Романов В.Ф. Математическая логика и теория алгоритмов. Задачник

Подождите немного. Документ загружается.

Б-l

.",t I

a(J

BлaДимиpский

гoсyДapственньlй

yниBеpсиTrT

B.Ф. POMAIIOB

MATш

ivIATI,tt[ш'

lш.fl

oгикA

Tш'

ФРш{я

AJIГ

oPI,ilTNIoB

ЗaдaчHик

BлaДимиp

2003

Минис'гepствo

oбразoвaния

Pоосийскoй

Фeдеpaции

Bлaдимиpский

гocyдapотBеIrнЬIй y}Iивepситет

B.Ф.

PoМAHoB

MATЕIVIATИЧЕ

CКAЯ ЛoГИКA

TЕoPИЯAЛГoPиTMoB

Зa.цaчник

Бпбд:

]Т l

1l l

BдГУ

Бра;;l;-::.цi:l

**t;д

Bлaдимиp

2003

У.цK 519'l61

P58

Pецензенты:

,{oктop

теxничeскиx

нayк, пpoфессоp,

зaведyrощий кaфедpoй

меIrе,ц)кMeнтa

Bлaдимиpскoгo госyдapстЁеннoгo педaгoгическoго

yнIlBеpситета

H'Г. Hаянзuн

,(oктop

тexltиЧеских

нayк,

дoцeI{T

BлaдимиpскoГo гoсyдapсTBel{I{oгo yllивеpсиTrTa

И.P.,\убoв

Печaтaeтся lro

pеlIIеrrиIо peдaкциoннo-издaтeлЬскoгo

сoвеTa

Bлaдимиpскoгo гoсyдapcтBеIlнoгo

yrtивepситетa

Poманoв B.Ф.

Р58 Математическa,I лoгикa и теopия

aJIгopиTмoв:

Зaдauник

/ Bлaдим. гoс.

yн-т'

Bлaдимиp, 200З.

24 с.

IsBN

5-89368-42з-0

Пpивeденo кoмIlaктнoе мIlo)коствo зaдaч IIo oснoвIlьIМ paзделaм

кypсa

''Мaтемa.

тиЧескaя лoгикa и Tropия aJlгopитмoв... Зa'цaчник пpeднil}нaЧе}I

для

aкTltвIloгo изyчеllия

кypсa и

дрyгиx

дисципЛ!Iн,

сBязaнIIьтx c мaтеМaтическoй

лoгикoй

пpoгрaмNrиpoBaнием.

втopой чaсTи

зaдaЧникa

дaIlьI

oтвeты и

yкaзarrия

pешIеIIиям

зa'цaч и пoЛtlьlе

реIIrения

чaсTи зaдaч из

paздеЛa

''Фopмaльньtе

cисTrмы и

лoгический вЬtвo,ц''

для

иЛ-

JIIoстpaции TиповЬIх мето'цI{ческиx

пpиемoB

дaннoгo

pаl}деJla

мaтемaтI,Iки.

Cтpyктypa и сoдеp)кaнIrе

зaдaЧникa сoглaсyются

о требoвaниями заoчной и

дис-

тaнциoннoй

фoрм

oбyuения.

.(ля

специaльнoстей 071900'220100'

07l800' 210200,2l0300'

a тaк)ке

дJIя

отy-

дентoв

aсIlиpaнтoв.цpyгиx

специtUIьнoотей, I{зyчaroщих

дискpетнyю

мaтeмaтикy.

Ил'

Бg6лlloгp.: 6 нaзв.

УДК 5l9.l61

ISBN 5.89368'42з.0

@ Bлaдимиpский гoсyдapственньrй

yнивеpситет,

2003

BBЕ.ЦЕtIиЕ

B кpaткoм

с6оpнике зaцaч, кoтopьIй

следyеT

paссМaTpивaтЬ

кaк

Ilрaктичeскoe пoсoбие,

дoIIoлHяющеe

лeкциoHIIьIй кypс lro

дI{сцllIlлиHе

''МaтeмaтическaЯ

лoгикa I{ тeopи'I aлгopитмoB','

IIpиBеденьI 70 зaдaч пo

oсt{oвIlьrl\,t

pa3,целal\,l

дисц}IIIлиEьI.

