Саитова Р.З., Карамов В.И. (сост.) Контрольные задания по математике для слушателей подготовительных курсов
Подождите немного. Документ загружается.
4 Постройте график функции:
xxу
.
Решение: По определению
.0 при ,
,0 при ,
xx
xx
x
Тогда
0 при ,0
0 при ,2
x
xx
xxу
График будет иметь вид
y
2
0 1 x
11
Контрольная работа №3
1. Чему равна сумма корней уравнения:
0
1
2
4
2
1029
1
2
25
xxxxxx
?
2. Чему равно количество целых решений неравенства:
0
33
273289
x
xx
?
3. Решите уравнение:
xxxx
53
2004
2004
35
.
4. Чему равна сумма целых чисел в ООФ:
60
2
16
1
5
log
xx
x
y
?
5. Чему равна сумма целых решений неравенства:
09log14
2
4
25
log5
5
log
12
log
x
xxx
x
?
6. Чему равна сумма корней уравнения:
?13
1
25
log
5
3
7
log
17
7
log
3
x
x
7. Вычислите без таблиц и калькулятора:
11lg
2
11lg
532
3
log9
2
log5
.
8. Решите систему уравнений :
12
2
log
8
yx
y
x
.
9. Вычислите значение выражения:
5
4
log
4
4
5
log
5
.
10.Определите графически число корней уравнения:
xxx
2
log2
.
12
Решение типовых задач
к контрольной работе № 3
1 Решите неравенство и укажите наименьшее целое число,
удовлетворяющее неравенству
.3
3
1
2
9
1
xx
Решение: По определению
.0 при
,0 при
xx
xx
x
Случай 1.
0x
. Тогда
xx
и неравенство принимает вид
3
3
1
2
9
1
xx
.
Обозначим
,0
3
1
t
x
тогда
.
9
1
2
t
x
.032
2
tt
Найдем нули функции
32
2
ttу
и решим неравенство методом интервалов:
3
2
,1
1
,032
2
tt
tt
при
;13;t
0y
; при
1;3t
0y
.
Учитывая, что
,0t
имеем
1;0t
или
;1
3
1
,0
3
1
x
x
.0 x
Случай 2.
0x
.Тогда
xx
. Имеем
.01333203323332
9
1
232
xxxxx
x
Обозначим
03 t
x
. Получим
.0121
0111201220132
2
222323
ttt
ttttttttt
Решим последнее неравенство методом интервалов.
Найдем нули функции
121
2
tttу
1t
или
2
1
t
- + +
2
1
1 x
13
.
2
1
t
Но при учете того, что
03
x
t
при любых x, неравенство решений не имеет.
Ответ:
;0x
.
2 Решите неравенство:
074log
3
2
x
x
.
Решение: Неравенство равносильно совокупности систем вида
;174
,13
2
x
x
(1)
.1740
,13
2
0
x
x
(2)
Система (1) равносильна системе
,
2
3
,2
x
x
.2 находим откуда x
Система (2) равносильна системе
2
3
4
7
,23
x
x
,
откуда следует, что
3
4
7
x
, так как
3
4
7
.
Ответ:
2,3
4
7
xx
.
3 Решите неравенство:
.
2
1
25
2
log x
x
Решение: Данное неравенство равносильно неравенству
,
2
log25
2
log x
x
x
x
которое равносильно совокупности следующих двух систем неравенств:
(2)
.25
,10
(1)
;25
,1
xx
x
xx
x
Для того,чтобы решить системы неравенств (1) и (2), рассмотрим функции
25 и xуxу
.
Их графики пересекаются в точках А и В, абсциссы
21
и xx
которых являются
корнями соответственно уравнений
,25 и 25 xxxx
откуда находим
.
2
1
2
,
3
1
1
xx
1) Если
,1x
то график функции
25 xу
лежит выше графика функции
xу
. Поэтому система (14) не имеет решений.
14
2) Если
,10 x
то график функции
25 xу
лежит выше графика
функции
xу
на интервалах
.1,0
3
,0,
12
,
2
,1
1
xx
Поэтому
множество решений системы (15) – объединение интервалов
.
