Романов Д.А. Конспект лекций по курсу Моделирование систем для студентов специальности 220400

Подождите немного. Документ загружается.

1. Не позволяют исследовать объекты (предметы или процессы), не

существующие в действительности.

2. Не позволяют исследовать объекты, существующие в действительности,

но недоступные исследователю.

Этих и ряд других недостатков лишен наиболее удобный и универсальный

метод познания действительности – моделирование.

Резюме

1. Для деятельности человека необходима объективная достоверная

информация об объектах, включенных в сферу его деятельности, которую

возможно получить разными методами (путями познания).

2. Наиболее распространенными методами исследования в настоящее

время являются анализ литературных источников и документальных данных,

измерение и его разновидности (тестирование и метод экспертных оценок),

опросные методы, наблюдение, эксперимент и моделирование.

3. Каждый метод получения информации (метод исследования, познания

действительности) обладает как достоинствами, так и недостатками, поэтому

выбираемые методы должны быть адекватны задачам исследования.

Лекция 4. Моделирование как метод познания

План

1. Моделирование как способ получения знаний и его особенности

2. Модели как логические конструкты

3. Адекватность модели действительности

4. Классификация моделей

1. Моделирование - воспроизведение характеристик некоторого объекта

на другом объекте, специально созданном для их изучения, - модели.

Потребность в моделировании возникает тогда, когда исследование

непосредственно самого объекта затруднительно (а в ряде случаев -

невозможно), дорого, требует длительного времени. Между моделью и

объектом, интересующим исследователя, должно существовать известное

подобие. Модель - нечто универсальное, хотя и реализуемое различными

способами, т.е. модель есть способ существования знаний.

Создание моделей преследует 2 типа целей - познавательскую и

прагматическую.

Познавательская цель моделирования - получение форм организации и

представления знаний средствами соединения новых знаний с имеющимися.

Прагматическая цель моделирования - разработка средств управления,

средств организации и практической деятельности путём представления

образцово-правильных действий.

Познавательская и прагматическая цели использования моделей

взаимосвязаны. Достижение познавательских целей моделирования -

необходимая предпосылка достижения прагматических целей.

Познание предметов и явлений окружающего мира и познавательные

процессы являются системами и оперируют возможностью анализа и синтеза.

Суть анализа заключается в разделении целого на части, т.е.

представление сложных систем в виде простых компонентов.

Однако для обобщения знаний необходим обратный процесс, который

называют синтезом. Синтез отвечает на вопрос: каковы должны быть

параметры системы или процесса, чтобы её функционирование отвечало

заданным требованиям.

Анализ и синтез отражены также в науках, которые мы изучаем.

Пример. Такие науки, как физика, биология, биомеханика характеризуют

аналитичность человеческих знаний, в число синтетических наук относят

философию, математику, теорию систем, кибернетику.

Моделирование как метод теоретического исследования выполняет 3

основные функции.

1. Каузальная (объяснительная) функция заключается в объяснении

поведения исследуемого объекта (системы), поиске закономерностей

функционирования системы. Данная функция моделирования связана с

анализом системы.

2. Прогностическая (предсказательная) функция заключается в

прогнозировании поведения системы или процесса при различных

воздействиях (как детерминированных, так и случайных). Различают

поисковый прогноз (оценка будущих состояний системы при сохранении

существующих тенденций) и нормативный прогноз (поиск необходимой

последовательности действий, переводящей систему из исходного состояния в

желаемое).

3. Проектирующая функция - проектирование системы или процесса с

оптимальными или требуемыми характеристиками. Данная функция

моделирования обычно связана с решением задачи синтеза системы или

процесса.

Однако функции моделирования взаимосвязаны. Если задачу разбивают на

этапы-подзадачи, решение которых реализует различные функции

моделирования, то выходная информация предыдущего этапа – входная для

последующего.

Мышление человека является также системным и, как природный процесс,

является внутренним для человека, вытекающим из системности мира.

2. В основе моделирования объектов (систем) реального мира лежит

теория подобия, целью которой является определение сходства и различия

между объектами и системами. Абсолютное подобие возможно в соответствии

с этой теорией лишь при замене одного объекта другим точно таким же. При

моделировании систем, как правило, абсолютное подобие не имеет места,

изучаемый объект заменяется другим объектом - моделью, который с

достаточной степенью точности отображает сущность функционирования

исследуемого объекта.

3. ЛЮБАЯ МОДЕЛЬ ВСЕГДА БЕДНЕЕ РЕАЛЬНОГО ЯВЛЕНИЯ, ЭТО –

ЕЁ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ СВОЙСТВО.

