далее продолжает обслуживать первую очередь (проезд через пе-

ресечение продолжают автомобили из первой, приоритетной дороги), равна (λ+μ

)π

(m, n).

Она может уравновешиваться следующими интенсивностями входа в это состояние:

• в первую очередь могла поступить одна заявка (к сужению подъехать один автомо-

биль) – λ

(m − 1,n),

• во вторую очередь могла поступить одна заявка на обслуживание:

(m, n − 1),

• в первой очереди могла обслужиться одна заявка: μ

(m +1,n),

• могла обслужиться одна заявка из второй очереди. А так как система продолжает

обслуживать первую очередь, то после обслуживания заявки из второй очереди дол-

жен произойти отказ от обслуживания второй очереди: μ

(1 − p

). Таким образом,

общая величина интенсивности равна μ

(1 − p

)π

(m, n +1),m >0.

Более наглядно рассуждения можно представить в виде графа переходов (рис. 4).

Следовательно, второе уравнение равновесия имеет вид

(λ

{m<M }

+ λ

{n<N }

+ μ

)π

(m, n)=

= λ

(m − 1,n)I

{m>1}

+ λ

(m, n − 1)I

{n>0}

+ μ

(m +1,n)I

{m<M }

+ μ

(1 − p

)π

(m, n +1)I

{n<N }

, (2)

m =

1,M,n = 0,N,

18 В.В. Семенов

1, m, n

2, m, n+1

1, m+1, n 1, m-1, n

1, m, n-1

(1-p )

Рис. 4. Граф перехода системы из состояния (1,m,n).

где I

– функция-индикатор выражения A, I



1, если A верно;

0, в противном случае.

Используя аналогичные рассуждения, получаем оставшиеся уравнения равновесия:

(λ + μ

)π

(1, 0) = λ

π(0, 0) + μ

(2, 0) + μ

(1, 1), (3)

(λ + μ

)π

(0, 1) = λ

π(0, 0) + μ

(1, 1) + μ

(0, 2), (4)

(λ

{m<M }

+ λ

{n<N }

+ μ

)π

(m, n)=λ

(m − 1,n)I

{m>0}

+ (5)

+ λ

(m, n − 1)I

{n>1}

+ μ

(1,n)I

{m=0}

+ μ

(m, n +1)I

{n<N }

m =

0,M,n = 1,N.

Систему уравнений равновесия решаем численно с добавлением условия нормировки



m=1



n=0

(m, n)+



m=0



n=1

(m, n)=1.

С помощью стационарных вероятностей π

(m, n), i = 1, 2, можно найти следующие

характеристики:

• Средние длины очередей:



m=1



n=0

mπ

(m, n),L



m=0



n=1

nπ

(m, n).

• Вероятность не застать мест для ожидания в очереди



n=0

(M,n),P



m=0

(m, N ).

• Среднее время ожидания в очереди

(1 − P

)

,i=

1, 2.

Последнее равенство получено с помощью формулы Литтла L

,где

–

интенсивность поступления заявок в i-ю очередь. Поскольку число мест для ожи-

дания ограничено, эта интенсивность определяется через вероятность того, что по-

ступающая в очередь заявка застанет в ней свободное место для ожидания, то есть

= λ

(1 − P

Математическое моделирование транспортного потока на нерегулируемом пересечении 19

5. Результаты численного и имитационного моделирования

Проверку численных значений, полученных с помощью аналитической модели, про-

ведем с помощью имитационной модели. Имитационная модель создана на языке GPSS

на основе описания, приведенного в разделе 3. Имитационные эксперименты с моделью

проведены в среде GPSS World Student Version 4.3.5.

В табл.1, 2 приведено сравнение результатов численных экспериментов с аналитиче-

ской и имитационной моделью для следующих параметров:

• Длина буфера – 15.

• Значения загрузки для симметричных очередей (табл.1): ρ =0, 6 (ρ

= ρ

=0, 3),

для несимметричных очередей (табл.2): ρ =0, 4 (ρ

=0, 1, ρ

=0, 3).

