Реферат Гидродинамика

Подождите немного. Документ загружается.

Приращение полной механической энергии ΔE найдем как сумму

приращений кинетической и потенциальной энергий в 1-м и 2-м

сечениях трубки тока:

ΔE = (ρ·ΔV·v

/2 - ρ·ΔV·v

/2) + (ρ·ΔV·g·h

- ρ·ΔV·g·h

Отсюда, с учетом произвольности выбора сечений 1 и 2, получим, что

для выбранной трубки тока справедливо следующее соотношение:

ρ·v

/2 + p + ρ·g·h = соnst

Это соотношение, называемое уравнением Бернулли, получено для

достаточно узкой трубки тока и, строго говоря, справедливо, когда

трубка тока переходит в линию тока. Оно хорошо выполняется для

реальных жидкостей, обладающих малым внутренним трением.

Это уравнение описывает стационарное течение несжимаемой

жидкости (иногда употребляют термин "идеальной жидкости"), и

играет фундаментальную роль в гидродинамических исследованиях.

Если нам известно давление p

, скорость v

в некотором сечении

трубки тока, находящемся на высоте h

, то в любом другом сечении на

высоте h величины p и v связаны соотношением

ρ·v

/2 + p + ρ·g·h = ρ·v

/2 + p

+ ρ·g·h

Рассмотрим более подробно физический смысл входящих в

уравнение Бернулли членов. Так, статическое давление p численно

равно работе сил давления, совершаемых над единичным объемом

жидкости; динамическое давление ρv

/2 есть кинетическая энергия

единицы объема, а величина ρgh является потенциальной энергией

единичного объема в поле силы тяжести

Давление p - это статическое давление, которое получит манометр,

находящийся в жидкости и движущийся вместе с нею, ρv

/2 - это

динамическое давление, смысл которого будет раскрыт позднее.

Заметим, что в покоящейся жидкости предыдущее равенство

описывает гидростатическое распределение давлений.

Следствие уравнения Бернулли

В данном случае уравнение Бернулли примет вид:

ρ·v

/2 + p = соnst.

Отсюда следует, что в областях трубки с большей скоростью течения

жидкости давление меньше. Согласно уравнению неразрывности

струи скорость течения жидкости u больше в местах с меньшим

сечением трубы, следовательно, давление по мере перехода к более

узким ее участкам уменьшается. Образующийся при этом перепад

давлений заставляет жидкость двигаться вдоль трубы с ускорением.

Обратите внимание, что зависимости скорости и давления от

координаты вдоль оси трубы, а также направление ускорения не

зависят от направления скорости течения жидкости.

Пусть идеальная жидкость вытекает из сосуда через отверстие малого

диаметра, просверленное у его дна. Все линии тока проходит через

свободную поверхность, находящуюся на высоте h над дном сосуда, и

отверстие, причем постоянная в уравнении Бернулли будет равна для

всех линий тока. Рассмотрим одну из этих линий, учитывая, что

скорость течения жидкости у свободной поверхности пренебрежимо

мала по сравнению со скоростью вытекания жидкости из отверстия.

Учтя вышеизложенное и применив уравнение Бернулли к линии тока

на уровне свободной поверхности жидкости и отверстия получим:

атм

+ ρ·g·h = p

атм

+ ρ·v

Отсюда можно получить выражение для расчета скорости истечения

жидкости через отверстие.

v = (2·g·h)

1/2

Эта формула носит название формулы Торичелли, поскольку была

получена Торичелли, жившим до Бернулли. Сразу бросается в глаза,

что скорость истечения жидкости из сосуда такая же, как и при ее

свободном падении с высоты h. В этом нет ничего удивительного,

поскольку вязкостью мы пренебрегли, а работа сил атмосферного

давления над трубкой тока равна нулю. Поэтому, как и при свободном

падении тел в отсутствие сопротивления воздуха, приращение

кинетической энергии равно работе силы тяжести.

Если создать очень высокое избыточное давление, например, 5000

атм = 5 · 10 Н/м

, то скорость истечения воды v = 1000 м/с. Если такую

струю направить на какой-либо твердый материал, то его поверхность

будет подвержена гидродинамическому давлению Такое огромное

давление в ряде случаев может превосходить предел прочности

некоторых материалов, и последние будут разрушаться под

действием струи. Со второй половины 80-х годов получило развитие

новое направление в обработке материалов - гидрорезание. В этой

технологии водяной нож - высоко-скоростная струя воды с диаметром

иглы - легко режет материалы толщиной в несколько сантиметров со

скоростью резания несколько десятков сантиметров в минуту. Для

резки металлов, твердых сплавов, бетона и других материалов в

струю добавляют абразивный порошок. Это позволяет значительно

увеличить гидродинамическое давление и повысить

производительность и возможности гидрорезания.

Вязкость

Идеальная жидкость является физической моделью, позволяющей

понять суть явления в некотором приближении. Всем реальным

жидкостям присущи вязкость или внутреннее трение, что приводит к

появлению у них принципиально новых свойств. В частности,

возникшее в жидкости движение после прекращения действия причин,

его вызвавших, постепенно замедляется. Следовательно, жидкость

при своем движении в трубе испытывает сопротивление. Такого рода

сопротивление называют вязким, подчеркивая тем самым отличие от

сопротивления в твердых телах.

В твердых телах в случае попытки изменения их формы (например,

при сдвиге одной части тела относительно другой) возникает сила

упругой деформации сдвига, пропорциональная смещению атомов,

находящихся в узлах кристаллической решетки соседних атомных

слоев. В жидкости эта сила пропорциональна величине изменения

скорости, наблюдающейся при переходе между соседними слоями

взаимодействующих молекул.

