Сборник всех основных формул и правил
Подождите немного. Документ загружается.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Действия над многочленами
– (a + b – c)x=–ax – bx + cx; (a + b – c)(x + y)=ax + ay + bx + by – cx – cy
дроби
bd
bcad
d
c
b
a
;
bd
ac
d
c
b
a
;
bc
ad
d
c
b
a
;
b
ac
b
a
c
;
bc
a
c
b
a
;
a
bc
b
a
с
формулы сокращённого умножения
ba
2
= a
2
± 2ab + b
2
(a ± b)
3
= a
3
± 3ab
2
+ 3a
2
b ± b
3
a
2
– b
2
= (a–b)(a+b)
a
3
± b
3
= (a ± b)(a
2
± ab + b
2
)
степени
т
разт
aaaaa
...
nmnm
aaa
nmnm
aaa
nn
n
baba
n
n
n
b
a
b
a
nm
n
m
aa
1
0
a
n
n
a
a
1
корни
aa
n
n
nnn
baab
nm mn
nm
baba
nn
n
ba
b
a
n xm
x
n m
aa
nm
m
n
aa
n
m
n
m
aa
0,
0,
2
aa
aa
aa
система двух уравнений первой степени
0
1221
222
111
baba
cybxa
cybxa
1221
1221
1221
1221
baba
caca
y
baba
bcbc
x
квадратное уравнение
общего вида: с чётным 2–м коэффициентом
,0
2
cbxax
a
acbb
x
2
4
2
2,1
a
ackk
x
ckxax
2
2,1
2
02
приведённое разложение трёхчлена на множители
,0
2
qpxx
q
pp
x
2
2,1
22
21
2
xxxxacbxax
теорема Виета для приведённого уравнения
,0
2
qpxx
pxxqxx
2121
,
неравенства второй степени
D=b
2
–4ac
a>0
график
ax
2
+ bx + c>0 ax
2
+ bx + c<0
D>0 x
1
<x
2
x<x
1
x>x
2
x
1
<x<x
2
D=0 x
1
=x
2
x<x
1
x>x
1
нет решений
D<0 корней нет x
R нет решений
Неравенства с переменной в знаменателе дроби
1. неравенство
0
x
xf
сводиться к системам: 2.неравенство
0
x
xf
сводится к системам:
1)
0
0
x
xf
2)
0
0
x
xf
1)
0
0
x
xf
2)
0
0
x
xf
ПРОГРЕССИИ
Арифметическая прогрессия
Общий член
,1
1
ndaa
n
d – разность прогрессии, т.е.
,
1
daa
nn
или
2
2
1
nn
n
aa
a
Сумма n – первых членов
2
1
naa
S
n
n
или
n
dna
S
n
2
12
1
Геометрическая прогрессия
Общий член
,
1
1
n
n
qbb
где q – знаменатель прогрессии сумма членов бесконечно
Свойства геометрической прогрессии:
;
1
qbb
nn
2
2
1
nnn
bbb
убывающей прогрессии:
Сумма n – первых членов
,
1
1
q
bqb
S
n
n
или
1
1
1
q
qb
S
n
n
,1q
q
b
S
1
1
ЛОГАРИФМЫ
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени c, в которую нужно
возвести основание a, чтобы получилось число b.
0,1,0,log, baacbba
a
c
Основное логарифмическое тождество:
b
a
ab
log
bb
c
c
a
a
loglog
1
a
b
b
a
log
1
log
Свойства логарифмов:
1log a
a
;
01log
a
;
yxxy
aaa
logloglog
;
xnx
a
n
a
loglog
;
yx
y
x
aaa
logloglog
;
b
x
x
a
a
b
log
log
log
;
1loglog ab
ba
;
n
a
a
xx
n
loglog
;
ЗАМЕЧАНИЕ: все числа a , b , x , y – принимают положительные значения, а если они стоят в
основании логарифма, то не равны единице.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. уравнения вида:
ba
xf
1) при b<0, уравнение решения не имеет
2) при
pxfaaab
pxfp
,,
3) при
,ba
xf
уравнение можно решить логарифмируя по основанию а,
bxf
a
log
2. уравнения вида:
2...
