Семенкин Е.С. Методы оптимизации. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
где
∑
=
′′
+
′′
=
′′
m
j
nnjjnnmnn
yyyyxxyyyyxFxxyyyyxL
1
1111111
),...,,...,,()(),...,,,...,,())(),...,(,,...,,,...,,( ϕλλλ
.
Функция L(x,y
1
,y
2
,…,y
n
,y
1
′
,…,y
n
′
,λ
1
(x),…,λ
m
(x)) называется функцией
Лагранжа, а λ
j
(x) множителями Лагранжа.
Для того чтобы применить необходимые условия экстремума в
поставленной задаче надо выполнить следующие действия.
1. Составить функцию Лагранжа.
2. Записать систему уравнений Эйлера для функции Лагранжа и
условия связи
niL
dx
d
L
ii
yy
,...2,1,0 ==−
′
,
,,...,2,1,0))(),...,(),(),...,(,(
11
mjxyxyxyxyx
nnj
==
′
′
ϕ
3. Найти общее решение системы уравнений Эйлера.
4. Определить постоянные C
1
,…,C
2n
из граничных условий, решая
систему
y
i
(x
0
, C
1
,…, C
2n
) = y
i0
, i = 1,2,…,n,
y
i
(x
1
, C
1
,…, C
2n
) = y
i0
, i = 1,2,…,n,
и выражения для множителей Лагранжа λ
j
(x), j = 1,2,…,m.
В результате получить экстремали
)(),...,(),(
**
2
*
1
xyxyxy
n
, на которых может
достигаться экстремум функционала.
Пример 1. Найти экстремали функционала
,2)1(,)1(,0)0(,1)0(
,)2(),(
1
2
1
121
1
0
2
2
2
1
2
121
−−
−=+===
′
+
′
+=
∫
eeyeeyyy
dxyyyyyJ
удовлетворяющие дифференциальной связи y
1
′
- y
2
= 0.
Составим функцию Лагранжа
).)((2))(,,,,,(
21
2
2
2
1
2
12121
yyxyyyxyyyyxL −
′
+
′
+
′
+=
′′
λλ
Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи
.0
,02)(
,0)(42
21
2
11
22
11
=−
′
=
′′
−−=−
=
′
−
′′
−=−
′
′
yy
yxL
dx
d
L
xyyL
dx
d
L
yy
yy
λ
λ
Найдем общее решение системы и определим постоянные из
граничных условий
.0,1,1,0
,2)2()1(,)()()1(
,0)0(,1)0(
,)()()(
,)()()(
,02
4321
11
3212
11
43211
34212311
4342212
43211
11
)4(
1
====
−=−+=+=+++=
=−++==+=
−−+++=
+++=
=+
′′
−
−−−−
−
−
CCCC
eeeCeCCyeeeCCeCCy
CCCCyCCy
exCCCeCxCCxy
exCCexCCxy
yyy
xx
xx
В результате получим экстремали
.)1()(,)(
*
2
*
1
xxxx
eexxyexexy
−−
−+=+=
3.3. Задачи на условный экстремум с интегральными связями.
Изопериметрические задачи
Рассмотрим множество M допустимых функций y
1
(x), y
2
(x),…,y
n
(x),
непрерывно дифференцируемых на отрезке [ x
0
, x
1
], удовлетворяющих
граничным условиям y
i
(x
0
) = y
i0
, y
i
(x
1
) = y
i1
, i = 1,2,…,n и интегральным связям
∫
==
′′
1
0
,,...2,1,))(),...,(),(),...,(,(
11
x
x
jnnj
mjBdxxyxyxyxyxF
где функции
))(),...,(),(),...,(,(
11
xyxyxyxyxF
nnj
′
′
непрерывно дифференцируемы по
всем переменным, B
j
заданные числа.
На множестве M задан функционал
∫
′′
=
1
0
))(),...,(),(),...,(,())(),...(),((
1121
x
x
nnn
dxxyxyxyxyxFxyxyxyJ ,
где подынтегральная функция имеет непрерывные частные производные до
второго порядка включительно по всем переменным.
Среди допустимых функций требуется найти функции
)(),...,(),(
**
2
*
1
xyxyxy
n
, на которых функционал достигает экстремума.
Поставленная задача относится к задачам поиска условного
экстремума, так как кроме граничных условий на искомые функции
наложены дополнительные условия.
