Реферат - История теории стержней

Подождите немного. Документ загружается.

Здесь

 ,

- соответственно нормальная и касательная производные.

Если теперь обратиться к граничным условиям (9) и (10), то

оказывается, что первые удовлетворяются точно только для стержня

круглого поперечного сечения (в этом и только в этом случае



= 0), а вторые

приводят к приближенным соотношениям

2112

pxpx 



которые могут быть удовлетворены только в интегральном смысле,

поскольку

,вообще говоря, произвольные функции переменных

, xx

. Придя к этим противоречиям, и чтобы устранить их, Сен-Венан

формулирует свой знаменитый принцип, согласно которому решение, точно

удовлетворяющее всем граничным условиям, отличается от построенного им

только в областях, непосредственно примыкающих к концам стержня. Сразу

отмечу, что этот принцип стал предметом исследования многих ученых

механиков и математиков.

Таким путем сложная трехмерная задача для уравнений теории

упругости была сведена к сравнительно простой двумерной задаче Неймана.

Построив свою теорию, он решает ряд конкретных задач для стержней с

эллиптическим и прямоугольным сечениями, проводит большую серию

расчетов по определению жесткости при кручении и распределению

касательных напряжений, что необходимо для исследования их прочности. В

частности, для квадратного сечения он показывает, что жесткость на

кручение, соответствующая построенной им теории в 0.843 раза меньше той,

что получается по гипотезе плоских сечений. В настоящее время все расчеты,

связанные с кручением призматических стержней, производятся по

формулам, полученным Сен-Венаном.

Опираясь на полуобратный метод и свой принцип, Сен-Венан затем

исследовал задачу об изгибе призмы, один из торцов которой жестко заделан,

а ко второму приложена нагрузка, эквивалентная поперечной силе и получил

аналогичные результаты, т.е. сложную задачу для трехмерных уравнений

теории упругости свел к решению двумерных задач для более простых

уравнений. При этом не ограничился теоретическими результатами, а

опираясь на построенные им решения, провел серию расчетов и дал ряд

важных рекомендаций по определению их прочности.

Работы Сен-Венана совместно с исследованиями Коши и Пуассона по

теории пластин заложили основу одного из научных направлений в теории

упругости, которое 60-х годах нашего столетия академиком И.И. Воровичем

было названо как “Проблема предельного перехода от трехмерных задач

теории упругости к двумерным и одномерным”.

Своими трудами Сен-Венан внес громадный вклад в развитие теории

упругости и получил всеобщее признание среди специалистов.

Однако, после его работ по теории стержней остался ряд нерешенных

вопросов. Некоторые из них можно сформулировать следующим образом:

1) Можно ли (хотя бы в теоретическом плане) построить решение

уравнений теории упругости, которое бы точно удовлетворяло всем

граничным условиям (8)-(10) и какое место в точном решении занимает

решение Сен-Венана?

2) Можно ли строгими математическими методами обосновать

“принцип Сен-Венана”?

3) Можно ли построить решения, аналогичные решениям Сен-Венана

для некоторых тел, отличных от призмы, и обосновать для них выполнение

принципа Сен-Венана?

Свой вклад в развитие сопротивления материалов в XIX веке внёс и

Томас Юнг. В своём курсе лекций по натуральной философии, в главе о

пассивной прочности и трении рассматриваются основные типы

деформирования призматических брусьев. В исследование растяжения и

сжатия впервые вводится понятие модуля упругости. Определение этой

величины отличается от того, которым мы пользуемся теперь, устанавливая

смысл модуля Юнга. Его формулировка гласит: «модуль упругости какого-

либо вещества представляет собой столбик этого вещества, способный

произвести давление на свое основание, которое так же относится к весу,

создающему некоторую степень сжатия, как длина столбика к уменьшению

его длины». Юнг применяет также такие выражения, как «вес модуля»,

«высота модуля», указывая, что высота модуля для данного материала не

зависит от площади поперечного сечения. Вес модуля равен произведению

величины, которую мы называем теперь модулем Юнга, на площадь

поперечного сечения бруса.

Описывая опыты на растяжение и сжатие брусьев, Юнг обращает

внимание своих читателей на тот факт, что продольные деформации всегда

сопровождаются некоторым изменением поперечных размеров. Вводя

закон Гука, он обращает внимание на то, что этот закон сохраняет силу

лишь до известного предела, за которым часть деформации получается

неупругой, составляя ее необратимую, остаточную долю.