1...
21
3
21
21
321
MaAaAaAa
MaAaAaAaA
n
n
c
n
cc
mx
Cmx
n
Cmx
CmxCmx
выражение, находящиеся в
скобках уравнения (2), является величиной постоянной; обозначим эту величину буквой N, тогда
уравнение (2) примет вид
MNa
mx
, при N ≠ 0 имеем:
N
M
a
mx
3. уравнение вида:
0
21
2
0
AaAaA
xx
(1) с помощью подстановки
x
ay
обращается в
обычное квадратное уравнение
0
21
2
0
AyAyA
, где y
1
и y
2
– корни. Далее решение уравнения
(1) сводится к решению двух уравнений: 1)
;
1
ya
x
2)
;
2
ya
x
4. уравнение вида:
0
2
22
10
x
xx
x
bAbaAaA
легко привести к виду уравнения (1) из 3.
разделив это уравнение на
0
x
b
:
.0
2
2
10
A
b
a
A
b
a
A
x
x
С помощью подстановки
y
b
a
x
2
, уравнение принимает вид:
0
21
2
0
AyAyA
и сводится к решению двух уравнений: 1)
;
1
2
y
b
a
x
2)
;
2
2
y
b
a
x
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
1.
xxf
aa
1) при
,,1 xxfa
2) при
.,10 xxfa
аналогично для неравенства
xxf
aa
.
2. для неравенства вида
xgx
xfxf
решение сводиться к решению систем:
1)
;
,1
xgx
xf
2)
gDDx
xf
,1
3)
;
,10
xgx
xf
4)
;0
,0
,0
xg
x
xf
аналогично для неравенства:
.
xgx
xfxf
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
1. неравенство вида
xxf
aa
loglog
сводится к решению одной из систем:
1) при a>1
;0
,0
,
x
xf
xxf
2) при 0<a<1
;0
,0
,
x
xf
xxf
аналогично для
неравенства:
xxf
aa
loglog
2. неравенство вида
xxf
xgxg
loglog
сводиться к решению двух систем:
1)
;0,
;0,1
xfxxf
xxg
2)
;0,
;0,10
xfxxf
xxg
аналогично для неравенства
xxf
xgxg
loglog
ПРОИЗВОДНАЯ
x
xf
xf
x
0
0
0
/
lim
значение производной функции в точке
0
x
равно угловому коэффициенту
касательной к графику функции в этой точке.
00
/
0
xxxfyy
– уравнение касательной к
графику функции
xfy
в точке
.;
00
yx
ФОРМУЛЫ ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ
;0
/
с
;1
/
x
;
1
/
nn
xnx
;
/
xx
ee
;
1
ln
/
x
x
;ln
/
aaa
xx
;cossin
/
xx
axx
a
ln1log
/
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
xxfxf
//
/
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Определение
.cos;sin xy
Радианная мера углов 1радиан = 180
0
/π ≈57,29577952
0
;
1
0
= π/180
0
радиан ≈ 0,001745 рад.
Знаки тригонометрических функций
sin α cos α tg α ctg α
0< α <π/2 + + + +
π/2< α < π + – – –
π< α <3π/2 – – + +
3π/2< α <2π – + – –
Значения функций характерных углов
радианы 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π
градусы 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
180
0
270
0
360
0
sin α 0 ½ √2/2 √3/2 1 0 –1 0
cos α 1 √3/2 √2/2 ½ 0 –1 0 1
tg α 0 √3/3 1 √3 ∞ 0 ∞ 0
ctg α ∞ √3 1 √3/3 0 ∞ 0 ∞
Формулы приведения. Чётность.
