Самаров К.Л. Финансовая математика: Учебно-методическое пособие

Подождите немного. Документ загружается.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

полученная кредитором в конце 2-го месяца, эквивалентна по

сложной процентной ставке в 9% сумме

647,51 (1 0,09) 826,55

⋅ + =

полученной в конце 36-го месяца. Рассуждая совершенно аналогично,

получаем, что третий платеж эквивалентен сумме

647,51 (1 0,09) 820,6

⋅ + =

и т.д. Возникает убывающая геометрическая прогрессия

{ }

содержащая 36 членов

1 2 3 36

832,54; 826,55; 820,6;...; 647,51

b b b b= = = = ,

знаменатель которой

1,09 0,9928

−

= =

Найдем сумму этой геометрической прогрессии:

36 36

1 1

1 2 36

832,54 (1 0,9928 )

... 26345,83

1 1 0,9928

b b q

b b b

− ⋅ ⋅ −

+ + + = = =

− −

Отсюда следует, что «в действительности» плата за кредит равняется

26345,83–18000=8345,83 (дол.). Для сравнения подсчитаем

процентные деньги в условиях примера 2:

(1 ) 18000 ((1 0,09) 1) 5310,36

D Z p Z= + − = ⋅ + − = .

Таким образом, «в действительности» кредитор получает на 8345,83–

5310,36=3035,47 (дол.) больше, чем указано в кредитном соглашении.

Ответ. «В действительности» кредитор получает на 3035,47

долларов больше, чем указано в кредитном соглашении.

Вопрос. За счет чего кредитор получает дополнительную плату

за кредит, описанную в примерах 3 и 4?

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Ответ. За счет того, что он длительное время бесплатно

пользуется деньгами заемщика, поступившими к нему в качестве

погашающих платежей.

2.2. Погашение ссуд одинаковыми платежами, на которые

начисляются процентные деньги

Данный параграф, так же, как и § 2.1., посвящен изложению

метода погашения ссуд при помощи одинаковых платежей,

осуществляемых через равные периоды времени. Однако в отличие от

§ 2.1., в счет погашения ссуды идут не только погашающие платежи,

но и начисленные на них процентные деньги, что является гораздо

более справедливым по отношению к заемщику.

Определение. Платежи, осуществляемые ежегодно, называются

аннуитетами.

Задача 1. Заем величиной в $150000, предоставленный на срок

в 4 года с расчетом по схеме простых процентов с годовой

процентной ставкой в 10%, погашается одинаковыми аннуитетами

постнумерандо. Кредитор по такой же схеме рассчитывает

процентные деньги за пользование каждым аннуитетом с момента его

получения и до срока окончания займа, которые идут в счет

погашения займа. Найти величину аннуитетов.

Решение. По условию задачи Z=150000, p=0,1, t=n=4. Получим

сначала формулу, позволяющую найти величину A аннуитетов для

произвольных значений Z, p, n, а затем подставим в эту формулу

числовые данные решаемой задачи. Поскольку кредитор пользуется

первым аннуитетом в течение (n – 1) года, вторым аннуитетом – в

течение (n - 2) лет и т.д., то, воспользовавшись для расчета

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

процентных денег формулой простых процентов (1.2.1.), составим

следующее уравнение

(1 ( 1) ) (1 ( 2) ) (1 ).

A n p A n p A Z n p

⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ + + = ⋅ + ⋅

…

(2.2.1.)

Из уравнения (2.2.1.) легко находится величина аннуитетов

(1 )

(1 ( 1) ) (1 ( 2) ) ... 1

Z n p

n p n p

⋅ + ⋅

+ − ⋅ + + − ⋅ + +

. (2.2.2.)

С помощью формулы для суммы арифметической прогрессии

2 ( 1)

(1 ( 1) ) (1 ( 2) ) 1

n p

n p n p n

+ − ⋅

+ − ⋅ + + − ⋅ +…+ = ⋅

соотношение (2.2.2.) преобразуется к виду

(1 ) 2

(2 ( 1) )

Z n p

n p n

⋅ + ⋅ ⋅

+ − ⋅ ⋅

. (2.2.3.)

Подставляя в формулу (2.2.3.) числовые данные из условия задачи,

находим величину аннуитетов:

150000 (1 4 0,1) 2

45652,17

(2 3 0,1) 4

⋅ + ⋅ ⋅

= =

+ ⋅ ⋅

. (2.2.4.)

Для сравнения подсчитаем величину аннуитетов по формуле (2.1.1.),

т.е. в том случае, когда на аннуитеты не начисляются процентные

деньги:

150000

(1 ) (1 4 0,1) 52500

A n p

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

. (2.2.5.)