Этo

коМIIaкTнor

мнo)кесTBo зa.цaч

являrTся бaзoй

.цJlя

пpaктиЧeских

зaнятий; сTyденT' caМoсToятeльI{o

pеrшивrший

Bсе 3a,цачи' Мo)кrт

yBеpelrнo

чyвcтвoвaтЬ себя нa экзaмeне.

Paзyмеется,

pеlIIитЬ

зaдaчи lrloхсt{o Toлькo

IIpи нaличии

TеopеTичrских

знaний

пo nprдMery: Bсr пo}Iятия' опpе,цеJIe[Iия'

TеpМиtIьI' I{a кoTopЬIx

oснoBaIIьt зaдaЧи,

дoJIжI{ЬI

бьrть освoеньl.

Зaдaчи

снaбrкеньr

oТвеTaМи

yкaзal{ияМи

prrцeниям.

Этy

нaсть сбop-

I{икa

peкoп,Iен.цyrTся

испoльзoвaть ЛиIlIЬ пoсле

бeзyоIIеIIIItьIx

пoпЬIToк

реIIIиTЬ

зa.цaЧy

сaМoстoятелЬнo или

если тpебyетсЯ пpoBеркa пoлyчеHIIoго

peЩе}tия.

Элекщоннaя

веpсия сбоpникa

I\4oжеT

пpедoотaвляТься сTyдеrrтaм

Пo

чaстяМ: сtlilчалa

ТoЛькo

зaдaчи'

Зaтем' B

поtxo.цящий

(гto

МHrEию

преПo.цaBaТеля)

мoмент

peшertия.

B элекщoннoй

веpclrи

IIеpeЧеItь

зa'цaч

МoжеT

вapьиpoвaTЬcя' Чтo

дeJlaeт

сбopник

пoJIrзнЬIп{ IIpи

lrзyчeнии

дpyгиx

.цисцI.IIIлиH'

сBязaнньIх с

дискpeтнoй

мaтемaтикoй и ПрoгpaмМиpoBal{иеМ.

Cбopник

зaдaч' в сoчеTaниI,t с l]pиведrнпoй литеpaтуpoй пo шрeдМетy'

мo)кет бьlть

pекомeн.цoвaн

II сTy,цеIrтaМ зaочнoй

фopмьI

обyveния.

I. ЛoгикA BьICкA3ЬIBAIIий

1. Coстaвить

тaблицьl }lcтиtII{oсTI{

.цЛя

слeдyloщиx

сoстaвньIх

вьIскa-

зьtвaний:

хэ{х&у);

б)

i*@&Й:

в)

(х&y)

-(-х

v-y);

г)

(х v

у)

-(-х

-У).

2. Известно,

uто

{v,

фyнкциoнaлЬЦo

пoЛнaя

систеI\{a

(ФПС).

,{oкaзaть,

ЧTo систеМьl

{',

}, {&,

}

тожe ФПС.

Являетоя

ли oтIеpaциЯ

''|''

(штpих

Шеффepa)

aосoциaтиB}tой?

.{aть

ее

теopетико-Mнoжeстве

I{yIo и

l{теptlpетaцию.

Тe

х<е

BoпpoсЬI

для

oпepaции

(слoжrние

пo

mod

2).

Пpoвepить

сJlе.цyroщие

paBнoсиЛьIloсти

фopмyл

-p-plp;

б)

q:(pIp)|(qIq);

в)

p&q:Ф|ф|fu|q);

Г)

Эq:p|(qIq).

6. Пpoвеpить

свoйствo

aссoциaтиBt{oсТи:

a) импликaции;

б)

олorкения

по

мoдyлrо

в) стpeлки

Пиpсa.

7. Пpовеpить

свoйствo

дистpибyтивIloоTи:

a) имшликaции

и кoнъ}oнкции;

б)

импликaции

дизЪIoFIкции.

Cкoлько

IlМeeTся

фyнкций

aлгебpьI

JIoГики

пеpeменньtx?

Нaйти

все

cyщесTBе!{tlьIе

IIеpеI\,{енI{ЬIе

сЛедyloщи)i

фyнкцliй:

f(х,у,z):х&уv-у&z;

"f@,у

)=х&уv

х;

в)

(х,у,z):('-U

эz)) э((х

:эу)

э@

:эz))'

10. Bьlpaзить

о пoмoщьIo

сyпеpпoзиций:

a)&

.rеpез

(perшение:

х&у:

-(-х

v-y));

б)v.lеpез&и-;

в) эвеpез

г)

-э

vеpeз

& и

д{)

чеprз

Э I{

е) &

vepез

яс)

lоpeз

э и

з)

.rеpез

Ф и l;

и) V

чepез

Э;

l l.