аргумент
функция
sin cos tg ctg
–α –sinα cosα –tgα –ctgα
π/2 ± α cosα
sinα
ctgα
tgα
π ± α
sinα –cosα
tgα
ctgα
Основные соотношения
sin
2
α + cos
2
α = 1; tgα · ctgα = 1; tgα = sinα/cosα = 1/ctgα; ctgα = cosα/sinα = 1/tgα;
1 + tg
2
α = 1/cos
2
α; 1 + ctg
2
α = 1/sin
2
α; secα = 1/cosα; cosecα = 1/sinα;
периодичность
функции sinα и cosα имеют период 2π, а функции tgα и ctgα – период π.
sin(α + 2πn) = sinα, n
Z; cos(α + 2πn) = cosα, n
Z; tg(α + πn) = tgα, n
Z; ctg(α + πn) = ctgα, n
Z;
формулы для суммы и разности аргументов.
sin(α ± β) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ; cos(α ± β) = cosα · cosβ
sinα · sinβ;
tg(α ± β) = (tgα ± tgβ) / (1
tgα · tgβ); ctg(α ± β) = (ctgα · ctgβ
1) / (ctgβ ± ctgα);
функции двойных углов
sin2α = 2sinα · cosα; cos2α = cos
2
α – sin
2
α = 1–2sin
2
α = 2cos
2
α – 1; tg2α = 2tgα / (1–tg
2
α);
ctg2α = (ctg
2
α – 1) / 2ctgα;
функции половинного угла
sin(α/2) = ±
2
cos1
cos(α/2) = ±
2
cos1
tg(α/2) = ±
;
cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2sin
2
(α/2) = 1 – cosα; 2cos
2
(α/2) = 1 + cosα; sin
2
α = (1–cos2α) / 2
функции полного угла
sinα = 2tg(α/2) / (1+ tg
2
(α/2)); cosα = (1–tg
2
(α/2)) / (1+tg
2
(α/2)); tgα = 2tg(α/2) / (1–tg
2
(α/2));
функции тройного угла
sin3α = 3sinα – 4sin
3
α; cos3α = 4cos
3
α – 3cosα;
произведения тригонометрических функций
sinα · cosβ = ½ · (sin(α + β) + sin(α – β)); cosα · cosβ = ½ · (cos(α + β) + cos(α – β));
sinα · sinβ = ½ · cos(α – β) – cos(α + β));
сумма и разность тригонометрических функций
sinα + sinβ = 2 · sin((α + β)/2) · cos((α – β)/2); sinα – sinβ = 2 · sin((α – β)/2) · cos((α + β)/2);
cosα + cosβ = 2 · cos((α + β)/2) · cos((α – β)/2); cosα – cosβ = 2 · sin((α + β)/2) · sin((α – β)/2);
tgα ± tgβ = sin(α ± β) / (cosα · cosβ); cosα ± sinα =
)
4
sin(2
;
тригонометрические уравнения
sinα = a, α = (–1)
n
· arcsin a + π·n, n
Z; cosα = a, α = ± arccos a + 2π, n
Z;
tgα = a, α = arctg a + π·n, n
Z; ctgα = a, α = arcctg a + π·n, n
Z;
частные случаи
sin x = ±1, x = ± π/2 + 2π, n
Z; sin x = 0, x = πn, n
Z; cos x = –1, x = π + 2πn, n
Z;
cos x = 0, x = π/2 + πn, n
Z; cos x = 1, x = 2πn, n
Z;
обратные тригонометрические функции отрицательного аргумента
arcsin(–α) = –arcsinα; arccos(–α) = π – arccosα; arctg(–α) = –arctgα; arcctg(–α) = –arcctgα;
ГЕОМЕТРИЯ
МЕТОД КООРДИНАТ
Пусть на (i, j, k) заданы
),,();,,(
222111
zyxbzyxa
, тогда операции над ними будут равны:
);;;(
212121
zzyyxxba
);;(
212121
zzyyxxba
;
);;;(
111
pzpypxap
;
212121
zzyyxxba
;
2
1
2
1
2
1
zyxa
;coscos
ba
ba
ba
;cos
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
zyxzyx
zzyyxx
Пусть A ( x
1
; y
1
; z
1
); B (x
2
; y
2
; z
2
); тогда:
вектор
);;(
121212
zzyyxxBA
; модуль вектора
;)()()(
2
12
2
12
2
12
zzyyxxBA
ТРЕУГОЛЬНИК
внешний угол СВД =
ВА
ˆ
ˆ
; К – точка пересечения высот
(ортоцентр треугольника). h
a
, h
b
, h
c
– высоты треугольника
на соответствующие стороны.