Искомые экстремали в этом случае удовлетворяют системе уравнений
Эйлера, niL
dx
d
L
ii
yy
,...2,1,0 ==−
′
, составленной для функционала
∫
′′
=
1
0
),...,,,...,,,...,,(),...,,(
11121
x
x
mnnn
dxyyyyxLyyyJ λλ
где
∑
=
′′
+
′′
=
′′
m
j
nnjjnnmnn
yyyyxFyyyyxFyyyyxL
1
1111111
),...,,...,,(),...,,,...,,(),...,,,...,,,...,,( λλλ
Для того чтобы применить необходимые условия экстремума в
поставленной задаче надо выполнить следующие действия.
1. Составить функцию Лагранжа.
2. Записать систему уравнений Эйлера для функции Лагранжа и
условия связи
niL
dx
d
L
ii
yy
,...2,1,0 ==−
′
,
∫
==
′′
1
0
.,...,2,1,),...,,,...,,(
11
x
x
jnnj
mjBdxyyyyxF
3. Найти общее решение системы уравнений Эйлера.
4. Определить постоянные C
1
,…,C
2n
из граничных условий, решая
систему
y
i
(x
0
, C
1
,…, C
2n
) = y
i0
, i = 1,2,…,n,
y
i
(x
1
, C
1
,…, C
2n
) = y
i0
, i = 1,2,…,n,
и выражения для множителей Лагранжа λ
j
, j = 1,2,…,m.
В результате получить экстремали
)(),...,(),(
**
2
*
1
xyxyxy
n
, на которых может
достигаться экстремум функционала.
Пример 1. Найти экстремаль функционала
,5)1(,0)0(,)())((
1
0
2
∫
==
′
= yydxxyxyJ
удовлетворяющую интегральной связи
∫
=
1
0
.1)( dxxxy
Составим функцию Лагранжа L(x,y,y
′
,λ) = y
′
2
+ λxy.
Запишем уравнение Эйлера и уравнение связи
∫
=
=
′′
−=−
′
1
0
.1)(
,02
dxxxy
yxF
dx
d
F
yy
λ
Найдем общее решение уравнения Эйлера и выражение для λ
.60,0,0
,1
2360
,5
12
)1(,0)0(
.1
2360
)
2360
()
12
(
,
12
)(,
2
)(
21
21
212
1
0
21
1
0
2
2
3
1
5
21
3
21
3
===
=++=++===
=++=++=++
++==
′′
∫
λ
λλ
λλλ
λλ
CC
CC
CCyCy
CCx
C
x
C
x
dxCxC
x
x
CxC
x
xy
x
xy
В результате получим экстремаль y
*
(x) = 5x
3
.
Глава 5. Задачи оптимального управления
1. Постановка задачи
Переход управляемого объекта из одного состояния в другое может
быть осуществлен различными способами. Возникает вопрос о выборе такого
пути, который с некоторой точки зрения окажется наиболее выгодным.
Будем рассматривать объект, состояние которого в фиксированный
момент времени описывается набором из n чисел x
1
,x
2
,…x
n
- фазовых
координат. Состояние объекта в каждый момент времени можно изобразить
точкой n- мерного фазового пространства R
n
.
Движение объекта проявляется в том, что его фазовые координаты
меняются с течением времени. При движении объекта фазовая точка x(t) =
(x
1
(t),x
2
(t),…,x
n
(t)) описывает в фазовом пространстве кривую – фазовую
траекторию.
Движение объекта происходит не самопроизвольно, им можно
управлять. Для этого объект снабжен “рулями “, положение которых
характеризуется в каждый момент времени r числами u
1
,u
2
,…,u
r
,
называемыми управляющими параметрами, которые образуют вектор
управления u = (u
1
,u
2
,…,u
r
). Исходя из реальных обстоятельств
рассматриваемой задачи, существует множество допустимых управлений U,
r
RUtu ⊂∈)(
.
Поведение модели объекта описывается дифференциальным
уравнением
x
′
(t) = f(t,x(t),u(t)),
где x(t)- вектор состояния системы x(t) = (x
1
(t),x
2
(t),…,x
n
(t)), u(t) - вектор
управления u(t) = (u
1
(t),u
2
(t),…,u
r
(t)), f(t,x(t),u(t))- непрерывная, вместе со
своими частными производными, вектор-функция f(t,x(t),u(t)) = (f
1
(t,x(t),u(t)),
f
2
(t,x(t),u(t)),…, f
n
(t,x(t),u(t))), t принадлежит промежутку времени
функционирования системы [t
0
,t
1
].