При построении модели мы не можем учесть все факторы, влияющие на

поведение системы или процесса. Отсюда следует, что при моделировании

неизбежно отклонение фактических параметров системы (процесса) от

рассчитанных.

Адекватность модели – её соответствие реальному объекту (или процессу).

Если с помощью модели добиваемся поставленной цели, то говорим:

модель адекватна действительности.

Погрешность моделирования – разность между рассчитанным и

фактическим значением параметра исследуемой системы или процесса:

D=|P(fact)-P(model)| - абсолютная погрешность

E=100%*D/P(fact) – относительная погрешность.

Пример. Для нагрева комнаты сжигают дрова с теплотворной

способностью Q=10000000 Дж/кг. Определить, какую массу дров M

необходимо сжечь, чтобы нагреть воздух в комнате теплоёмкостью С=2000000

Дж/кг от температуры Т1=280 К до температуры Т2=310К? Определить

адекватность модели действительности, если для нагрева комнаты

потребовалось N=6,5 кг дров.

РЕШЕНИЕ.

Необходимое количество теплоты для нагрева воздуха W=C*(T2-

T1)=2000000*(310-280)=60000000 Дж. Количество дров, которое необходимо

сжечь для получения такого количества теплоты,

M=W/Q=60000000/10000000=6 кг. Адекватность модели действительности:

E=100%*(6,5-6)/6,5=8,5%.

Чем меньше погрешность моделирования, тем более адекватна модель

действительности.

Погрешность моделирования возникает из-за неучета ряда факторов либо

из-за неполноты знаний объекта моделирования.

Очевидно, что чем больше факторов будет учтено при построении модели,

тем точнее она будет. Однако возникает противоречие: учесть мало факторов –

модель будет неточной, учесть много факторов – модель будет слишком

сложной. ВЫХОД СЛЕДУЮЩИЙ: учитывать факторы, в НАИБОЛЬШЕЙ

степени влияющие на поведение системы (процесс).

Пример. При решении задач на свободное падение тел мы обычно не

учитываем сопротивление атмосферы, т.к. при небольших скоростях

падающего тела оно относительно невелико (вспомните курс физики! –

школьный!). Однако при значительных скоростях оно велико, и его нельзя не

учитывать (вспомните падение парашютиста с большой высоты).

4. В настоящее время модели классифицируют по следующим признакам.

1. По степени полноты модели с точки зрения теории подобия:

а) Полное подобие - соответствует полному моделированию как во

времени, так и в пространстве.

б) Неполное подобие - обращает внимание только на наиболее

существенные, характерные параметры исследуемого объекта.

в) Приближённое подобие - имеет место приближённое подобие, когда

целый ряд показателей не моделируется совсем.

2. По степени учёта исходной информации:

а) Детерминированные модели - отображают процессы, в которых

предполагают отсутствие случайных воздействий.

б) Стохастические модели - отображаются вероятностные процессы и

события. В этом случае анализируют реализации случайных процессов и

оценивают средние характеристики.

3. С точки зрения изменения объекта во времени:

а) Статические модели - описывают поведение объекта в какой-то момент

времени.

б) Динамические модели - описывают изменение объекта во времени.

4. С точки зрения описываемых процессов:

а) Дискретные модели - отражают описание дискретных систем.

б) Непрерывные модели - отражают описание непрерывных систем.

в) Дискретно-непрерывные модели - описывают системы, включающие в

себя как непрерывные, так и дискретные компоненты.

Наиболее распространённая классификация – с точки зрения

представления объекта в определённой форме:

а) Реальное моделирование – ЗАМЕНА ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА

РЕАЛЬНЫМ (МАТЕРИАЛЬНЫМ) ОБЪЕКТОМ.

б) Мысленное моделирование – ЗАМЕНА ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА

АБСТРАКТНЫМ (СИСТЕМОЙ ИНФОРМАЦИИ).

ПРИМЕР. Макет лыжной трассы - реальная модель (материальный

объект), а вот чертёж здания - мысленная модель (чертёж - это система

графической информации).

Мысленное моделирование в ряде случаев является единственным

способом моделирования объектов.

Резюме

1. Моделирование является наиболее распространенным и универсальным

методом познания действительности, методологической базой анализа и

синтеза систем.

2. Сущностью моделирования является изучение определенных аспектов

реального объекта на объекте-заменителе. В настоящее время модели

классифицируют по 5 основным признакам.