;
2
a
cpbpapp
h
a
где полупериметр
2
cba
p
.
М – точка пересечения медиан треугольника
(центр тяжести).
m
a
, m
b
, m
c
– медианы на соответствующие стороны.
МВ:МД=МА:МЕ=МС:МК=2/1
.22
2
1
222
acbm
a
Т – точка пересечения биссектрис треугольника
(центр вписанной окружности). L
a
, L
b
, L
c
–
биссектрисы соответствующих углов. ВМ:МС =
АВ:АС
);(
)(
2
appcb
bc
L
a
;pSr
r – радиус вписанной окружности. О – точка пересечения
серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр
описанной окружности). Радиус описанной окружности:
;
2sin24
c
h
ba
A
a
S
cba
R
где S
Δ
– площадь треугольника; p – периметр треугольника; h
c
– высота
опущенная на соответствующую сторону с. На всех 4–х нарисованных треугольниках стороны
одинаково обозначены, просто на 1–м они обозначены, а на остальных они опущены для
упрощения рисунка. И вообще подразумевается, что все 4 треугольника абсолютно одинаковые.
MN – средняя линяя треугольника. MN=0.5AC; MN║AC.
ТЕОРЕМА СИНУСОВ
;2
sinsinsin
R
C
c
B
b
A
a
где R – радиус описанной окружности.
;sin2;sin2;sin2 CRcBRbARa
ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
;cos2
222
Abccba
;
2
cos
222
bc
acb
A
;cos2
222
Baccab
;2)(cos
222
bcbcaB
;cos2
222
Cabbac
;
2
cos
222
ab
cba
C
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
;
222
cba
hchbha
S
где
cba ,,
– длины сторон треугольника, а
cba
hhh ,,
– высоты,
опущенные на соответствующие стороны.
;
2
sin
2
sin
2
sin AcbBcaCba
S
;rpS
;
4R
cba
S
)()()( cpbpappS
– формула Герона.
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
;;;
ˆ
ˆ
bbb
lmhcaВА
тогда площадь
;
2
sin
2
sin
22
BcAa
S
ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
;4/3
2
aS
;323 rRa
;6/3ar
;3/3aR
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
а и b – катеты, с – гипотенуза, а
с
и b
c
– проекции катетов на гипотенузу.
а
2
+ b
2
= c
2
– теорема Пифагора.
S= a·b/2 = c·h
c
/2;
;
2
cba
r
– радиус вписанной окружности.
R = c/2, – радиус описанной окружности.
;,
22
cccc
acabah
sinA = a/c; cosA = b/c; tgA = a/b; ctgA = b/a; b
2
= c·b
c
;
a = c·sinA = c·cosB = b·tgA = b·ctgB; c = a/sinA = a/cosB = 2R;
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
;180
ˆ
ˆ
0
BA
;22
222
2
2
1
badd
;sin
21
2
1
ddS
;sin AbahbhaS
ba
ПРЯМОУГОЛЬНИК
;sin
2
dbaS
РОМБ
;sin
21
2
1
2
ddAahaS
КВАДРАТ
;2/
22
daS
ТРАПЕЦИЯ
а и b – основания, h – высота
;2/)(;)(
2
1
ADBCMNhbaS
тр
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Длина окружности с =2πR. Площадь круга S = πR
2
= πD
2
/4.