При кручении круглых стержней, как указывает Юнг, приложенный

крутящий момент уравновешивается главным образом касательными

напряжениями, действующими в плоскостях поперечных сечений и

пропорциональными расстоянию от оси стержня и углу закручивания. Он

указывает также, что дополнительное сопротивление крутящему моменту,

пропорциональное кубу угла закручивания, обусловливается продольными

напряжениями в волокнах, искривляющихся по винтовым линиям. По этой

причине наружные волокна окажутся растянутыми, внутренние - сжатыми.

Далее, стержень подвергнется при кручении укорочению, «в 4 раза

меньшему той величины, на которую удлинились бы наружные волокна,

если бы длина не уменьшилась» .

Излагая теорию изгиба консоли и простой балки, Юнг приводит

важнейшие результаты, относящиеся к прогибам и прочности, не давая их

вывода.

По вопросу о неупругой деформации Юнг делает важное утверждение:

«Остаточное изменение формы... снижает прочность материала с точки

зрения практических применений почти в такой же степени, как и излом,

поскольку, как общее правило, сила, способная произвести такое

изменение формы, достаточна, чтобы при незначительном росте увеличить

это изменение формы до наступления излома». Как мы видели, Навье

пришел к тому же самому заключению и, основываясь на нем,

рекомендовал принимать для рабочих напряжений нормы, значительно

более низкие, чем предел упругости материала.

Юнг сделал много для научного построения теории сопротивления

материалов, введя в неё понятие модуля упругости при растяжении и

сжатии. Он оказался, к тому же, основоположником изучения напряжений,

вызываемых ударом, и указал метод вычисления их для идеально упругих

материалов, следующих закону Гука до разрушения.

Самым выдающимся учеником Сен-Венана был Жозеф Буссинеск. Ему

мы обязаны рядом открытий в гидродинамике, оптике, термодинамике и

теории упругости.

К книге «Применение потенциалов...» приложены «Дополнительные

замечания...» Они представляют большую ценность. В одном из них

излагается теория колебаний стержня. В качестве первого примера

Буссинеск рассматривает тонкий однородный полубесконечный стержень,

ось которого простирается бесконечно из начала координат в

положительном направлении. Исследуя поперечные колебания, он

пользуется уравнением









и даёт решения при различных условиях на конце

0x

Большую работу выполнил Буссинеск и по теории тонкостенных

стержней. Он дал новый метод вывода уравнений равновесия для

тонкостенного стержня, полученных ранее Кирхгофом.

Развитие теории стержней в России

Развитие в России теории упругости связано с именем

М.В.Остроградского. Большой вклад в дальнейшее развитие теории

упругости и сопротивления материалов внесли ученики Остроградского-

Д.И. Журавский, Г.Е.Паукер, а также А.В.Гадолин, Х.С.Головин,

В.Л.Кирпичев, Ф.С.Ясинский и многие другие.

Д.И.Журавский—воспитанник Института инженеров путей сообщения

и сам инженер по специальности был основоположником русской школы

мостостроения. В работе «О мостах раскосной системы Гау» (СПб., 1855—

1856) он первый дал теорию расчета мостовых ферм и формулу для расчета

балок на изгиб при наличии скалывающих

напряжений в них. Начав с простейшего

случая консоли прямоугольного сечения,

нагруженной на свободном конце, и

рассматривая условия, создающиеся в

нейтральной плоскости OO, Журавский

приходит к заключению, что нормальные

напряжения, распределённые по

поперечному сечению mn у защемлённого опорного конца, стремятся

вызвать скалывание по плоскости OO. Величина скалывающей силы Т

получается при этом равной

max





Следовательно, соответствующее касательное напряжение,

распределённое равномерно по нейтральной плоскости ОО, выразится

частным





Подобным же образом Журавский вычисляет и касательные

напряжения, действующие в плоскости ss, параллельной плоскости ОО.

Крупнейшие иностранные ученые-механики, в том числе Сен-Венан,

отметили значение работ Журавского по теории изгиба. В ряде курсов

вывод, полученный Журавским, называется теоремой Журавского.

Значительный вклад в развитие теории упругости, теории

устойчивости деформаций, сопротивления материалов, статики сооружений

внес Феликс Станиславович Ясинский. В 1893 г. он опубликовал большую

работу «Опыт развития теории продольного изгиба». Кроме того, им

опубликован ряд важнейших работ по теории устойчивости упругих стержней.

В связи с потребностями кораблестроения теорией упругости

занимался и А. Н. Крылов. В частности, ему принадлежит (1905) подробное

исследование вынужденных колебаний стержней постоянного сечения с

помощью метода, который Пуассон применил в случае свободных колебаний.