3. Модель как объект-заменитель всегда беднее реального объекта или

явления, и пользоваться ей можно только в том случае, если она адекватна

действительности. Чтобы модель была адекватной действительности,

необходимо при ее построении учитывать наиболее существенные факторы

функционирования системы.

Лекция 5. Виды моделирования

План

1. Реальное моделирование

2. Мысленное моделирование

3. Математическое моделирование как особый вид мысленного

моделирования

3.1. Аналитическое моделирование

3.2. Имитационное моделирование

3.3. Комбинированное моделирование

1. Наиболее распространённая классификация – с точки зрения

представления объекта в определённой форме: реальное и мысленное

моделирование.

Реальное моделирование – ЗАМЕНА ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА

РЕАЛЬНЫМ (МАТЕРИАЛЬНЫМ) ОБЪЕКТОМ.

2. Мысленное моделирование – ЗАМЕНА ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА

АБСТРАКТНЫМ (СИСТЕМОЙ ИНФОРМАЦИИ).

Мысленное моделирование в ряде случаев является единственным

способом моделирования объектов.

Мысленное моделирование, в свою очередь, классифицируют на

наглядное, символическое и математическое.

3. Математическое моделирование - наиболее универсальный и удобный

способ описания объектов и систем реалього мира.

Математическая модель - объект, построенный в результате

установления данному реальному объекту некоторого математического

объекта, а указанный процесс - математическим моделированием.

Математическими объектами могут быть числа, уравнения, формулы,

графики, числовые таблицы и т.д.

Математические модели разделяют на аналитические, имитационные и

комбинированные.

Аналитическое моделирование - представление процессов

функционирования систем или процессов в виде некоторых функциональных

соотношений.

Аналитические методы моделирования применимы для сравнительно

простых систем либо при существенном упрощении процесса при построении

модели.

По своей сути аналитическая модель - взаимосвязь между факторами-

детерминантами функционирования системы или процесса и величинами-

откликами (зависимыми величинами). АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ -

СИСТЕМА ИНФОРМАЦИИ.

При аналитическом моделировании исследуемую систему или процесс

заменяют (могут заменять) функциональными таблицами, графиками,

уравнениями, системами уравнений, формулами, системами формул и т.д.

ПРИМЕР. Тело свободно падает с большой высоты без начальной

скорости. Какое расстояние пролетит тело за t=7 с, если ускорение свободного

падения g=9,8м/(с*с)? РЕШЕНИЕ - аналитическая модель s=0,5*g*t*t, s -

пройденный путь (зависимая величина, переменная-отклик), g (ускорение) и t

(время движения) - факторы-детерминанты.

ПРИМЕР. Для нагрева комнаты сжигают дрова с теплотворной

способностью Q=10000000 Дж/кг. Определить, какую массу дров M

необходимо сжечь, чтобы нагреть воздух в комнате теплоёмкостью С=200000

Дж/кг от температуры Т1=280 К до температуры Т2=310К? РЕШЕНИЕ -

система формул:W=C*(T2-T1), M=W/Q

Здесь: W – количество энергии, необходимое для нагрева воздуха. Данная

информация – промежуточная в аналитической модели.

Для сложных систем используют методы имитационного моделирования.

Имитационное моделирование - реализация модели в виде алгоритма -

процесса функционирования системы во времени.

Для сложных систем или процессов имитируются элементарные явления,

составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и

последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным

данным получить сведения о состоянии процессов в определённые моменты

времени, дающих возможность оценить характеристики системы.

При имитационном моделировании реализацией модели является

алгоритм, позволяющий получить результаты на основе исследования и

описания отдельных элементарных объектов и событий.

Имитационное моделирование позволяет исследовать сколь угодно

сложные системы и достаточно просто учитывать наличие как дискретных, так

и непрерывных элементов, нелинейные характеристики и случайные

воздействия. В ряде случаев имитационное является единственно возможным

методом исследования системы на этапе её проектирования.

Метод имитационного моделирования позволяет решать задачи анализа

больших систем, таких как оценку вариантов структуры системы, оценку

эффективности различных алгоритмов управления, оценку влияния изменения

различных параметров системы. В ряде случаев возникает необходимость

создания системы с заданными характеристиками, оптимальной по некоторым

критериям с учётом ряда ограничений (задачи оптимизации). Такие задачи -

задачи структурного алгоритмического и параметричекого синтеза систем -

также решают методом имитационного моделирования.

