2. Моделирование как метод экологических исследований
31
хищники размножаются со скоростью, пропорциональной
количеству съеденного. Получаем уравнение
где
21
– степень влияния 1го вида на 2й.
Система уравнений (1) и (2) явно решается, но нам доста
точен качественный вид решения. Оказывается, что через
каждую точку фазовой плоскости проходит замкнутая тра
ектория системы, которая и отражает циклические колеба
ния численностей хищников и жертв. Это так называемые
вольтеррановские циклы
16
. Таким образом, качественные
предположения, высказанные раньше, находят себе строгое
математическое воплощение, которое, впрочем, по отноше
нию к конкретным существующим в природе системам вер
но ровно настолько, насколько в конкретном случае верна
модель (1) – (2).
Для получения на наглядном уровне строгости уравне
ний модели хищник – жертва достаточно было обратиться
к элементарному молекулярнокинетическому представле
нию о пропорциональности произведению N
1
N
2
для вероят
ности встречи хищника и жертвы. Представление это, впро
чем, столь же элементарно, сколь и неверно, так как если
хищник проголодается, то он начинает активно искать жер
тву, в том числе по какимто оставленным ею следам, и ве
роятность встречи окажется гораздо большей, чем для сы
того хищника, прогуливающегося ради развлечения (лишь
в последнем случае реалистично молекулярнокинетиче
ское представление). Это соображение отчасти объясняет
трудность воспроизведения вольтерровских циклов даже в
лабораторных экспериментах, которые обычно кончались
тем, что хищники сначала съедали всех жертв, а затем сами
гибли от голода. Но попытка учета в математической моде
ли степени голода хищников ведет к таким усложнениям,
(2)