• Интенсивность поступления заявок (транспортных средств) в очереди для симмет-

ричного случая (табл. 1) λ

= λ

=0, 833 и λ

=0, 279, λ

=0, 833 для несиммет-

ричных очередей (табл.2).

• Интенсивность обслуживания в обоих случаях (табл.1 и 2): μ

= μ

=2, 78.

Таблица 1

Результаты численного моделирования для симметричных очередей

Средние длины очередей

Первая очередь Вторая очередь

Вероятность Аналитическая Имитационная Δ,% Аналитическая Имитационная Δ,%

0 0, 556 0, 559 −0, 537 0, 939 1, 012 −7, 213

0, 1

0, 56 0, 558 0, 358 0, 926 0, 982 −5, 703

0, 25 0, 569 0, 578 −1, 557 0, 926 0, 971 −4, 634

0, 5

0, 589 0, 609 −3, 284 0, 906 0, 93 −2, 581

0, 75 0, 625 0, 678 −7, 817 0, 87 0, 873 −0, 344

0, 85 0, 651 0, 722 −9, 834 0, 844 0, 836 0, 957

0, 9

0, 67 0, 738 −9, 214 0, 825 0, 819 0, 733

1 0, 748 0, 791 −5, 436 0, 748 0, 754 −0, 796

Кроме того, были проведены численные расчеты параметров при фиксированной ин-

тенсивности поступления в систему транспортных средств на второй дороге λ

=0, 833 и

изменении интенсивностей поступления транспортных средств на первой (приоритетной)

дороге: 0,001, 0,279, 0,557, 0,833, 1,113, 1,391, 1,669, и наоборот – при фиксированном зна-

чении λ

=0, 833 и том же наборе интенсивностей для второй дороги.

На рис. 5–7 приведены графики зависимости средней длины очереди на первой, при-

оритетной дороге (L

) и второстепенной примыкающей дороге (L

) от вероятности p при

трех значениях λ

Таблица 2

Результаты численного моделирования для несимметричных очередей

Средние длины очередей

Первая очередь Вторая очередь

Вероятность Аналитическая Имитационная Δ,% Аналитическая Имитационная Δ,%

0, 145 0, 146 −0, 688 0, 522 0, 538 −2, 974

0, 1 0, 146 0, 147 −0, 423 0, 521 0, 539 −3, 411

0, 25

0, 149 0, 153 −2, 724 0, 518 0, 525 −1, 302

0, 5 0, 154 0, 152 1, 538 0, 5123 0, 523 −1, 978

0, 75

0, 163 0, 162 0, 652 0, 504 0, 507 −0, 604

0, 85 0, 168 0, 167 0, 850 0, 499 0, 5 −0, 285

0, 9

0, 172 0, 174 −1, 205 0, 495 0, 503 −1, 573

1 0, 183 0, 177 3, 079 0, 485 0, 494 −1, 914

20 В.В. Семенов

Рис.5. Зависимость средней длины очередей

от вероятности при λ

=0.14

Рис.6. Зависимость средней длины очередей

от вероятности при λ

=0.83

Рис.7. Зависимость средней длины очередей от вероятности при λ

=1.67%

Более интересными представляются зависимости средних длин очередей от λ

при

фиксированных значениях вероятности p =0, 5 и интенсивности λ

=0, 83 (рис.8), а также

от λ

при фиксированных значениях p =0, 5 и λ

=0, 83 (рис.9).

Поскольку система является несимметричной, т.е. автомобили первой дороги облада-

ют приоритетным преимуществом на проезд через пересечение по сравнению с автомо-

билями второй дороги, рост интенсивности движения на первой (приоритетной) дороге

практически не вызывает образование и рост очереди на главной дороге. Иными словами,

увеличение интенсивности поступления транспортных средств на первой (приоритетной)

дороге практически не влияет на очередь, тогда как рост интенсивности на второй (второ-

степенной) дороге приводит к образованию очереди и быстрому ее увеличению при значе-

ниях загрузки ρ, близких к единице, т.е. к предельному значению пропускной способности.