По своей сути имитационная модель - отслеживание функционирования

системы или процесса во времени. Определяют моменты времени, в которые

собираются отслеживать поведение системы или процесса, а также параметры,

отслеживание которых приведёт к решению задачи. Имитационная модель –

взаимооднозначное соответствие моментов времени и мгновенных значений

параметров G системы или процесса в данные моменты:

G=G(t)=G(t[0], t[1], ..., t[n]).

Здесь: n – число моментов времени, за которые отслеживают процесс или

систему.

ПРИМЕР. Тело свободно падает с большой высоты без начальной

скорости. Какое расстояние пролетит тело за t=0,8 с, если ускорение

свободного падения g=9,8м/(с*с)? РЕШЕНИЕ - аналитическая модель

s=0,5*g*t*t, s - пройденный путь (зависимая величина, переменная-отклик), g

(ускорение) и t (время движения) - факторы-детерминанты. Однако задачу

возможно решить методом имитационного моделирования:

Момен

времен

и,с

Ускорен

ие

свободн

ого

падения

Мгновенная

скорость

Прирост

скорости

Пройденный

путь за

промежуток

времени (t[i-1]

– t[i])

Пройденный

путь с начала

движения

0 9,81 0 =9,81*

(0,2-0)

=1,96

0*(0,2-0)

0,2 9,81 =0+1,96=

1,96

=9,81*

(0,4-0,2)

=1,96

=1,96*

(0,4-0,2)

=0,392

=0+0,392

=0,392

0,4 9,81 =1,96+

1,96

=3,92

=9,81*

(0,6-0,4)

=1,96

3,92*(0,6-0,4)

=0,784

=0,392+

0,784

=1,176

0,6 9,81 =3,92+

1,96

=5,88

=9,81*

(0,8-0,6)

=1,96

=5,88*

(0,8-0,6)

=1,176

=1,176+

1,176

=2,352

0,8 9,81 =5,88+

1,96

=7,84

=9,81*

(1,0-0,8)

=1,96

7,84*(1,0-0,8)

=1,568

=2,352+

1,568

=3,92

1,0

Ответ: 3,92 м. В данной задаче падение тела (процесс) отследили за 5

моментов времени, отслеживаемые параметры: пройденный путь с начала

движения – информативный, остальные – промежуточные, однако без их

знания невозможно знание информативного.

ПРИМЕР. Бабуля копит деньги на похороны, откладывая каждый вечер

деньги под подушку. В течение каждого вечера бабуля кладет под подушку:

1500 руб., 3000 руб., 2500 руб., 7000 руб., 5000 руб., 4000 руб., 8000 руб., 7500

руб., 9000 руб., 7000 руб., 9500 руб. и т.д. Определить, через какое время

бабуля накопит деньги на похороны, если на похороны необходимо не менее

30000 руб.

Решение.

Момент времени (№

вечера)

Отложенные за вечер

деньги, руб.

Количество

накопившихся под

подушкой денег, руб.

1 1500 =0+1500=1500

2 3000 =1500+3000=4500

3 2500 =4500+2500=7000

4 7000 =7000+7000=14000

5 5000 =14000+5000=19000

6 4000 =19000+4000=23000

7 8000 =23000+8000=31000

8 7500 =31000+7500=38500

9 9000 =38500+9000=47500

10 7000

11 9500

Как видно из таблицы, уже за 7 вечеров под подушкой накопится 31000

руб. – количество денег, достаточное для похорон.

Однако некоторые задачи возможно решить и методом аналитического

моделирования. Имитационное моделирование зачастую незаменимо в тех

случаях, когда последующие состояния системы или процесса зависят от

предыдущих.

Комбинированное моделирование совмещает методы аналитического и

имитационного моделирования и служит для описания систем, включающих в

себя как части, которые возможно описать аналитически, так и части,

описываемые средствами имитационного моделирования. Решение задачи

разбивают на этапы-подзадачи, решаемые либо методом аналитического, либо

методом имитационного моделирования. При этом выходная информация

предыдущего этапа – входная информация для последующего.

Резюме

1. Мысленное моделирование в большинстве случаев является

единственным способом изучения объектов и процессов.

2. Наиболее удобной формой описания систем реального мира является

математическая модель. Однако математическое моделирование применимо

лишь в тех случаях, когда объект поддается формализации (математизации), а

это, как правило, сравнительно простые системы.

3. Поскольку любая система существует во времени, то наиболее

универсальным методом математического моделирования является

имитационное. Имитационная модель отражает изменение объекта или

процесса во времени.