Мoхснo

ли вьIpазиTь

э vеpeз

v ?

12'

Пpеoбpaзo'aть

paв}roсиflьIlo

фopмyльr

тaк,

uтorбьI

ollи

сoДержaли

TоJIькo yкaзaннЬIe

oПеpaЦии:

{х

:э

-у)

:э(у

v z);

oпepaции:

кoEЪЮIlкция

и сtTpицal]иe;

б)

((х

у)

(-х

v-y))

э(Q

(-х

-Й);oпеpaции:

'цизЪIoнкция

oтpt{цaниr;

в)

-(r

:э

-y)

э(-х

z); oпеpaции:

иМпликaция

отpицaние;

г) (x

&y) э(u

z); oпepaции:

сTpелкaПиpсa.

13. Зaпlrсaть

дrrя

фyнкции

oТ Tpеx llеpeмeнньlх,

зaдaннoй тaблицей ис-

тинItoсти

(знaueния

фyнкции

lra Еaбopax IIереМeIIнЬrx вьrбpaньr

llpoизвoлЬ-

нo),

сoвеpt.tlrннyю

дизъIoItкT}lBIryю

нopМtlльнyrо

фopмy

(C,Ц[IФ)

сoвep.

шel{нyto конъюIIкTиBнyIo

нopмaльнyro

фоpмy

(CкIrФ).

14.

ПoстpoиTь lrpeдстaвление

фyнкции'

зaдaЕI{oй тa6личнo'

Bиде

пoлиttoМa

Жегaлкинir

(бaзио

Жегaлкинa

{&,

Ф,

}).

15.

,{oкaзaть'

чтo нeльзя

вьIpазиTЬ с

lloМoЩЬlо

сyпеpпoзиций:

неpез &,v,э,-;

б) э нepeз

Ф.

] 6. Bьlяснить' IIолIIьI JIи

слеДylощиr

сисTеI\4ЬI

фyнкций:

t- );

б)

tI};

в)

{э'

0};

г)

{Ф,v'

1}'

17.

Является ли

сllстеМa

фyнкций {=,

фyнкциoпaльнo

пoлнoй?

Реализoвaть в ней

ф1'нкциro

Ф.

Пpoвеpить aн€rЛитllчески paвнoсиЛЬнoсTЬ:

(,4

B){-А

B)(-А v

С)(B

Irpuлlеaонuе. Знaк

''&,'

фоpмy,'u*

"u"'o

oпyскaeтс'я' чтo

.цеJlaет

фopмyльt

п4е.tlее Гpo1\{oз.цкиМlr. B

дaннoм

IrриMеpе

o}I

oпyщeн

междy

скoб.

кaми

(дизъюнктaми).

19. Moхtно Ли BЬIpaзиTь

лlобyю

фopмyлy

Лoгики вьlск€lзЬlвaltий

тoлькo

чеpeз вьIск€lзьIBaItие

''Если

тo

инaЧе'' и кoнстaнТьt

Truе, Falsе?

20. Кaктlе TеopеMьI Tеopии МI{oжестB

Мo)I{нo

цoлyчиТь

из

сле.цyющиx

To)t(дестB

aлгебpьl

JIoгикI.r

(а&(-аv

b))эb:1;

(а

э(а

D): 1.

в)

а&b

а=а?

lI.

ЛoгикA

IIPЕДI{кATOB

l. Укaзa'ть, в кaкиx из

пpиBе.цeHньIХ

пytIкToB зaпиcaнЬI IIpе.цикaтЬI:

a) х2+2>a;

б) х>З;

в) х2+ 2х-З=О:

сmуdенm вmopoеo куpcа;

I,)

вoлк

mpавoяdнoе

'tcuвomнoе

.{ля

пpедикaтoв

укaзaTь

ПpедМеTнylo

облaоть и М}Iсtll(rсTвo

исTиIlt{oсТи.

loкaзaть

д;lЯ

llpедикaтoB

paBI{oсиJ1ьI{oст!1:

-(Vх

P(х)) <+

1х

(-P(х));

б)

-(Зr

Р(х))

<э

Vх

(-P(x)).