Для решения задач оптимального управления разработан принцип
максимума.
Если управление u
*
(t) и соответствующая ему траектория x
*
(t)
оптимальны, то найдется такая вектор – функция
T
n
tttt ))(...,),(),(()(
21
ψψψψ =
,
что:
1. в каждой точке непрерывности управления u
*
(t) функция
)),(),(,(
*
utxttH ψ
достигает максимума по управлению, то есть
)),(),(),(,()),(),(,(
***
max
tutxttHutxttH
Uu
ψψ =
∈
где ),,(),,(),,,(
0
1
uxtfuxtfuxtH
n
j
jj
−=
∑
=
ψψ ;
2. выполняется условие трансверсальности:
∑
=
=+−
n
j
jj
xtttHtF
1
1111
0)()()( δψδδ .
3. функции x
*
(t), Ψ(t) удовлетворяет системе уравнений
)),(),(,(
))(),(),(,(
)(
*
**
**
tutxtf
tutxttH
t
j
i
j
x
=
∂
∂
=
•
ψ
ψ
njxtx
j
j
,1,)(
00
*
==
nj
x
tutxttH
t
j
j
,1,
))(),(),(,(
)(
**
=
∂
∂
−=
•
ψ
ψ .
Функции )(...,),(
1
tt
n
ψψ называются вспомогательными переменными,
H(t, Ψ, x, u) –гамильтонианом.
Для применения принципа максимума надо:
1. Составить гамильтониан ),,(),,(),,,(
0
1
uxtfuxtfuxtH
n
j
jj
−=
∑
=
ψψ .
2. Найти структуру оптимального управления u
*
(t) из условия
максимума гамильтониана по управлению.
3. Составить систему дифференциальных уравнений с заданными в
задаче условиями.
4. Из условия трансверсальности получить недостающие условия для
уравнений составленной системы.
5. Решить двухточечную краевую задачу для системы канонических
уравнений. В итоге определяются x
*
(t), u
*
(t), на которых может достигаться
экстремум функционала.
2. Примеры решения задач оптимального управления
2.1. Задачи с фиксированными концами
Пример 1. Даны модель объекта управления
RuRxxxtutx ∈∈===
•
,,
2
1
)1(,0)0(),()(
и функционал
min)(
1
0
22
→+=
∫
dtxuJ
.
Найти оптимальную пару x
*
(t), u
*
(t).
В этом примере f(t, x, u)=u, f
0
(f, x, u)=u
2
+x
2
, F(t
1
, x(t
1
))=0. Решается
задача Лагранжа. Составляем гамильтониан H(t, Ψ, x, u)=Ψu-u
2
-x
2
. Находим
максимум гамильтониана по управлению:
02),,,(,
2
)(
)(,02)(),,,(
2
2
*
<−=
∂
∂
==−=
∂
∂
uxtH
u
t
tuutuxtH
u
ψ
ψ
ψψ
.
Необходимое и достаточное условия максимума выполнены. Выпишем
систему уравнений:
xuxtH
x
t
xx
t
tut
x
2),,,()(
2
1
)1(,0)0(,
2
)(
)()(
*
=
∂
∂
−=
====
•
•
ψψ
ψ
Так как задача с фиксированными концами, то все необходимые
краевые условия имеются. Решаем полученную двухточечную краевую
задачу:
)1(2
)(
)(,
)1(2
)(
)(
)1(2
,,
2
1
)1(
,0)0(,)(
2
*
2
*
2
112
1
21
2121
−
+
=
−
−
=
−
=−==+=
=+=+=
−−
−
−
e
eee
tu
e
eee
tx
e
e
CCCeCeCx
CCxeCeCtx
tttt
tt
Пример 2. Даны модель объекта управления
RuRxxx
xxtutx
xxtxtx
T
∈∈=
===
===
•
•
,),(
,0)2(,1)0(),()(
,0)2(,1)0(),()(
2
21
222
1121
где
и функционал J=
∫
→
2
0
2
.min)(
2
1
dttu
В этом примере f
1
(t, x, u)=x
2
, f
2
(t, x, u)=u, f
0
(f, x, u)=
2
1
u
2
, F(t
1
, x)=0.
Решается задача Лагранжа. Составляем гамильтониан:
H(t, Ψ, x, u)=Ψ
1
x
2
+Ψ
2
u-
2
1
u
2
.