3,2,1
Ответ:
.10,0
3
1
,
2
1
1 xxx
4
а) Найдите значение выражения:
1
5
8
log
2536
+
28
3
4
6
log9
6
log
.
Решение:
Выполним преобразование некоторых слагаемых:
1)
64
8
5
log2
5
8
5
log
25
5
8
log
1
25
1
5
8
log
25
.
2)
1006436
.
3)
10100
.
4)
236
6
log4
6
log9
6
log
.
5)
8
3
2
.
6)
36288
.
7)
636
.
8)
16610
.
При выполнении данного задания использовались свойства:
m
a
m
a
1
b
a
b
a
log
1
log
ac
b
c
b
a
b
logloglog
Ответ: 16.
б) Найдите значение выражения
7
11
log
, если
25
5
11
log z
.
Решение:
Распишем равенство
5
11
log25
11
log525
5
11
log zzz
, следовательно
5
11
log z
.
Ответ:
5
11
log z
.
в)
8
6,1log m
, если
25log
m
15
Решение:
2
525log m
m
31000lg6256,1lg,625
4
5
4
2
m
.
Ответ:
3
8
6,1lg m
.
Контрольная работа №4
1. В течение дня по прямой дороге мимо стоявшего на ней наблюдателя
проследовал двигавшийся с постоянной скоростью объект. В 10 ч. расстояние
между наблюдателем и объектом составляло 2 км, в 15 ч. – 5 км, а поравнялись
они после 7 ч. Какое расстояние между ними было в 11 ч.?
2. Сколько килограммов спирта нужно выпарить из 45 кг 90%-го раствора
этого спирта с водой, чтобы сделать его 50%-м?
3. Сумма первых двух членов геометрической прогрессии равна 28, а сумма
следующих двух членов равна 252. Найдите сумму первых пяти членов данной
прогрессии, если знаменатель прогрессии отрицательный.
4. Радиус основания прямого кругового цилиндра
2
. Найдите объем
цилиндра, если площадь его полной поверхности равна
24212
. (Число
считайте равным 3).
5. Квадрат целого числа, меньшего пяти, умножили на само это число,
увеличенное на четырнадцать. Найдите наибольшее значение такого
произведения.
6. Найдите наименьшее целое значение функции
22sin3cos2cos3sin
512
xxxx
y
7. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в т. О,
причем АО=3ОС. Площадь треугольника АОD равна 36. Найдите площадь
трапеции.
8. Найдите длину промежутка возрастания функции
1
2
5
x
x
y
.
9. При каком натуральном значении параметра а уравнение
axxx 9
2
3
3
имеет ровно 2 корня?
10. Число 54 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых, два из
которых пропорциональны числам 1 и 2, таким образом, чтобы произведение
всех слагаемых была наибольшим.
16
Решение типовых задач
к контрольной работе № 4
1. Дан треугольник MNK, точка О – центр вписанной окружности.
33ON
,
2OK
,
7NK
. Вычислить величину угла NMK в градусах.
Решение:
О – центр вписанной окружности
1)
cos2
222
NKOKNKOKON
NKOK
ONNKOK
2
22
cos
;
28
26
28
2349
722
27494
cos
;
14
13
cos
;
14
13
arccos
.
2)
cos2
222
NKONNKONOK
7
34
37
312
37
12
3314
2349
7332
44927
2
222
cos
NKON
OKNKON
;
7
34
arccos
.
3)
22 NMK
.
7
34
arccos2
14
13
arccos2cos22coscos
NMK
7
34
arccos2sin
14
13
arccos2sin
7
34
arccos2cos
14
13
arccos2cos
=
2
1
7
34
arccos2sin
14
13
arccos2sin
7
34
arccos2cos
14
13
arccos2cos
.
Здесь используются формулы:
0
120
3
2
2
1
arccos
;
98
71
98
98169
1
196
169
21
2
cos22cos
;
49
47
49
4996
1
49
96
1
49
316
2
7
34
arccos2cos
;
14
13
196
169
12
14
13
arccoscos
14
13
arccossin2
14
13
arccos2sin
98
339
714
1333
14
13
196
169196
2
;
49
38
7
34
7
1
2
7
34
49
48
12
7
34
arccos2sin
;
2
1
49
38
98
339
49
47
98
71
;
2
1
cos MNK
,
0
120MNK
.