.{oкaзaть

paвнoсиЛ ьнoсти.:

(P(x)

& r) ё

Yх

P(х) &

б)

(P(х)

v Г)

V.тP(х)

v ).;

в) Зх

(P(x)

с+

3х

P(х) &

г) Зх

(P(x)

v Г) е Зх Р(х)

v Г.

ЗДеcь

У- ПepеМrннor

вьIcкaзЬIBaние

или

формулa,

нr

сo'цеp)кaщa'l

)с.

.{окaзaть

сJrr.цylощие

свoйствa

коММyTaтивIrocти

квatrТoрoB:

Vх

P(*,i э

Vy Vx

P{х'Й;

б) ЗхЗy

P(х,у)eЗyЗх

P(',у)'

5. СпpаведлиBa

лI,t кoNrMyTaTиBIIoсть

paзнoиMeItньIK

квaIITopoв:

YхЗу

P(х,л cэзуYх

P(х,fl?

.{oкaзaть

cлrд}.Ioщие

свoйотвa

дистpибyтивЕIoст,4

кBaнтс|pоB:

a) Vх(Р(х)

&Q@Dс+VxP(x)

&YхQ@);

б)

]х

(Р(x)

Q\х))

<э Зх

P(х)

v Зх

Q(х)'

Пoкaзaть

(пpиведя пpимеpьr),

чTo

квaнтоp всеобщrroстli

tIе

.цисTpи-

бyтивен

oтнocителЬtto

,цизъloнкции'

квaнTop сyщест'Boвaниjq

oTтtоси.

тeльIto кotiъIoнкции

Пpе'цикaToв.

8. Bьlпoлнить

тIpиведeние

фopмyльt

-(ЗхP(x):эYу

Qb,D.

9. Пyсть

Л(x)

е Зу

P(х,

у).

[aть

гeoметpичоскylo

иI{тrрпpетaци}o

эToгo

сooTtIoIlIеtIия

rra

кoop.цинaтнo

й плoокo

с"ГLl х'

у.

10. Пyсть

Л(х) э

Yу

P(х"y),

пpиueм мЕo)t(естBo

исT.иlll{oстl{4

lIpе.цикaтa

д(x)

oтpeзoк

[0'

i]' Пpивести

приМер Мно)кrсTBa

ис.гиlllloотnl

гIpе.цикaTa

P(х,у).

1 1. ПpеобpaзoBaTь

в пpе,цBaprннyro

фopмy

сЛе.цylоЦ{ylo

фоpмyлy:

Vх P{х)

э Зх Л(х).

1 2.

ПoотpоитЬ

скyJrепtoBскyЮ

стaн,цapтнyro

фopмy

llредикaTa

Y х Yу

Y z Зu

Зw

P(х,

у,

z, u, v, w),

l3.

,{aть

oпprделе[tие

и IIpивесTи

цpиМеp

oГpaЦI{tlеIlнoго

пprдикaтa.

ItI. ФOPMAЛЬIIЬIЕ сисTЕMЬI и ЛoгиЧxскиЙ

BЬIBO.ц

Пyсть

yстaнoвJlеtlo'

чТo

если

сeть

Пeтpи

иIIвaриaнпIa'

тo

oнa

oгpa-

ниЧенa' Чтo

мoxtно ск€tзaTь o неи}rBapиaнтной сети Петpи? Чтo можнo

скa-

зaTЬ o I{еогpaнl1чеIlнoй

сeти Петpи?

Известно,

Чтo eсЛIt чисЛo

дeлится

нa 6,

тo otlo

делится

ll.aЗ ут

нa2'

СфopмyлиpовaтЬ

кoнTpaпoзициro'

3. Пyсть

Bеpнa теopеI\,ra

''НI,IльпoTентньlй

идеаJI явЛяеTcя MoдyляpIrьIM

paдикaлЬIlьrм',' HyrкдaюTcЯ l|vl в

дoказaтeJlьствax

cJIe.цyIощие

yтвеp}кдe.

ниЯ:

''Если

ццraJI

не IlиЛьПoTеt{ТItьIй, то orr }Iе

pa.цикaлЬItЬlй''

''Еcли

идeaЛ

Ее Mo.цyляpeн'

тo oн Itе I{ильПoTeнтньIй',.

4.Тpи

I]ttкoJIЬI]lt]Ka'

А, B и C, вьrзвaньl

ДиpeкTopy.

