Сборник с примерами решения задач по сопротивлению материалов
Подождите немного. Документ загружается.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ
(СОПРОМАТ)
Пример 1. Стальной ступенчатый стержень (рис 1), защемлен одним концом и нагружен сила-
ми F
1
и F
2
. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке 2.
Дано:
F
1
= 80кН; F
2
= 120кН; а = 1,8м; b = 1,6м; с = 2,0м;
[
]
σ
= 160 МПа; Е = МПа
5
102 ⋅
Определить:
величину продольной силы N на каждом участке стержня; площади поперечных се-
чений стержня А
1
и А
2
; перемещение точки приложения силы F
1
; полную работу внешних сил, со-
вершающих деформацию L
f
Решение: 1). расчетная схема и графические построения
Рис. 2.
2). определение опорной реакции F
r
(рис 2а)
0
=−+−=
∑
21
FFFF
rx
кН
4012080
21
=−=−= FFF
r
Знак «минус» опорной реакции F
r
показывает, что направление реакции было выбрано неверно.
3). построение эпюры продольных сил (рис 2д)
techwork.narod.ru
сечение а-а (рис 2б)
0 N
=−=
∑
1
NF
x
1
=0
сечение b-b (рис 2в)
0
=−−=
∑
22
FNF
x
=
−
=
22
FN
- 120 кН
сечение с-с (рис 2г)
0
=+−−=
∑
123
FFNF
x
4080120
123
−
=
+
−
=
+
−
=
FFN
кН
4). определение площади сечений А
1
и А
2
Из условия прочности
[]
σσσ
=≤=
A
N
adm
[]
σ
N
A≥
[]
3
6
3
3
1
1025,0
10160
1040
−
⋅=
⋅
⋅
==
σ
N
A м
2
[]
3
6
3
2
2
1075,0
10160
10120
−
⋅=
⋅
⋅
==
σ
N
A м
2
5). определение перемещения точки приложения силы F
1
ммм
A
cN
l
F
6,1106,1
1025,010102
21040
3
365
3
1
3
1
=⋅=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
=
Ε
⋅
=∆
−
−
6). полная работа внешних сил L
f
i
n
if
lNUL ∆==
∑
1
Участок I N
1
=N
3
м
A
cN
l
I
3
365
3
1
3
106,1
1025,010102
21040
−
−
⋅=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
=
Ε
⋅
=∆
Участок
II
м
A
bN
l
II
II
3
365
3
2
1028,1
1075,010102
6,110120
−
−
⋅=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
=
Ε
⋅
=∆
()
(
)
ДжlNlNL
IIIIIIF
6,2171028,110120106,11040
2
1
2
1
3333
=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=∆⋅+∆⋅=
−−
Ответ:
; ;
23
1
1025,0 мA
−
⋅=
23
2
1075,0 мA
−
⋅=
; .
мl
F
3
106,1
1
−
⋅=∆
ДжL
F
6,217=
techwork.narod.ru
Пример 2.
Стальной ступенчатый стержень (рис 3а) защемлен двумя концами и нагружен си-
лами F
1
и F
2
. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.
Дано:
F
1
=
80кН; F
2
= 120кН; а = 1,8м; b = 1,6м
с = 2,0м;
[]
160=
σ
МПа; Е = 2 МПа
5
10⋅
Определить:
величину продольной силы N на каждом участке стержня; площади поперечных сече-
ний стержня A
1
и А
2
; перемещение точки приложения силы F
2
.
Решение:
1). расчетная схема и графические построения
Рис. 3.
