Сарайский Ю.Н. Геоинформационные основы навигации. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
Рис.12. К построению проекции Гаусса-Крюгера
Для проектирования следующей зоны цилиндр поворачивается на 6°
вокруг оси вращения Земли. Таким образом, каждая зона проектируется на свой
цилиндр. Всего получается 60 зон, нумеруемых к востоку от Гринвичского
меридиана, который является западной границей первой зоны. Зоны
распрямляются в плоскость, образуя как бы «лепестки».
Средний меридиан каждой зоны с номером N имеет долготу
ср
= 6N- 3.
По этой формуле долгота получается в диапазоне от 0° до 360° , но ее
нетрудно перевести и в обычный диапазон (от -180° до +180° ).
Способ проектирования каждой зоны на цилиндр аналогичен проекции
Меркатора. Если бы на глобусе была изображена сетка условных меридианов и
параллелей, в которой полюса лежали бы в точках пересечения глобуса с осью
цилиндра, а условный экватор совпадал бы с меридианом касания, то такая
сетка изобразилась бы точно так же как в классической проекции Меркатора.
Условные меридианы и параллели выглядели бы прямыми линиями и
меридианы были бы растянуты в той же степени, в какой растянуты условные
параллели на данной условной широте.
Но настоящие меридианы и параллели в проекции Гаусса-Крюгера будут,
конечно, иметь другой вид, поскольку сетка обычных меридианов и параллелей
для этой проекции не является нормальной. В каждой зоне средний меридиан
изображается в натуральную величину. Экватор – несколько вытянутая прямая.
Другие меридианы и параллели – сложные кривые малой кривизны (рис.12).
Рис. 13. Зоны в проекции Гаусса-Крюгера
Проекция, как и меркаторская, является равноугольной. Но благодаря
тому, что на цилиндр проектируется только узкая полоса (не далее 3° от
среднего меридиана зоны, являющегося условным экватором), искажения
расстояний также очень малы. Максимальное искажение расстояний имеет
место на экваторе на границе зоны, где m = n = 1,00137, то есть погрешность
может составить максимум 137 м на 100 км расстояния. Следовательно, на
таких картах можно точно измерять углы и практически точно – расстояния, то
есть такую карту можно считать планом.
Характерной особенностью карт этой проекции является то, что вместо
сетки меридианов и параллелей на них наносится сетка прямоугольных
координат x;y. Исключением является карта масштаба 1:500000, которая может
издаваться в этой проекции, но на ней наносится обычная картографическая
сетка.
Начало системы координат располагается в точке пересечения экватора
со средним меридианом зоны. Ось OX направлена по среднему меридиану на
север, а ось OY – по экватору на восток.
Горизонтальные линии на карте параллельны экватору (оси OY), а
вертикальные - среднему меридиану зоны (оси OX). Координаты x,y
измеряются в километрах. Можно считать, что значения x соответствуют
расстоянию точки от экватора по поверхности эллипсоида (абсолютно точным
это является только для точек на среднем меридиане).
Оцифровка координаты y на карте имеет несколько более сложную
структуру. Если бы координата y измерялась как в обычной прямоугольной
системе, то, очевидно, она могла бы иметь как положительное значение (если
точка к востоку от среднего меридиана зоны), так и отрицательное (если к
западу). Поскольку иметь дело с отрицательными координатами не очень
удобно, чисто условно добавляют ко всем значениям y (положительным и
отрицательным) постоянное число 500 км. В этом случае все координаты
становятся положительными – ведь точка зоны с наибольшей отрицательной
координатой (на пересечении экватора и западной границы зоны) имеет y
примерно -333,6 км (3° вдоль экватора по 111,2 км каждый). После добавления
500 км будет y≈+166,4 км.
Кроме того, одинаковое значение y будет иметь место у точек в разных
зонах, поскольку каждое из них отсчитывается от среднего меридиана своей
зоны. Чтобы различать зоны, к значению координаты y слева просто
приписывается номер зоны.
Таким образом, полный формат координаты y включает в себя номер
зоны (первые одна-две цифры) и увеличенное на 500 км расстояние точки от
среднего меридиана зоны (последние три цифры).
Например, x = 1347 , y=25465.
По значению координаты x понятно, что точка находится на расстоянии
1347 км к северу от экватора. Номер зоны N=25, а долгота ее среднего
меридиана
ср
= 6N – 3 = 150 -3 = 147°.
Рассматриваемая точка находится от среднего меридиана зоны на
расстоянии 465 – 500 = - 35 км , то есть, на 35 км к западу.
На листе крупномасштабной карты умещается лишь небольшая часть
«лепестка» зоны, но координатные линии (так называемая километровая сетка)
проведены параллельно и перпендикулярно среднему меридиану зоны, даже
если сам он находится за пределами данного листа. Поскольку края (обрезы)
листа карты совпадают с меридианами и параллелями, линии километровой
сетки им не параллельны и вовсе не направлены с севера на юг и с запада на
восток.
Поскольку на картах в проекции Гаусса-Крбгера не нанесены меридианы,
на них невозможно непосредственно измерять азимуты (пеленги, путевые углы
и т.п.). Направления на топографических картах измеряют от северного
направления вертикальной километровой линии, которое в общем случае не
совпадает с направлением меридиана.
Угол, измеренный от северного направления километровой сетки.
называется дирекционным углом (
). Он отличается от азимута A на величину,
называемую сближением меридианов γ. Это угол между северным
направлением меридиана и направлением вертикальной линии сетки. Если он
известен, то легко по измеренному дирекционному углу обпределить азимут и
наоборот.
А = + , = А -
Поскольку линии сетки параллельны среднему меридиану зоны, то
очевидно, что сближение меридианов есть не что иное, как угол схождения
меридиана данной точки и среднего меридиана зоны, следовательно
= ( -
ср
) * sin,
где φ, λ - широта и долгота точки, λ
ср
- долгота среднего меридиана зоны.