Математическое моделирование транспортного потока на нерегулируемом пересечении 21

Рис.8. Зависимость средней длины очередей

от интенсивности λ

при P =0.5

Рис.9. Зависимость средней длины очередей

от интенсивности λ

при P =0.5

Заметим, что в Москве подобную ситуацию можно часто наблюдать на нерегулируемых

участках въезда на МКАД.

Кроме того, результаты моделирования подтверждаются эмпирическими наблюде-

ниями зарубежных специалистов, говорящих о том, что переход от свободного потока к

насыщенному может случаться и спонтанно, и очень быстро. Часто это случается около

наклонных въездов на автомагистраль, когда происходит внезапное увеличение числа ав-

томобилей на дороге, что может превращать поток в ”движущееся желе” [11].

Заключение

В рамках нового подхода (см. [1, 12]) построена аналитическая модель образования

очереди на нерегулируемом пересечении. Предложенная и исследованная в данной работе

модель с двумя очередями имеет новую, неисследованную ранее стохастическую дисципли-

ну, которая позволяет описать особенности поведения водителей транспортных средств на

нерегулируемом пересечении в условиях высокой интенсивности движения. Модель позво-

ляет найти средние длины очередей и средние времена ожидания.

Кроме новизны аналитической модели и ее использования, в рамках нового автор-

ского подхода к исследованию транспортных потоков в условиях переполненных дорог но-

вым является и применение моделей массового обслуживания с двумя очередями в теории

транспортных потоков для описания водительского поведения и образования заторов на

нерегулируемых пересечениях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.В. Семенов, Ю.С. Мурашковский. О новом подходе к моделированию транспортных потоков

// Нелинейный мир, 2007 (представлена к опубликованию).

2. B.S. Kerner. Three-Phase Traﬃc Theory and Highway Capacity, Physica A, 2004, v.333, p.379-440.

3. C.F. Daganzo. Remarks on Traﬃc Flow Modeling and its Applications // Traﬃc and Mobility,

Proc. Traﬃc and Mobility Simulation, Economics and Environment Conference (Brilon, Huber,

Schreckenberg and Wallentowitz, eds.), New York, 1999, p.105-115.

4. N. Vandaele, T. Van Woensel, A. Verbruggen. A queueing based traﬃc ﬂow model, Transportation

Research-D: Transport and environment, 2000, v.5, N

2, p.121-135.

5. T. Van Woensel, R. Creten and N. Vandaele. Managing the environmental externalities of traﬃc

logistics: the issue of emissions, POM journal special issue, 2001, v.10, N

2, p.207-223.

22 В.В. Семенов

6. Н.В. Литвак, М.А. Федоткин. Вероятностная модель адаптивного управления транспортом

с учетом правил дорожного движения и психологии водителей. Деп. в ВИНИТИ N

13-В98,

1998, с.1–58.

7. Н.В. Литвак, М.А. Федоткин. Предельные свойства адаптивного управления транспортом с

учетом правил дорожного движения и психологии водителей. Деп. в ВИНИТИ N

1636-В98,

1998, с.1–51.

8. М.А. Федоткин. Оптимальное управление конфликтными потоками и маркированные точеч-

ные процессы с выделенной дискретной компонентой // Литовский математический сборник.

1988, N

28, с.783-794.

9. Н.В. Литвак, М.А. Федоткин. Вероятностная модель адаптивного управления конфликтны-

ми потоками // Автоматика и телемеханика, 2000, N

5, c.67-76.

10. H. Levy, M. Sidi, O.J. Boxma. Dominance relations in polling systems // Queueing Systems, 1990,

v.6, N

2, p.155-171.

11. Studying the ebb and ﬂow of stop-and-go; Los Alamos Lab using cold war tools to scrutinize traﬃc

patterns Alan cypress Washington post staﬀ writer, Thursday, August 5, 1999.

12. В.В. Семенов. Смена парадигмы в теории транспортных потоков, Препринт N

46 Института

прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2006.

Поступила в редакцию 25.06.2007.