Очевидно, что величина погашающего платежа в $45652,17,

полученная по формуле (2.2.4.), гораздо предпочтительнее для

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

заемщика, чем величина погашающего платежа в $52500, полученная

по формуле (2.2.5.).

Ответ. Аннуитет равен $45652,17.

Перейдем к случаю сложных процентов.

Задача 2. Заем величиной в $200000, предоставленный на срок

в 5 лет с расчетом по схеме сложных процентов с годовой

процентной ставкой в 6%, погашается одинаковыми аннуитетами

постнумерандо. Кредитор по такой же схеме рассчитывает

процентные деньги за пользование каждым аннуитетом с момента его

получения и до срока окончания займа, которые идут в счет

погашения займа. Найти величину аннуитетов.

Решение. По условию задачи Z=200000, p=0,06, t=n=5.

Получим сначала формулу, позволяющую найти величину A

аннуитетов для произвольных значений Z, p, n, а затем подставим в

эту формулу числовые данные решаемой задачи. Поскольку кредитор

пользуется первым аннуитетом в течение (n – 1) года, вторым

аннуитетом – в течение (n - 2) лет и т.д., то, воспользовавшись для

расчета процентных денег формулой сложных процентов (1.2.4.),

составим следующее уравнение:

1 2

(1 ) (1 ) (1 ) .

n n n

A p A p A Z p

− −

⋅ + + ⋅ + + + = ⋅ +

…

(2.2.6.)

Из уравнения (2.2.6.) легко находится величина аннуитетов:

1 2

(1 )

(1 ) (1 ) ... 1

n n

Z p

p p

− −

⋅ +

+ + + + +

. (2.2.7.)

С помощью формулы для суммы конечной геометрической

прогрессии

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

1 2

(1 ) 1

(1 ) (1 ) 1

1 1

n n

p p

− −

+ −

+ + + + + = =

+ −

…

соотношение (2.2.7.) преобразуется к виду

(1 )

(1 ) 1

Z p p

⋅ + ⋅

+ −

. (2.2.8.)

Подставляя в формулу (2.2.8.) числовые данные из условия задачи,

находим величину аннуитетов:

200000 (1 0,06) 0,06

47479,28

(1 0,06) 1

⋅ + ⋅

= =

+ −

. (2.2.9.)

Для сравнения подсчитаем величину аннуитетов по формуле (2.1.2),

т.е. в том случае, когда на аннуитеты не начисляются процентные

деньги:

200000

(1 ) (1,06) 53529,02

A p

= ⋅ + = ⋅ =

. (2.2.10.)

Очевидно, что величина погашающего платежа в $47479,28,

полученная по формуле (2.2.9.), гораздо предпочтительнее для

заемщика, чем величина погашающего платежа в $53529,02,

полученная по формуле (2.2.10.).

Ответ. Аннуитет равен $47479,28.

2.3. Погашение ссуд одинаковыми платежами в случае, когда

процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга

Замечание. Разделение погашающих платежей на две части,

отвечающие за погашение долга и погашение процентных денег,

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

принципиально важно, поскольку от этого зависят уплачиваемые

налоги.

Целью данного параграфа является изложение метода

погашения ссуд, предоставленных по схеме простых или сложных

процентов с годовой процентной ставкой в p%, при котором часть

каждого погашающего платежа, идущая на погашение процентных

денег, равняется p% от существующего в момент совершения

погашающего платежа остатка долга (без учета процентных

денег).

Рассмотрим применение этого метода на примере решения

следующей задачи, которая является продолжением задачи 2 из § 2.2.

Задача. Заем величиной в $200000, предоставленный на срок в

5 лет с расчетом по схеме сложных процентов с годовой процентной

ставкой в 6%, погашается аннуитетами величины $47479,28

постнумерандо. Часть каждого аннуитета, идущая на погашение

процентных денег, составляет 6% от существующего в момент

совершения погашающего платежа остатка долга (без учета

процентных денег). Составить план погашения займа.

Решение. Введем следующие обозначения:

, D

– процентные платежи за 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й

годы соответственно (части аннуитетов, идущие на погашение

процентных денег),

, B

– выплаты долга за 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й годы

соответственно (части аннуитетов, идущие на погашение долга),

, Z

– остатки долга после внесения 1-го, 2-го, 3-го, 4-

го, 5-го аннуитетов соответственно,

A = 47479,28 – величина каждого аннуитета.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Таким образом,

D = D

+ D

Z = B

+ B

Найдем величину первого процентного платежа D

= 200000 · 0,06 = 12000.

Первая выплата по погашению долга представляет собой разность

между аннуитетом и процентным платежом:

= A – D

= 47479,28 – 12000 = 35479,28.