B беоеДе с

диpeк-

тоpoм l

yтвеp)кдaеТ'

uтo B

вpет,

yтвеpтсдaет'

что С вpeт, a

yтвep-

ж.цarT'

.lтo

oбa,

А и B,

вpyт. Чтo

NIo)I(eT

ЗaклIочить

диpектоp?

5. Mожrro

ли из сJleДyIопIeй совoкyпности

фaктoв:

(F|)

Mаpк 6ыл

pu"l'lлянuнo*t;

(F2)

Itезаpь бьlл duкmamopoм;

(F3)

pILфU.я||e'

кomopьtе неttавudeлu

duкmаmopа,

nьlmалuсь

у6umь

e,?o:

(F4)

Puлtлянe

бьtлu лuбo

npеdаньt

duкmаmopу, лu6o ненавudелu

eeo;

(F5)

Mаpк не бьtл

npеdан

l.|езаpto

вЬIвeстlI

дoкaзaтельсTвo

Тoгo' uтo Mapк пьlтаJIся

yбить

l{езapя?

6. Пpовepьте, яBJIяIоTся Ли пpaBильньIми

сjlедylorцие paссyж.цeнIrя

(возмолснo,

чTo B Цих oТсyTсTвyЮт неoбхoдимьtе посЬIлки):

''ЕсДи

филoсоф

дyaЛI,lст,

otl

не

Мaтеpи€LIтисT. Если

oн

нe N,IaTе.

риaJIист'

тo

ott

диaлrктик

иЛи lrtетaфизик. Гегель

нe

метaфизик.

Cлeдовa-

TеIIЬIto' Гeгеriь

диaлектик

или

дyaлист''.

''Heкoтopьlе

BoдIIЬIе

)кt.tвoтltЬIе

Ilе яBJIяIoтся

pьIбaми, Iloскoлькy эTlI

жиBoтtIЬIе

*,геплoкpoвнЬIе''.

''Bсe

}teTaJIJIЬI

кpиcTЕtллическиr вeщесTвa' пoскoлькy

III{ oдI{o

кpисTаЛЛиЧeскoe

BrIцестBo I{е. яBляется

ПЛaстиЧItьIм

и tIи oдllн

I\{еT€lЛл

IIr

плacтичен''.

''Bсe

дельфиньl

киТЬI.

Hи

oднa

pьIбa

не явЛяеTся

дельфинoм,

пoтo.

Nty чтo

I{и oДнa

pьrбa

нe

является китoN{''.

,{oкaзaть

сpeдcтваI!{Il исчисЛеIIия BьIска:}ЬIвaнIlй теoрeмy

Дe

ПpoпозициoнaI|ьHaЯ пrpeМеIIIIaя.

8. Paосмотpим

paссyждrние:

''Если

6ьr

оI{ He

скaзaJI eй,

oнa

бьr и не

yЗнaJla.

A не спрoси otia егo,

oll

не

ск€BaJI бы ей.

онa

уЗIlaЛa.

Cледовaтельtto,

oнa спpoсиЛal'.

Пyтем

фopмaльнoгo

aнfftизa вьIясIIить'

Bеpllo Jtщ tIpиBеденI{oe

paс-

сyкдециr.

Bьlяснить

пyтем

фopмалЬIloго

aIIaJIизa'

BеpНo JIи

paссyя(,цеIlие:

''B

хоккrй игpaloт нaсToящие Мy)l(ЧинЬl'

Tpyс

не игpaет в

хoккей.

в xoккей нe игparo.

Знauит,

я трyс

(!?)''

0. PaоомoщиN,l

yтвеp)к.цениЯ:

''Если

этa

taмa

пpиxoдится Чapли

тrтей, тo oнa

дoл}I(нa

пpийти

(нa

свeтский

пpиешr) вМeсте с Чapли''.

.'Ho

ее tlикогдa не Bи.цеЛи

BМесте с

Чapли''.

Пpoвepить

сpедствaМи

фopмaльнoгo

aЕaJII{зa

пpе.цпoлaгaемoe

зaклIo-

vение

'.Этa дaМa

нr тетя Чapли.''

Пptu''lеuанuе.

Из

извеотнoгo

MtoзикJIa мЬ1 знaеI\l'

чTo Тетя

пеpеодетьtй

Чapли'

l. PaссмoтpиМ

дoкaзaтелЬIroе

paссyхrдениr:

'.Кaждьtй

чeлoвек сl4еpTrн.