Ряд задач теории упругости — по устойчивости стержней и пластин,

вибрациям стержней и дисков и др. решил в 1911—1913 гг. Александр

Николаевич Динник. Несколько ранее он получил ценные результаты по

теории удара и сжатия упругих тел, которые нашли затем применение при

расчете шестерен и шарикоподшипников.

К 1914 г. относится начало работ по теории упругости

Л.С.Лейбензона — прежде всего по устойчивости упругого равновесия

длинных сжатых стержней с первоначальным кручением около

прямолинейной оси стержня, а затем по устойчивости сферической и

цилиндрической оболочек. Практическое значение первой задачи ясно из



max

того, что всем известные теперь сетчатые башни системы В. Г. Шухова

составлены из закрученных прямолинейных образующих.

Советские ученые внесли большой вклад в развитие одномерных задач

теории упругости — теории кручения и изгиба призматических стержней,

основы которой были заложены еще Сен-Венаном в 1855 г. Для множества

задач о кручении стержней различного сечения были найдены замкнутые

решения, а также решения, выраженные в рядах Фурье.

Начало изучению одномерных задач теории упругости с помощью

методов теории функций комплексного переменного положили Г.В.Колосов и

Д.Л.Гавра (1925). Строгое обоснование этого метода для случая

многосвязной, конечной или бесконечной плоской области и точную

формулировку задач теории упругости как краевых задач теории функций

комплексного переменного дал Н.И.Мусхелишвили. (1929). Он же разработал

основные методы решения этих задач и успешно применил их к контактным

задачам, исследованию изгиба и кручения стержней и т.д. Метод теории

аналитических функций оказался весьма плодотворным и стал одним из

наиболее эффективных методов при решении подобных задач. В этом

направлении получено множество результатов, относящихся к кручению

призматических стержней.

Весьма эффективным в ряде случаев является метод расчета

тонкостенных стержней, предложенный В.3.Власовым (1939—1940). Власов

создал теорию открытых профилей тонкостенных стержней и

приближенный вариант теории оболочек, использовав простые

дополнительные гипотезы и общие положения строительной механики.

Теория Власова описывает работу тонкостенных стержней точнее, чем

классическая теория. Анализ вопросов устойчивости и колебаний

таких стержней привел к пересмотру многих положений в расчетных

схемах. Методы В. 3. Власова получили широкое распространение и легли

в основу расчета многих инженерных сооружений. К этому направлению

примыкают также работы А. А. Уманского (1939), Я. Г. Пановко (1957) и

др. Представляет интерес новый метод решения задач о кручении и изгибе

стержня при наличии двусвязной области, разработанный Д. И. Шерманом

(1948). Этот метод связан с использованием теории функций и теории

интегральных уравнений и приводит к бесконечной системе алгебраических

уравнений.

Особую группу составляют многочисленные работы советских ученых

об изгибе и кручении анизотропных и призматических стержней и

стержней, являющихся телами вращения, в которых применены

вариационные методы.

Задача о кручении и изгибе призматических стержней, составленных

из разнородных материалов, в общем виде была поставлена и исследована

Мусхелишвили, которому принадлежит и решение некоторых конкретных

задач.

Современные подходы

В настоящее время существует несколько методов построения точного

решения трёхмерных уравнений теории упругости для призмы(цилиндра).

Одним из таких методов является метод однородных решений. Он берет свое

начало в работах Похгаммера(1876) и Кри (1886). Этими учеными он был

применен для изучения процесса распространения гармонических волн в

бесконечном круговом цилиндре. Путем развития этого метода удалось, в

частности, решить и те вопросы, которые остались после работ Сен-Венана.

Современная форма опирается на некоторые аналогии, позволяющие

методы построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами перенести на уравнения в частных

производных. При этом широко используется аппарат функционального

анализа и, в частности, некоторые разделы современной спектральной теории

операторов, основы которой, напомним, были заложены Эйлером в связи с

исследованием задач устойчивости и колебаний прямолинейных стержней.

Под влиянием прикладных задач широкое развитие получили прямые

численные методы решения одномерных и трехмерных задач, особенно

метод конечного элемента (МКЭ).