2). определение опорных реакций с использованием основной системы (рис 3б) и общего выраже-
ния совместности деформаций
()
)2(0
)1(0
1
1
1
2
2
2
12
12
=
Ε
⋅
+
Ε
⋅
−
Ε
⋅
−
Ε
⋅
−
⋅Ε
+
−
=++−−=
∑
A
cF
A
cF
A
bF
A
cF
A
baF
EFFFF
RB
RB
RARBx
Из предыдущей задачи А
2
= 3А
1
Решаем уравнение (2)
()
0
33
1
1
1
2
1
2
11
=
Ε
⋅
+
Ε
⋅
−
Ε
⋅
−
Ε
⋅
−
Ε
+
−
A
cF
A
cF
A
bF
A
cF
A
baF
RBRB
techwork.narod.ru
0
1
1
≠
ΕA
()
0
3
1
3
1
122
=+−−⋅−+− cFcFbFcFbaF
RBRB
() ()
кН
cba
cbFcF
F
RB
9,45
26,18,1
3
1
2
3
6,1
120280
3
1
3
1
21
=
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−⋅
=
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
=
Из уравнения (1) определяется F
RA
кНFFFF
RBRA
9,85801209,45
12
=
−
+=−+=
3). построение эпюры продольных сил (рис 3е)
сечение а-а (рис 3в)
кНFN
RB
9,45
1
−
=
−=
0
1
=−−=∑ NFF
RBx
сечение b-b (рис 3г)
кНFFN
RB
9,1651209,45
22
−
=
−
−
=
−
−=
0
22
=−−−=∑ NFFF
RBx
сечение с-с
0
312
=−+−−=∑ NFFFF
RBx
кНFFFN
RB
9,85801209,45
123
−
=
+−−=+−−=
4). определение площади сечений А
1
и А
2
Из условия прочности
[]
σσσ
=≤=
A
N
adm
площадь сечения
[]
σ
N
A ≥
[]
23
6
3
3
1
10537,0
10160
109,85
м
N
A
−
⋅=
⋅
⋅
==
σ
[]
23
6
3
2
2
10037,1
10160
109,165
м
N
A
−
⋅=
⋅
⋅
==
σ
5). определение перемещения точки приложения силы F
2
м
A
aN
l
F
3
365
3
2
1
10388,0
10037,110102
8,1109,45
2
−
−
⋅=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
−=
Ε
=∆
Ответ: А
1
= 0,537м
2
; А
2
= 1,037 м
3
10
−
⋅
2
; м
3
10388,0
2
−
⋅=∆
F
l
techwork.narod.ru
Пример 3
: Подобрать стальной стержень АВ круглого поперечного сечения и деревянный
стержень BD квадратного сечения настенного поворотного крана
Дано: F=240кН; l
1
=l
2
=1,2м;
Сталь
[]
160=
СТ
σ
МПа; Е
cт
=2 МПа;
5
10⋅
Дерево
[]
10=
Д
σ
МПа; Е
Д
=1 МПа;
4
10⋅
Определить:
диаметр стержня АВ; размеры сечения стержня BD; вертикальное перемещение узла
В.
Решение:
1). расчетная схема и графические построения
Рис. 5.
2). составим уравнение равновесия для узла В и определим продольные усилия в стержнях (рис 5б)
045cos45cos
21
=⋅+⋅−=∑
oo
NNF
x
N
1
=N
2
045sin45sin
21
=⋅−−=∑
oo
NNFF
y
045sin2
1
=−
o
NF
кНH
F
N 2,170102,170
71,02
10240
45sin2
3
3
1
=⋅=
⋅
⋅
==
o
N
1
=N
2
=170,2кН
3). определение размеров поперечных сечений стержней 1 и 2
techwork.narod.ru
Из условия прочности
[]
σσ
≤=
A
N
площадь сечения
[]
σ
N
A ≥
Стержень АВ
[]
23
6
3
1
1
10064,1
10160
102,170
м
N
A
СТ
−
⋅=
⋅
⋅
==
σ
ммм
A
dьноследовател
d
A 9,3610687,3
14,3
10064,14
4
4
2
3
1
2
1
=⋅=
⋅⋅
===
−
−
π
π
Принимаем d= 37мм
Стержень BD
[]
323
6
3
2
2
1002,171002,17
1010
102,170
⋅=⋅=
⋅
⋅
==
−
м
N
A
q
σ
мм
2
2
2
aA =
ммAa 1301002,17
3
2
≅⋅==
, где а – сторона квадрата
4). определение вертикального смещения точки В (рис 5в).
Удлинение стержня
A
Nl
l
Ε
=∆
ммм
A
lN
l
ст
96,01096,0
10064,110102
2,1102,170
3
365
3
1
11
1
=⋅=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
=
⋅Ε
⋅
=∆
−
−
ммм
Aд
lN
l 2,1102,1
1002,1710101
2,1102170
3
364
3
2
22
2
=⋅=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
⋅Ε
⋅
=∆
−
−
Проекции деформаций стержней на ось y
ммll
y
68,0
2
2
96,045cos
11
=⋅=∆=∆
o
ммll
y
85,0
2
2
2,145cos
22
=⋅=∆=∆
o
Вертикальное перемещение узла В
ммlll
yy
53,185,068,0
21
=
+=∆+∆=∆
Ответ:
d= 37мм; a= 130мм; 1,53мм
=∆ l
techwork.narod.ru
Пример 4
. Провести расчет статически определенной стальной балки на изгиб.
Дано:
F
= 20кН; а = 1,8м; М= 20кН
.
м;
q= 20кН/м;
[]
160=
σ
МПа
Определить:
построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M; подобрать требуе-
мый размер двутавра по нормальным напряжениям; проверить подобранный двутавр по касатель-
ным напряжениям.
Решение: 1). расчетная схема и графические построения (рис 7)
Рис. 7.