Ответ:
0
120MNK
.
17
М
N
K
O
2 Найдите все такие значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
05
45
baxxx
для любого значения b имеет ровно один корень.
Решение:
Рассмотрим функцию
baxxxxf
45
5
.
Она (как многочлен) определена и непрерывна на множестве действительных
чисел. Многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный
корень. Поэтому нам необходимо найти все такие значения параметра а, при
каждом из которых для любого значения b этот корень единственный.
Находим
axxxf
34
205
. Если
точка
x
, в которой
xf
меняет знак с
“плюса” на “минус”, т.е. если точка максимума функции
xf
, то сам максимум
baxxxxf
45
5
может быть равным нулю благодаря выбору
.5
45
axxxb
Тогда в силу непрерывности функции будем иметь (кроме
x
) еще один
корень, больший чем
x
, что не соответствует условию задачи.
Таким образом, необходимо и достаточно, чтобы производная
axxxf
34
205
была неотрицательна при всех значениях а. Вторая
производная
3206020
223
xxxxxf
имеет критическую точку х=3, откуда
находим минимум производной
.135320353:
34
aafxf
При
135a
производная
xf
принимает только неотрицательные значения.
Функция
baxxxxf
45
5
возрастает на R и имеет ровно один корень.
Ответ:
135a
.
3 Число 18 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была
наименьшей.
Решение: Пусть одно из слагаемых равно х, тогда другое по условию 18 – х.
Здесь х может принимать любые значения, а функция
32436218
2
2
2
xxxxxf
должна принимать наименьшее значение.
18
Имеем
364
xxf
. Итак, критическая точка всего одна и (проверьте сами!)
является точкой минимума. Значит, минимальное значение
xf
принимает при
х = 9.
Ответ: 9 и 9.
4 Найдите высоту конуса, имеющего наибольший объем среди всех
конусов, вписанных в сферу радиуса R.
Решение: В сечении сферы плоскостью, проходящей через ось конуса,
образуется окружность радиуса R с центром в точке О, а в сечении конуса –
равнобедренный треугольник АВС.
Пусть D – центр основания конуса, h – его высота, r – радиус основания. Тогда
ВD = h, АD = r. Продолжим отрезок BD до пересечения с окружностью Е.
Поскольку
BAE
прямой по свойству перпендикуляра, опущенного из
вершины прямого угла,
hhRrhRBDBEEDDBEDAD 2
2
ьно,следовател ,2 где ,
2
. Пусть V –
объем конуса, тогда
.34
3
1
34
3
1
откуда
,2
3
1
2
3
1
3
1
2
3222
hRhhRhV
hRhhRhhrV
Заметим, что
Rh 20
и на интервале (0;2R) уравнение
0
V
имеет
единственный корень
3
4R
h0 при 0 причем ,
3
4
V
R
h
и
.2
3
4
при 0 Rh
R
V
Следовательно, объем является наибольшим при
.
3
4R
h
Ответ:
.
3
4R
5 Три числа, сумма которых равна 78, образуют геометрическую прогрессию.
Их можно рассматривать также как первый, третий и девятый члены
арифметической прогрессии. Найти эти числа.
Решение:
19
Пусть числа
3
,
2
,
1
bbb
- члены геометрической прогрессии,
3
,
2
,
1
aaa
- члены
арифметической прогрессии. Тогда
,
12
qbb
2
13
qbb
,
,
12
daa
daa 2
13
.
Имеем систему уравнений:
78
321
78
321
ааа
bbb
78)8
1
()2
1
(
1
78
2
111
dаdаа
qbqbb
7810
1
3
78
2
1
1
da
qqb
11
ba
,
qbda
1
2
1
dbqb 2
11
2
1
1
qb
d
78
2
1
1
10
1
3
qb
b
,
1
5
1
5
1
3 bqbb
=78,
553
2
1
78
2
1
1
78553
1
qqq
qqb
qb
,
034
2
qq
,
1
4
D
,
12
2,1
q
,
1
1
q
не удовлетворяет;
3
2
q
,
6
13
78
931
78
2
1
78
1
qq
b
,
18
2
b
,
54
3
b
.
20