Находим максимум гамильтониана по управлению:
01),,,(),()(,0)(),,,(
2
2
2
*
2
<−=
∂
∂
==−=
∂
∂
uxtH
u
ttuutuxtH
u
ψψψψ
.
Необходимое и достаточное условия максимума выполнены.
Выписываем систему дифференциальных уравнений:
).(),,,()(
,0),,,()(
,0)2(,1)0(),()()(
,0)2(,1)0(),()(
1
2
*
2
1
*
1
2222
1121
tuxtH
x
t
uxtH
x
t
xxttutx
xxtxtx
ψψψ
ψψ
ψ
−=
∂
∂
−=
=
∂
∂
−=
====
===
•
•
•
•
Так как задача с фиксированными концами, то все необходимые
краевые условия имеются. Решаем полученную двухточечную краевую
задачу:
.
26
)(,
2
)(
,)(,)cos()(
43
2
2
3
1
132
2
1
2
21211
CtC
tCtC
txCtC
tC
tx
CtCtCtt
+++−=++−=
+−=== ψψ
Из краевых условий находим постоянные C
1
, C
2
, C
3
, C
4
:
.022)2(,1)0(
,022
3
4
)2(,1)0(
321232
4321141
=++−===
=+++−===
CCCxCx
CCCCxCx
Получим C
1
=-3, C
2
=
2
7
− .
.
2
7
3)(,1
2
7
2
3
)(,1
4
7
2
1
)(
*2*
2
23*
1
−=+−=++−= ttutttxttttx
Найти оптимальное управление.
1. )(tux =
•
, x(0)=0, x(1)=
4
1
, J=
min)2(
1
0
2
→+
∫
dtxu
, ответ
−=
−=
4
1
42
*
2
*
tu
tt
x
.
2. )(tux =
•
+x, x(0)=0, x(1)=2, J= min
1
0
2
→
∫
dtu , ответ
−
=
−
−
=
−
−
−
−
t
tt
e
ee
u
ee
ee
x
1
*
1
*
4
)(
2
.
3. )(tux =
•
, x(1)=0, x(2)=1, J=
min)4(
2
1
2
→−
∫
dtxu
, ответ
+−=
−+−=
42
34
*
2*
tu
ttx
.
4. )(tux =
•
, x(0)=0, x(2)=1, J= min)13(
2
0
2
→++
∫
dtхu , ответ
−=
−=
1
2
3
4
3
*
2*
tu
ttx
.
5. )(tux =
•
+x, x(0)=0, x(1)=1, J=
( )
min2
1
0
22
→++
∫
dtххu
, ответ
−
−
+
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−tt
е
e
e
ее
е
е
е
u
е
ее
е
e
е
x
1
2
1
12
1
1
2
1
12
2
2
2
*
2
2
2
*
2.2. Задача со свободным концом
Пример 1. Даны модель объекта управления
RuRxxtutxtx ∈∈=+=
•
,,0)0(),()()(
и функционал
J=
.min)1()(
1
0
2
→−
∫
xdttu
Найти оптимальную пару x
*
(t), u
*
(t). В этом примере:
f(t, x, u)=x+u, f
0
(t, x, u)=u
2
, F(t, x)=-x.
Решается задача Больца. Составляем гамильтониан:
H(t, Ψ, x, u)=Ψ(x+u)- u
2
.
Находим максимум гамильтониана по управлению:
02),,,(,
2
)(
)(,02)(),,,(
2
2
*
<−=
∂
∂
==−=
∂
∂
uxtH
u
t
tuutuxtH
u
ψ
ψ
ψψ
.
Необходимое и достаточное условия выполнены. Выписываем систему
дифференциальных уравнений:
x
•
(t)=x(t)+u
*
(t)=x(t)+
2
)(t
ψ
, x(0)=0, )(t
•
ψ =-
x
∂
∂
H(t, Ψ, x, u)=-Ψ(t).
Для решения системы необходимо еще одно краевое условие. Находим
его из условия трансверсальности:
δF(t
1
)-H(t
1
)δt
1
+
∑
=
n
j
jj
xt
1
1
)( δψ
=0.
F(t
1
, x)=-x, δF=-δx, t
1
=1, δt
1
=0.
Ограничений на x(t
1
) не наложено, поэтому δx произвольна. В
результате получим:
(Ψ(t
1
)-1)δx=0, Ψ(1)-1=0, Ψ(1)=1.