Лекция 6. Основные этапы построения математических моделей

План

1. Концептуальная модель системы

2. Выделение параметров

3. Алгоритмизация модели

Формулирование проблемы, постановка целей и задач моделирования -

наиболее ответственный этап исследования. На данном этапе чрезвычайно

важно сформировать систему критериев - оценочных параметров,

характеризующих качество достижения цели. Набор критериев должен быть

функционально полным (способным давать информацию о степени достижения

цели), разложимым, не избыточным (критерии не должны дублировать друг

друга), минимальным.

Основные требования, предъявляемые к модели:

1. Полнота - свойство, заключающееся в получении необходимого набора

оценок характеристик системы.

2. Гибкость - способность модели воспринимать различные ситуации,

обновлять данные, переходить к другим модификациям.

3. Учёт ресурсов и ограничений на них.

4. Возможность информационного обеспечения.

5. Максимальное соответствие программного и технического

обеспечения для эффективной реализации модели.

6. Блочность структуры и возможность изменения.

7. Целенаправленность машинных экспериментов.

При получении новой информации об объекте (системе) модель должна

пересматриваться и уточняться - процесс моделирования является

итеративным.

Очень важный этап подготовки машинных моделей - построение

концептуальной (содержательной) модели системы. Концептуальная модель

является переходной формой от содержательного описания объекта к его

математической модели. На данном этапе систему и её функционирование

разбиваю на подэлементы и подпроцессы, которые можно содержательно

описать.

Разделение системы на блоки осуществляют таким образом, чтобы каждый

блок был достаточно автономным (относительно самостоятельным) и

количество связей между блоками было минимальным.

После этого производят математическое описание и строят

математические модели отдельных блоков, затем - описание системы в целом с

учётом связей между блоками и воздействия окружающей среды.

2. После построения концептуальной модели определяют величины,

характеризующие процесс функционирования системы (эндогенные

переменные), величины, характеризующие управляющие воздействия и

воздействия окружающей среды (эндогенные переменные), параметры системы

и начальные условия.

Параметры системы - величины, которые оператор, работающий на

модели, может выбирать произвольно.

Параметры после их определения становятся постоянными.

Таким образом, параметры - внутренние (имманентные) характеристики

самой системы.

Экзогенные переменные - входные переменные, которые порождаются

вне системы и являются результатом воздействия внешних причин.

Эндогенные переменные - выходные переменные - переменные

состояний, которые порождаются непосредственно системой в результате

воздействия внутренних причин.

Процесс функционирования детерменированной системы имеют вид:

Z=F(Z

,X,t).

Z={Z

,...,Z

}

X={ X

, X

,..., X

}

Здесь: X - входные переменные модели; Z - выходные переменные модели;

t - время (момент времени); Z

- начальные условия функционирования

системы.

Процесс функционирования стохастической системы имеет вид:

Z=F(Z

,X,h,t).

Z={Z

,...,Z

}

X={X

,...,X

}

h={h

,...,h

}

Здесь: h - случайные воздействия.

3. Процесс имитационного моделирования осуществляют с организацией

квантования по времени, которое называют системным временем. Величина

кванта времени должна быть достаточно мала, чтобы моделируемый процесс

был адекватен исследуемому процессу.

Алгоритм имитационной модели строят по следующему принципу:

{Z=(Z(t

), Z(t

+t), Z(t

+2*t), ..., Z(t

+L*t),)}

Здесь: t

- начальный момент времени; t - шаг квантования по времени;

+L*t - конечный момент времени.

Таким образом, имитационная модель отображает изменение состояния

системы во времени, а результат работы алгоритма, реализующего модель, -

значения исследуемых параметров состояния системы в интересующие

оператора моменты времени.

Процесс функционирования стохастической системы S на интервале

времени от 0 до Т моделируется n-кратно (n-число моментов времени) с

получением независимых реализаций. При этом различают 3 типа циклов. Цикл

А называют внутренним циклом. В данном цикле осуществляют

моделирование процесса функционирования системы на интервале времени от

0 до Т. Цикл В - промежуточный, организует n-кратное повторение прогона

модели для дальнейшей статистической обработки. Число реализаций

(количества прогонов цикла В) определяют по заданной точности и

достоверности моделирования системы. Цикл С - управление

последовательностью моделирования вариантов поведения системы S.

Романов Д.А. Конспект лекций по курсу Моделирование систем для студентов специальности 220400 - Программное обеспечение ВТ и АСУ

Подождите немного. Документ загружается.