2). определение опорных реакций R
A
и R
B
(рис 7а)
techwork.narod.ru
()
045,02
=
⋅
+
+
+
⋅−+⋅−=∑ aRaaaaqMaFM
BA
кН
a
aqMaF
R
B
7,33
8,14
8,1205,3208,120
4
5,3
22
=
⋅
⋅−+−⋅
=
⋅+−⋅
=
043
2
2
=⋅−⋅++=∑ aRaFM
a
qM
AB
кН
a
aFM
a
q
R
A
3,22
8,14
8,132020
2
8,1
20
4
3
2
22
=
⋅
⋅⋅++⋅
=
⋅++
=
Проверка
07,338,120203,22
=
+
⋅
−
−
=
+⋅−−=∑
BAy
RaqFRF
3). построение эпюры поперечных сил Q. Разбиваем балку на грузовые участки I, II и III
участок I
ax ≤≤
1
0
A
RQ =
1
при
0
1
=x кНRQ
A
3,22
1
=
=
при
ax =
1
кНRQ
A
3,22
1
=
=
Эпюра прямая параллельная оси X
участок II
ax 30
2
≤≤
FRQ
A
−=
2
при
ax =
2
кНFRQ
A
3,2203,22
2
=
−
=−
=
при
ax 3
2
= кНFRQ
A
3,2203,22
2
=
−
=−
=
Эпюра прямая параллельная оси X
участок III ax ≤≤
3
0
33
qxRQ
B
+−=
при 0
3
=x кНRQ
B
7,33
3
=−
=
при
ax =
3
кНqaRQ
B
3,28,1207,33
3
=
⋅
+
−
=+−
=
Эпюра прямая наклонная к оси X и пересекающая ось X
03
0 qxRQ
B
+
−==
м
q
R
x
B
69,1
20
7,33
0
===
4). построение эпюры изгибающих моментов M
участок I
ax
≤
≤
1
0
11
xRM
a
⋅
=
при
0
1
=x 0
1
=
M
при
ax =
1
кНмaRM
a
1,408,13,22
1
=
⋅
=⋅
=
участок II
ax 30
2
≤≤
(
)
axFxRM
a
−
−
⋅
=
222
при
ax =
2
кНмaRM
A
1,408,13,22
2
=
⋅
=⋅=
при
ax 3
2
= кНмaFaRM
A
4,488,12208,133,2223
2
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
⋅
−⋅=
techwork.narod.ru
Эпюра прямая наклонная к оси X
Участок III ax ≤≤
3
0
2
2
3
33
x
qxRM
B
−⋅=
при 0
0
3
=M
3
=x
при
ax =
3
кН
a
qaRM
B
4,28
2
8,1
208,17,33
2
22
3
=−⋅=−⋅=
мxx 69,1
03
== кНм
x
qxRM
B
5,28
2
69,1
2069,17,33
2
2
2
0
0max3
=−⋅=−⋅=
Эпюра кривая второго порядка
5). опасные сечения
сечение (1-1) – максимальные нормальные напряжения
сечение (2-2) – максимальное касательное напряжения
6). подбор сечения прокатного двутавра
Из условия прочности
[]
σσ
≤=
z
W
M
max
max
Получаем
[]
333
6
3
max
30310303,0
10160
104,48
смм
M
W
z
=⋅=
⋅
⋅
=≥
−
σ
По таблице Приложения 2П выбираем двутавр № 24a (W
z
=317 см
3
; J
z
=3800 см
4
; S
z
=178 см
3
; b=125
мм)
7). проверка прочности двутавра № 24a по касательным напряжениям
Условие прочности
[]
ττ
≤
⋅
⋅
=
bJ
SQ
z
z
Допускаемое напряжение
[] [ ]
801605,05,0
=
⋅
=
=
σ
τ
МПа.
Из эпюры Q определяем Q
max
=33,7кН
[]
ττ
<<=⋅=
⋅⋅
⋅⋅⋅
=
−
−
МПаПа 6,121063,12
125,01038,0
10178,0107,33
6
4
33
Ответ:
;3,22 кНR
A
= кНR
B
7,33=
Q
max
=33,7кН; M
max
=48,4 кНм
Подобран двутавр № 24a
techwork.narod.ru
Пример 5.
Стальной вал, нагруженный в местах посадки шкивов, работает на изгиб и кручение
(рис 8).
Дано: а=0,25м; R=0,35м; r =0,25м; F=4,0кН;
[
]
МПа
adm
80
=
=
σ
σ
; G=8 ; использовать
МПа
4
10⋅
IV гипотезу прочности.
Определить: максимальный диаметр вала; угол закручивания вала между шкивами.
Решение:
1) расчетная схема и графические построения (рис 9)
techwork.narod.ru