Решаем полученную двухточечную краевую задачу:
2
)(
)()(
t
txtx
ψ
+=
•
, x(0)=0,
•
ψ (t)=-Ψ(t), Ψ(1)=1.
Ψ(t)=C
1
e
-t
, 1=C
1
e
-t
, C
1
=e, Ψ(t)=e
1-t
,
2
)()(
1 t
e
txtx
−
•
=−
.
Решим неоднородное дифференциальное уравнение. Общее решение
соответствующего однородного уравнения x
0
(t)=Ce
t
, частное решение
неоднородного
t
e
e
tx
−
−=
4
)(
~
. Тогда x(t)=x
0
(t)+
tt
e
e
Cetx
−
−=
4
)(
~
. x(0)=c-
4
e
=0, c=
4
e
.
Получим x
*
(t)=
4
1
(e
1+t
-e
1-t
), u
*
(t)=
2
1
e
1-t
.
Пример 2. Даны модель объекта управления
)()(
2
1
txtx =
•
, )()()(
1
2
tutxtx +−=
•
, x
1
(0)=0, x
2
(0)=0,
1≤u
, (x
1
, x
2
)
T
∈R
2
и функционал J=x
2
(2π)→min.
Найти оптимальную пару x
*
(t), u
*
(t). В этом примере на управление
наложено ограничение:
1≤u . f
0
(t, x, u)=0, f
1
(t, x, u)=x
2
, f
2
(t, x, u)=-x
1
+u, F(t
1
, x)=x
2
.
Решается задача Майера. Составляем гамильтониан:
H(t, Ψ, x, u)=Ψ
1
x
2
+Ψ
2
(-x
1
+u).
Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как имеются
ограниченные на управление, то ищется условный максимум гамильтониана
по управлению. В данной задаче гамильтониан лишен по u на заданном
отрезке изменения управления [-1, 1], поэтому оптимальное управление
имеет вид: u
*
(t)=sign(Ψ
2
(t))=
<−
>
0,1
0)(,1
2
2
ψ
ψ t
.
Величина управления определяется знаком функции Ψ
2
(t). Выписываем
каноническое уравнение принципа максимума:
)(
1
tx
•
=x
2
(t), x
1
(0)=0,
)(
2
tx
•
=-x
1
(t)+u
*
(t)=-x
1
(t)+sign(Ψ
2
(t)), x
2
(0)=0,
)(
1
t
•
ψ =-
1
x∂
∂
H(t, Ψ, x, u)=Ψ
2
(t),
)(
2
t
•
ψ =-
2
x∂
∂
H(t, Ψ, x, u)=-Ψ
1
(t).
Для решения системы необходимо еще два краевых условия. Найдем
их из условия трансверсальности: δF(t
1
)-H(t
1
)δt
1
+ 0)(
1
1
=
∑
=
n
j
jj
xt δψ .
F(t
1
, x)=x
2
, δF=δx
2
, t
1
=2π, δt
2
=0, ограничений на x
1
(t), x
2
(t) не наложено,
поэтому вариации δx
2
, δx
1
произвольные. В результате получим:
δx
2
(t
1
)+Ψ
1
(t
1
)δx
1
(t
1
)+Ψ
2
(t
1
)δx
2
(t
1
)=0, или δx
2
(t
1
)(1+Ψ
2
(t
1
))+δx
1
(t
1
)Ψ
1
(t
1
)=0.
Чтобы равенство выполнялось для любых вариациях, необходимо,
чтобы выполнились условия 1+Ψ
2
(t
1
)=0 и Ψ
1
(t
1
)=0, или Ψ
2
(2π)=-1, Ψ
1
(2π)=0.
Решаем двухточечную краевую задачу:
)(
1
tx
•
=x
2
(t), x
1
(0)=0,
)(
2
tx
•
=-x
1
(t)+sign(Ψ
2
(t)), x
2
(0)=0,
)(
1
t
•
ψ =Ψ
2
(t), Ψ
1
(2π)=0,
)(
2
t
•
ψ =-Ψ
1
(t), Ψ
2
(2π)=-1.