Длина дуги l = π·R·α/180
0
. Площадь сектора S = π·R
2
·α/360
0
.
где α – величина угла дуги в градусах.
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И КРУГ
Свойство вписанного четырёхугольника:
;180
ˆ
ˆ
0
BA
ac + bd = ef, где a,b,c,d – стороны, e,f – диагонали.
Свойство описанного четырехугольника: a + c = b + d;
S = p·r, p – полупериметр.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Внутренний угол
,
)2(180
ˆ
0
n
n
A
где n – число сторон. a
n
= 2R·sin(180
0
/n);
S
n
= ½ ·n·a
n
·r; S
n
= ½ ·P
n
·r; r = R·cos(180
0
/n);
ШЕСТИУГОЛЬНИК
;;2/3;
2
2
33
666
RSarRa
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ПРИЗМА
Боковая поверхность наклонной призмы S
б.п.
= P
1
·l, где P
1
– периметр перпендикулярного сечения,
l – ребро призмы. Боковая поверхность прямой призмы S
б.п.
= P
осн
·l; Объём призмы V
пр
=S
осн
·h;
ПИРАМИДА
I. Если боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания (их длины равны), то
высота проходит через центр окружности
описанной около многоугольника основания.
II. Если боковые грани пирамиды равнонаклонены
к плоскости основания (длины апофемы равны), то
высота проходит через центр окружности,
вписанной в многоугольник основания.
Площадь боковой поверхности правильной
пирамиды: S
б.пир.
= ½ ·P
осн
·h
a
, где h
a
– апофема.
S
б.пир.
= S
осн
/cosα , где α – угол наклона боковой грани
к основанию.
Объём пирамиды: V
пир
= ⅓·S
осн
·h, где h – высота
пирамиды.
Площадь боковой поверхности правильной
усечённой пирамиды: S
бок
= ½ ·(P
1
+P
2
)·h
a
, где P
1
, P
2
– периметры оснований (верхнего и нижнего); h
a
– апофема.
Объём усечённой пирамиды:
);(
2121
3
1
QQQQHV
где Q
1
и Q
2
– площади оснований.
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
ЦИЛИНДР
Площадь боковой поверхности: S
бок
=2·π·R·h; Площадь всей пов–ти: S=2·π·R·(R + h); Объём: V = πR
2
·h;
КОНУС
Площадь пов–ти конуса: боковой S
б
=πrl; полной S
п
=πr ·(r + l); где l – образующая. Объём: V=πr
2
h/3;
УСЕЧЁННЫЙ КОНУС
Площадь боковой пов–ти: S
б.у.к.
= π·l·(R + r); Объём: V=⅓·π·h(R
2
+ r
2
+Rr); угол развёртки: α=(R–r)/l;
ШАР
Площадь пов–ти сферы: S
сф
=4πR
2
; Объём шара: V
ш
=4/3·πR
3
;
ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1)
;0 cdx
2)
;1 cxdx
3)
;
1
1
c
x
dxx
4)
;ln
1
cxdx
x
5)
;
ln
c
a
a
dxa
x
x
6)
;cedxe
xx
7)
;cossin cxdxx
8)
;sincos cxdxx
9)
;
cos
2
ctgx
x
dx
10)
;
sin
2
cctgx
x
dx
11)
;arcsin
1
2
cx
x
dx
12)
;
1
2
carctgx
x
dx
13)
;cshxdxchx
14)
;cchxdxshx
15)
;cosln cxdxtgx
16)
;sinln cxdxctgx
17)
;
1
22
c
a
x
arctg
a
xa
dx
18)
;arcsin
22
c
a
x
xa
dx
19)
;ln
2
1
22
c
ax
ax
a
ax
dx
20)
;ln
2
2
caxx
ax
dx
21)
;
2
ln
sin
c
x
tg
x
dx
22)
;
42
ln
cos
c
x
tg
x
dx