Следовательно, после первого погашения долг сокращается на

$35479,28 и оказывается равным

= Z - B

= 200000 – 35479,28 = 164520,72.

Вычислим теперь процентный платеж на остаток долга:

= 164520,72 · 0,06 = 9871,24.

Вторая выплата долга

= A – D

= 47479,28 – 9871,24 = 37608,04.

Далее, по аналогии находим:

= Z

– B

= 164 520,72 – 37 608,04 = 126 912,68,

= 126912 · 0,06 = 7614,76,

= 47479,28 – 7614,76 = 39864,51,

= 126912,68 – 39864,51 = 87048,16,

= 87 048,16 · 0,06 = 5222,88,

= 47479,28 – 5222,88 = 42256,4,

= 87048,16 – 42256,4 = 44791,76,

= 4479,76 · 0,06 = 2687,52,

= 47479,28 – 2687,52 = 44791,76.

Если из остатка долга вычесть последнюю выплату, получим

= Z

– B

= 44791,76 – 44791,76 = 0.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Ответ. Представим план погашения займа в форме таблицы 5.

Таблица 5 – План погашения займа

Год

Аннуитет Остаток

долга

Процентный

платеж

Выплата

долга

1 47479,28 200000 12000 35479,28

2 47479,28 164520,72 9871,24 37608,04

3 47479,28 126912,68 7614,76 39864,52

4 47479,28 87048,16 5222,88 42256,40

5 47479,28 44791,76 2687,52 44791,76

Итог 237396,40 0 37396,40 200000

2.4. Погашение ссуд платежами, содержащими одинаковые

выплаты долга, в случае, когда процентные деньги погашаются

в зависимости от остатка долга

Задача. Заем величиной $150000, предоставленный на срок в 5

лет с расчетом по схеме сложных процентов с годовой процентной

ставкой в 5%, погашается аннуитетами постнумерандо с

одинаковыми выплатами долга. Процентные деньги на аннуитеты не

начисляются. Часть каждого аннуитета, идущая на погашение

процентных денег, составляет 5% от существующего в момент

совершения погашающего платежа остатка долга (без учета

процентных денег). Составить план погашения займа.

Решение. Обозначим символами A

, A

– аннуитеты за

1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й годы соответственно (в рассматриваемой задаче

они различны). Так как Z = 150000, p = 0,05, n = 5, то ежегодные

выплаты долга

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

= B

= Z/5 = 150000/5 = 30000.

Первый процентный платеж

= Z · p=150000 · 0,05=7500,

следовательно, аннуитет

= B

+ D

= 30000 + 7500 = 37500.

Поскольку после первой выплаты долг уменьшается на сумму B

, то и

процентный платеж, а, значит, и аннуитет, уменьшаются на

соответствующий процент от выплаты B

= A

– B

·p = 37500 – 30000 · 0,05 = 37500 – 1500 = 36000.

Совершенно аналогично находим:

= A

– B

·p = 36000 – 1500 = 34500,

= A

– B

· p = 34500 – 1500 = 33000,

= A

– B

· p = 33000 – 1500 = 31500.

Ответ. Представим план погашения займа в форме в таблицы 6.

Таблица 6 – План погашения займа

Год Остаток

долга

Процентный

платеж

Выплата

долга

Аннуитет

1 150000 7500 30000 37500

2 120000 6000 30000 36000

3 90000 4500 30000 34500

4 60000 3000 30000 33000

5 30000 1500 30000 31500

Итог 0 22500 150000 172500

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

2.5. Погашение ссуд при помощи выплат долга, изменяющихся

по арифметической прогрессии, в случае, когда процентные

деньги погашаются в зависимости от остатка долга

Задача. Заем величиной 200000 долларов погашается в течение

5 лет аннуитетами постнумерандо, причем выплаты долга от года к

году:

a) увеличиваются на 5000 долларов,

b) уменьшаются на 5000 долларов.

Годовая ставка простых процентов равна 6%. Процентные деньги на

аннуитеты не начисляются. Составить план погашения займа в

каждом из этих случаев.

Решение.

а) Так как Z = 200000, p = 0,06, n = 5, d = 5000 (разность

арифметической прогрессии), то первая выплата B

долга находится

из уравнения

2 ( 1)

B d n

n Z

+ −

⋅ =

левая часть которого есть сумма n первых членов арифметической

прогрессии. Следовательно, первая выплата долга

= Z/n – d(n - 1)/2 = 200000/5 – 5000(5 - 1)/2 = 30000,

первый процентный платеж

= 200000 · 0,06 = 12000,

а первый аннуитет

= B

+ D

= 42000.