Получим Ψ
1
(t)=-sin(t), Ψ
2
(t)=-cos(t), u
*
(t)=sign(-cos(t)). Найденное
оптимальное уравнение u
*
(t) на интервале [0, 2π] имеет две точки
переключения и, следовательно, три интервала знакопостоянства:
при 0
2
π
<≤ t , u
*
=-1, x
1
*
=cos(t)-1, x
2
*
=-sin(t);
при
2
3
2
π
π
<≤ t
, u
*
=1, x
1
*
=cos(t)-2sin(t)+1, x
2
*
=-sin(t)-2cos(t);
при π
π
2
2
3
<≤ t , u
*
=-1, x
1
*
=cos(t)-4sin(t)-1, x
2
*
=-sin(t)-4cos(t).
Минимальное значение функционала x
2
*
(2π)=-4.
Пример 3. Даны модель объекта управления
)()( tutx =
•
, x(0)=0, 1≤u , x∈R
и функционал J=
∫
→+
6
0
2
min)2( dtux .
Найти оптимальную пару x
*
(t), u
*
(t). В этом примере на управление
наложено ограничение
1≤u
, f
0
(t, x, u)=2x+u
2
, f
1
(t, x, u)=u, F(t
1
, x)=0.
Решается задача Лагранжа. Составляем гамильтониан H(t, Ψ, x, u)=Ψu-
(2x+u
2
). Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как имеется
ограничение на управление, то ищется условный максимум.
H
∂
∂
H (t, Ψ, x, u)=Ψ-2u=0, u
*
=
2
ψ
, 1≤u ,
поэтому 1
2
1
≤ψ . Выписываем каноническое уравнение принципа максимума:
ψ
2
1
)(
*
==
•
utx , 1
2
1
≤ψ , x(0)=0, 2
),,,(
)( =
∂
∂
−=
•
x
uxtH
t
ψ
ψ .
Для решения системы необходимо еще одно краевое условие. Найдем
его из условия трансверсальности: δF(t
1
)-H(t
1
)δt
1
+
0)(
1
1
=
∑
=
n
j
jj
xt δψ
.
В данном случае δF=0, t
1
=2, δt
1
=0, поэтому Ψ(t
1
)δx(t
1
)=0.
На фазовую траекторию никаких ограничений нет, поэтому вариация
δx(t
1
) произвольная, тогда следует, что Ψ(t
1
)=0 или Ψ(6)=0. Решаем
двухточечную краевую задачу: ψ
2
1
)( =
•
tx , x(0)=0, 1
2
1
≤ψ , 2)( =
•
tψ , Ψ(6)=0.
Получим
Ψ(t)=2t+C, C=-12, Ψ(t)=2(t-6).
16 ≤−t
, 5
7
≤
≤
t
.
При 5
6
≤
≤
t
, u
*
=t-6,
6)( −=
•
ttx
,
1
2
6
2
)( Ct
t
tx +−=
.
При 0
5
≤
≤
t
максимум функции H (t, Ψ, x, u) по управлению
достигается, когда u=-1, 1)( −=
•
tx , x(t)=-t+C
2
.
Имеем x=
2
2
t
-6t+C
1
,
65
<
≤
t
, x=-t+C
2
,
50
≤
<
t
.
Отсюда получаем x(0)=0, C
2
=0.
При t=5,
530
2
25
1
−=+− C
, C
1
=
2
25
.
Окончательно x
*
=-t, u
*
=-1, t∈[0, 5], x
*
=
2
25
6
2
2
+− t
t
, t∈[5, 6].
Найти оптимальное управление.
1. )(tux =
•
, x(0)=1, J= min)(
2
0
2
→+
∫
dtxu , ответ
−
=
+−=
2
2
1
4
*
2
*
t
u
t
t
x
.
2. )(tux =
•
, x(1)=1, J=
min)5(
2
1
2
→−
∫
dtxu
, ответ
+−=
−+−=
5
2
5
2
17
10
4
5
*
2
*
t
u
t
t
x
.
3. )(tux =
•
, x(1)=0, J= min)3(
2
1
2
→+
∫
dtxu , ответ
+=
−+=
2
9
3
3
4
9
4
3
*
2
*
tu
t
t
x
.
4. )(tux =
•
, x(0)=0, -1
≤
u
≤
0, J=
min)(
2
0
2
→+
∫
dtxu
, ответ
−
=
−=
2
2
4
*
2
*
t
u
t
t
x
5. )(tux =
•
, x(0)=1, -1
≤
u
≤
0, J=
min)2(
2
0
2
→+
∫
dtxu
, ответ
−=
+−=
4
14
2
*
2
*
tu
t
t
x