Рис. 14. Дирекционный угол и сближение меридианов
Поскольку долгота любой точки в пределах зоны отличается от долготы
среднего меридиана не более, чем на 3° , такое же максимальное значение
может иметь и . В пределах листа карты крупного масштаба, охватывающего
небольшую территорию, сближение меридианов меняется незначительно и его
среднее значение указывают на обрезе карты.
Обшие сведения об азимутальных проекциях. В геометрической
интерпретации азимутальных проекций вспомогательной поверхностью
является плоскость, то есть сама карта. На эту плоскость тем или иным
способом переносятся точки сферы. Часто этот способ переноса можно
геометрически проиллюстрировать как проектирование сферы на плоскость
лучами из какой либо точки. Плоскость (карта) может касаться глобуса в какой-
либо точке (проекции на касательную плоскость) или пересекать поверхность
сферы (проекции на секущую плоскость).
В зависимости от расположения точки, из которой осуществляется
проектирование, азимутальные проекции делятся на следующие виды (рис.15).
a) Центральные проекции. Проектирование осуществляется из центра
сферы. Любая точка a на глобусе изобразится точкой a
1
на плоскости так, что
a, a
1
и центр сферы O лежат на одной прямой.
б) Стереографические проекции. Проектирование осуществляется из
точки сферы S, диаметрально противоположной точке касания.
в) Ортографические проекции. Точки сферы проектируются на плоскость
прямыми линиями, перпендикулярными к плоскости. Эти проекции можно
рассматривать как предельный случай внешней проекции, когда точка E
находится бесконечно далеко.
г) Внешние проекции. Точка S , из которой осуществляется
проектирование лежит вне сферы.
Рис.15. Классификация азимутальных проекций
Во всех азимутальных проекциях нормальная картографическая сетка
выглядит как показано на рис.16.- меридианы являются радиальными прямыми,
а параллели – концентрическими окружностями.
Исходя из вида нормальной сетки уравнения проекций удобнее
записывать не в прямоугольной (как для цилиндрических проекций), а в
полярной системе координат. Началом этой системы является, как правило,
изображение полюса на карте, а за направление начала отсчета выбирают
направление изображения гринвичского меридиана. Тогда любая точка M' на
карте может характеризоваться двумя координатами: расстоянием ρ от начала
системы координат (полюса) до точки и углом δ между направлением начала
отсчета и направлением на точку.
Общие уравнения азимутальных проекций имеют вид
= (),
= .
Как следует из первого уравнения, координата зависит только от
широты, что и определяет круговую форму параллелей – все точки параллели
имеют одинаковую широту и будут находиться от начала системы координат на
одинаковом расстоянии независимо от их долготы. В каждой конкретной
проекции вид функции () разный, поэтому расстояние между параллелями на
карте может быть одинаковым, увеличиваться или уменьшаться по разным
законам.
Второе уравнение, которое одинаково для всех азимутальных проекций,
свидетельствует о том, что углы между меридианами на карте равны разностям
долгот этих меридианов – на карте углы для точек на двух меридианах будут
различаться на столько же, насколько различаются долготы этих точек.
Центральная полярная проекция. Плоскость касается глобуса в точке
полюса, проектирование осуществляется из центра сферы.
.ctgR
= .
Рис.16. К выводу уравнений центральной полярной проекции
М’
М
P
P
Частные масштабы
.
sin
1
m
2
. .
.
sin
1
n
Сопоставляя выражения для m и n , можно сделать вывод, что проекция
не равноугольная (m≠n), не равнопромежуточная (m≠1 и n≠1) и не равновеликая
(mn≠1). Следовательно, проекция относится к произвольным и с точки зрения
искажений не обладает какими-либо полезными свойствами.
Но центральная проекция все же имеет одну особенность, полезную для
аэронавигационного обеспечения полетов. Проектирование всех точек
осуществляется из центра сферы. Но и плоскость любой ортодромии на сфере
тоже проходит через ее центр. Поэтому все линии, по которым проектируются
на карту точки ортодромии, лежат в одной плоскости – плоскости самой
ортодромии. Эта плоскость пересекается с картой по прямой линии, которая и
будет изображением ортодромии. Следовательно, любая ортодромия
изображается на картах центральной проекции в виде прямой линии .
Сетка такой проекции (гномоническая сетка) может использоваться для
графического определения координат промежуточных точек ортодромии.
Стереографическая проекция. Если точки сферы проектируются на
плоскость, касающуюся глобуса в какой-либо точке (например, в северном
полюсе), из диаметрально противоположной ей точки глобуса (из южного
полюса), то такую проекцию называют стереографической проекцией на
касательную плоскость. Но в принципе плоскость может быть и секущей, то
есть не касаться, а пересекать сферу по какой-либо параллели.
Рис.17. Стереографическая проекция на секущую плоскость
Проекция на касательную плоскость является частным случаем проекции
на секущую плоскость. Ведь полюс можно рассматривать как параллель
нулевого радиуса с широтой 90°.
Уравнения проекции на секущую плоскость имеют вид
.
),
2
45(tg)sin1(R
0
Частные масштабы
.
sin1
sin1
m
0
.
sin1
sin1
n
0
Здесь φ
0
- широта параллели сечения глобуса, являющаяся константой
для конкретной проекции, а φ- широта любой точки
Поскольку m=n , стереографическая проекция является равноугольной.
Очевидно, что на параллели сечения (φ = φ
0
) масштаб равен 1. Южнее
параллели сечения знаменатель в формуле для частных масштабов становится
меньше числителя, следовательно, m = n > 1, изображение по сравнению с