Биографическая справка

БЕРНУЛЛИ (Bernoulli) Якоб (1654-1705), брат Иоганна Бернулли;

профессор математики Базельского университета (с 1687). Ознакомившись в

1686 с первым мемуаром Г. Лейбница по дифференциальному исчислению,

блестяще применил новые идеи к изучению свойств ряда кривых. Совместно

с братом Иоганном положил начало вариационному исчислению. Доказал

(1713) одну из предельных теорем теории вероятностей — важный частный

случай закона больших чисел, — которая была названа его именем. В связи с

вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел открыл так

называемые числа Бернулли, представляющие собой специальную

последовательность рациональных чисел. Известны также его работы в

области физики — по определению центра качания тел и сопротивлению тел

различной формы, движущихся в жидкости.

БЕРНУЛЛИ (Bernoulli) Иоганн (1667-1748), брат Якоба Бернулли, отец

Даниила Бернулли; иностранный почетный член Петербургской АН (1725),

профессор математики Гронингенского (с 1695) и Базельского (с 1705)

университетов. Был деятельным сотрудником немецкого ученого Г.

Лейбница в разработке дифференциального и интегрального исчислений,

развил методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Ему

принадлежат также исследования по механике (теория удара, движение тел в

сопротивляющейся среде, учение о живой силе) и работы по вариационному

исчислению.

БЕРНУЛЛИ (Bernoulli) Даниил (1700-1782), сын Иоганна Бернулли;

академик (1725-33) и иностранный почетный член (1733) Петербургской АН,

член Болонской АН (1724), Берлинской АН (1747), Парижской АН (1748),

Лондонского королевского общества (1750). Занимался физиологией и

медициной, но больше всего математикой и механикой. В 1725-33 работал в

Петербургской АН на кафедрах физиологии и механики; опубликовал в ее

изданиях 47 научных работ. В Базеле был профессором анатомии и ботаники

(1733), а затем физики (1750). В математике Бернулли принадлежат: метод

численного решения алгебраических уравнений с помощью возвратных

рядов, работы по обыкновенным дифференциальным уравнениям, по теории

вероятностей с приложением к статистике народонаселения и астрономии, по

теории рядов. В работах, завершенных написанным в Петербурге трудом

«Гидродинамика» (1738), вывел основное уравнение стационарного

движения идеальной жидкости, носящее его имя. Разработал кинетические

представления о газах.

ЭЙЛЕР (Euler) Леонард (1707-1783), математик, механик, физик и

астроном. По происхождению швейцарец. В 1726 был приглашен в

Петербургскую АН и переехал в 1727 в Россию. Был адъюнктом (1726), а в

1731-1741 и с 1766 академиком Петербургской АН (в 1742-1766 иностранный

почетный член). В 1741-1766 работал в Берлине, член Берлинской АН. Эйлер

— ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности.

Автор св. 800 работ по математическому анализу, дифференциальной

геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике,

математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории

музыки и других, оказавших значительное влияние на развитие науки.

ЛАГРАНЖ (Lagrange) Жозеф Луи (1736-1813), французский математик и

механик, иностранный почетный член Петербургской АН (1776). Труды по

вариационному исчислению, где им разработаны основные понятия и

методы, математическому анализу, теории чисел, алгебре,

дифференциальным уравнениям. В трактате «Аналитическая механика»

(1788) в основу статики положил принцип возможных перемещений, в

основу динамики — сочетание этого принципа с принципом Д'Аламбера

(принцип Д'Аламбера — Лагранжа), придал уравнениям движения формулу,

названную его именем.

КУЛОН (Coulomb) Шарль Огюстен (1736-1806), французский инженер и

физик, , экспериментальные исследования которого имели

основополагающее значение для формирования учения об электричестве и

магнетизме, член Парижской академии наук. Один из основателей

электростатики. Исследовал деформацию кручения нитей, установил ее

законы. Изобрел (1784) крутильные весы и открыл (1785) закон, названные

его именем. Установил законы сухого трения.

НАВЬЕ

КОШИ (Cauchy) Огюстен Луи (1789-1857), французский математик,

иностранный почетный член Петербургской АН (1831). Один из

основоположников теории аналитических функций. Труды по теории

дифференциальных уравнений, математической физике, теории чисел,

геометрии. Автор классических курсов математического анализа.

СЕН-ВЕНАН (Saint-Venant) (Барре де Сен-Венан) Адемар Жан Клод

(1797-1886), французский ученый в области механики. Труды по теории

упругости (т. н. принцип Сен-Венана), сопротивлению материалов и др.

Заложил основы теории пластичности.