Сoкpaт

чеЛoвек.

Cле,цoвaтeльно,

Coкpaт сMерTeн''.

Пoстpoить

сxемy

paссy)кдеtlltя с иclloльзoвaниеlt{ Iloдстaнoвoчнoгo

чaстнoгo сJryчaя

длЯ

пpедикaтнoй

пеpeменнoй.

12.

.{oкaзaть

Метoдoп{

pезoJIIoцI{и'

чTo еcлI{

Кaщей

6еосмеpтен,

тo

oн

I{e

чеЛoBrк.

13.

Oдин из aфopизмoв

Кoзьмьr Пpyткoвa звyЧит тaк:

''Hет

стoJlь

B9Ли-

кoй

вещи,

кoTopy}o нr

IIpевЗоIIIлa бЬI BеЛичrtнoй еще 6oльuraя;

I{ет вещи

столь

мадoй,

кoTopyto

не BМесTиJIaсЬ

бЬI еЩе меt{ьшaя''.

Зaписaть

фopме

IIpедикaTa

этoт aфopизM' исtloлЬзyя

aтoмньlй

пpe.Ци.

кaт PQ,l,x)l

,'y

бoльruе x''.

Явдяroтоя

ли

обе

'raсти

aфоpизМa тo}кдествeltнЬlми

с Toчки зpеtlия

пepe.цaвaеМoй

инфоpмauии?

14' Bьцэaзить

с пoмoщЬю пpедикaтoв:

yтвеpждeниr

''oдиri

и тoлькo

о.цин

oбъeкт

oблaдaет

свoйсTBoм

P''

eгo

oтрицaнце;

б)

yтвepждение

''Пo

меньшeй Мepе

ДBa

oбъекTa облa.цarот

свoйствoм P''

и егo оTpицаBие.

15.

Peшить, ПриМeIIиB Il{еTo.ц

pезолtоции'

BьIПoлIIиI\4a ли бyлевa

фopмyлa:

(а

rJ) (-a

Vrс)

(эa

-f)

е)

(-b

е)(-fv

-е)

(еv-b)(Ьvf);

б)

тa же

фopмyлa,

rto без пoсле.цней скoбки;

в)

(-x./

у)

V lv)

-y)

(-t

(-w

-v);

г)(-tv

-v)(:<v

y)(-zv

-y)(wV

rv)(xv

z)(:WV

-t)(tv -v)

(-хv

z)(yv-x).

16. B кaком

cлyчar

pеЗoЛЬBентa

/цByХ дизъIoнкций,

кaж,цaя из котopьIх

сo.цeр)т{}rT

Tpи

лиTeр.ЦIa, тaкже соДеp}киT тpи лиiеpaлa?

Iv. TЕoPIlяAлгoPиTMoB

1. Пo

кaким КpитеpиЯМ oIlpедеЛяеTсЯ

оЛo)кнoсть aлгopиTМa

.цля

llекo.

тopoй

зaдаru?

Чeм oпpедеЛяется сJIоrltнoсTь зaдаuи?

чeм

paЗIrицa

мrждy

слoжttoсTьIo

€lJlгoриT'Мa и сЛo)кнoсTьЮ зa.цaЧи?

2' КлaссифициpoвaтЬ

ПеpечиcЛrнEьIе }tи)Itе

зaдaчи Пo слoжlIосTи

(полиномиanьI]ЬIе,

экспoIIенциальIIЬIе,

NP-трyдньte, NP-пoлньre):

a) сopтиpовкa

чисел;

б)

пере.rисление

Bсrх переоTaнoвoКДЛЯ

п эJrеМеI{ToB

Мllо)кeстBa;

в) нaxoждениe

эйлеpoвa

цикЛa

B гpaфе;

г) нaxoждениe

гaмильTotloвa

циклa

в гpaфе;

д)

пере.lислеltllе

всrх

нaбopoв IIеpеI\'tеItЕ{ьIx

лoгичrокoй

фyнкции

от

IlеpеN!eнIIЬlx;

е)

нaxождение

I{иl{иI\{aJIЬItогo ПoкpьIтия

(стoлбцoв

стpoкaми)

для

бинapной

М,rTpицьI;

ж)

поиск нa гpaфе

в Iшиpи}Iy;