КИРХГОФ (Kirchhoff) Густав Роберт (1824-1887), немецкий физик,

иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1862), член

Берлинской АН (1874). Установил правила для электрической цепи,

названные его именем. Совместно с Р. В. Бунзеном заложил основы

спектрального анализа (1859), открыл цезий (1860) и рубидий (1861). Автор

метода расчета токов в разветвленных электрических цепях. Ввел понятие

абсолютно черного тела и открыл закон излучения, названный его именем.

Труды по механике, математической физике.

ОСТРОГРАДСКИЙ Михаил Васильевич (1801-1861/62), российский

математик и механик, академик Петербургской АН (1830). Ученик Коши,

Пуассона и Фурье. Сформулировал общий вариационный принцип для

неконсервативных систем. Труды по математическому анализу,

математической физике, аналитической и небесной механике,

гидромеханике, теории упругости, баллистике.

ЖУРАВСКИЙ Дмитрий Иванович (1821-1891), российский ученый и

инженер, основатель отечественной научной школы в области строительной

механики и мостостроения. Автор проектов и строитель крупных мостов.

Труды по сопротивлению материалов. Демидовская премия (1855).

ПАУКЕР Герман Егорович (1822-1889), российский инженер и механик,

почетный член Петербургской АН (1883). Труды по строительной механике.

Предложил метод графического расчета арок. Внес вклад в механику

грунтов.

ГАДОЛИН Аксель Вильгельмович (1828-1892), русский ученый, академик

Петербургской АН (1875); генерал от артиллерии (1890). Разработал теорию

скрепления стволов артиллерийских орудий (1861). Вывел 32 точечные

группы симметрии кристаллов (1867; Ломоносовская премия, 1868).

КИРПИЧЕВ Виктор Львович (1845-1913), русский ученый, автор многих

трудов и учебных руководств по теоретической и прикладной механике и

сопротивлению материалов. Первый директор Харьковского

технологического (1885-1898) и Киевского политехнического (с 1898, уволен

в 1902 в связи со студенческими волнениями) институтов.

ЯСИНСКИЙ Феликс Станиславович (1856-1899), российский инженер и

ученый, основатель научной школы по строительной механике. Труды по

теории упругости (теория устойчивости сжатых стержней и др.),

проектированию и реконструкции железнодорожных сооружений.

КРЫЛОВ Алексей Николаевич (1863-1945), российский кораблестроитель,

механик и математик, академик АН СССР (1925; академик Петербургской

АН с 1916, академик РАН с 1917), Герой Социалистического Труда (1943).

Участник проектирования и постройки первых русских линкоров. Труды по

теории корабля, магнитных и гироскопических компасов, артиллерии,

механике, математике, истории науки. Создал ряд корабельных и

артиллерийских приборов. Государственная премия СССР (1941).

ДИННИК Александр Николаевич (1876-1950), украинский ученый,

основатель украинской научной школы по теории упругости, академик АН

Украины (1929) и АН СССР (1946). Труды по различным вопросам теории

упругости, горному давлению, прочности шахтных канатов и др.

ЛЕЙБЕНЗОН Леонид Самуилович (1879-1951), российский ученый,

основатель подземной гидравлики, академик АН СССР (1943). Труды по

теории упругости, нефтепромысловой механике, прочности, геофизике и др.

Государственная премия СССР (1943).

КОЛОСОВ Гурий Васильевич (1867-1936), российский механик,

математик, член-корреспондент АН СССР (1931). Основные труды по теории

машин и механизмов, металлорежущим станкам.

МУСХЕЛИШВИЛИ Николай Иванович (1891-1976), грузинский

математик и механик, академик (1941), президент (1941-1972) и почетный

президент (с 1972) АН Грузии, академик АН СССР (1939), Герой

Социалистического Труда (1945). Основные труды по теории упругости,

интегральным уравнениям и граничным задачам теории аналитических

функций. Государственная премия СССР (1941, 1947). Золотая медаль им.

Ломоносова АН СССР (1972).

ВЛАСОВ Василий Захарович (1906-1958), российский ученый в области

механики, член-корреспондент АН СССР (1953). Основные труды по

строительной механике, сопротивлению материалов, теории упругости и др.

Государственная премия СССР (1941, 1950).

Литература:

1. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов. М.,

ГИТТЛ, 1957, 536 с.

2. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. Серия

“Классики естествознания”. М., ГИФФЛ, 1961, 518 с.

3. Григорьян А.Т. Механика от античности до наших дней. М., Наука, 1971.

4. Григорьян А.Т., Фрадлин Б.Н. Механика в СССР. М., Наука, 1977.

5. Григорьян А.Т. Механика в России. М., Наука, 1978.