Ранее мы рассматривали движение жидкости и газа в пренебрежении

силами вязкого трения. Между тем, эти силы, действующие между

частицами движущейся жидкости, могут кардинальным образом

повлиять как на распределение скоростей в потоке жидкости, так и на

обтекание жидкостью тел, помещенных в движущийся поток.

Еще Ньютон установил опытным путем, что при скольжении друг

относительно друга двух параллельных плоскостей, пространство

между которыми заполнено жидкостью, силы вязкого трения

препятствуют этому скольжению. Так, при движении со скоростью v

верхней плоскости с площадью S относительно нижней, возникает

сила вязкого трения, направленная против движения и равная F

= μS

Эта сила пропорциональна площади S и изменению скорости на

единицу длины в поперечном направлении

(градиенту скорости в

направлении перпендикулярном движению) и зависит также от

вязкости жидкости μ.

Вышепривёдённая формула справедлива, если расстояние h между

пластинами значительно меньше их линейных размеров . Важно

отметить, что частицы жидкости, прилегающие к верхней пластине,

движутся вместе с нею со скоростью v (увлекаются пластиной).

Напротив, частицы жидкости вблизи нижней (неподвижной) пластины

находятся в покое (прилипают к пластине). Если мысленно разбить

жидкость на параллельные плоские слои, движущиеся равномерно, то

нетрудно понять, что каждый вышележащий слой увлекает за собой

нижний соседний слой с силой F

. В свою очередь, этот нижний слой

тормозит движение верхнего слоя с силой, численно равной F

. На

каждый слой действует сверху и снизу две равные, но

противоположные силы. Скорость слоев нарастает линейно с их

высотой (см. рисунок ниже), а сила трения передается от одному слоя

к другому. Как результат, усилие F = F

, приложенной к верхней

пластине, передается на нижнюю пластину. Коэффициент вязкости

среды определяется экспериментально, например, по скорости ее

истечения через трубку известных размеров. Как показывает опыт с

нагреванием, вязкость жидкости уменьшается, а газов -

увеличивается.

Уравнение Навье-Стокса

Для анализа течения вязкой жидкости в гидро динамике используется

уравнение Навье-Стокса:

где — оператор Гамильтона, Δ — оператор Лапласа, — вектор

скорости, t — время, ν — коэффициент кинематической вязкости, ρ —

плотность, P — давление, — вектор плотности массовых сил.

Уравнение Навье-Стокса является основным при расчете движения

вязкой несжимаемой жидкости. Однако в общем случае оно не

решается методами современной математики, и на практике

приходится ограничиваться решением лишь частных задач. Одной из

таких задач является течение невязкой несжимаемой жидкости,

подчиняющееся уравнению Бернулли. Ранее мы получили условие,

при котором сжимаемостью жидкости или газа можно пренебречь.

Теперь мы выясним, в каких случаях можно пренебречь действием

сил вязкости.

Число Рейнольдса

Течение вязкой жидкости по трубам в зависимости от ряда условий

может быть ламинарным (или слоистым) и турбулентным (или

вихревым). В случае ламинарного течения все молекулы жидкости

движутся параллельно оси трубы и, находясь на одинаковом

расстоянии от осевого центра трубы, имеют равные скорости

Для турбулентного движения характерно наличие нормальной

(перпендикулярной направлению течения жидкости) составляющей

скорости движения молекул и резкий спад скорости течения при

приближении к границам. Траектория движения молекул представляет

собой сложную кривую линию.

Характер течения можно установить, пользуясь безразмерной

величиной - числом Рейнольдса:

Re = ρ·v

ср

·r/μ,

где ρ - плотность жидкости;

ср

- средняя (по сечению трубы) скорость потока; μ - коэффициент

вязкости жидкости; r - характерный геометрический размер, в

частности, радиус сечения цилиндрической трубы

Число Рейнольдса характеризующет отношение сил инерции и сил

вязкости. Таким образом, текущую жидкость можно рассматривать как

невязкую, если число Рейнольдса для такого течения Re>1. Однако и

в этом случае вязкость играет вспомогательную роль. При не очень

высоких скоростях течения силы вязкости "гасят" компоненты скорости

жидкости, поперечные к потоку, препятствуя, тем самым,

возникновению неустойчивого течения (см. ниже).

Дадим некоторые оценки течения жидкости по круглой трубе радиуса

R. Число Рейнольдса в этом случае Re = ρ·v

ср

·R/μ. Если принять

радиус трубы R = 1 см и скорость течения v = 1 см/с, то для воды

(ρ=103 кг/м

, при t > = 15) число Re=86. Это означает, что силы

вязкости не существенны, и воду можно рассматривать как невязкую

жидкость. Однако это приближение становится несправедливым, если

радиус трубки уменьшить на два порядка, и Re=0,86 < 1. При таком

течении распределение давлений и скоростей в потоке уже не

подчиняется уравнению Бернулли. Еще в большей степени это

относится к вязкому глицерину (ρ=1,4 кг/(м·с)). При течении воздуха по

трубе (ρ=1,3 кг/м

, ρ=1,8·10

-5

кг/(м*с)) число Рейнольдса

приблизительно на порядок меньше, чем при аналогичном течении

воды. Это указывает на то, что силы вязкости при течении воздуха и

других газов играют большую роль, чем при аналогичном течении

воды.

Ламинарное течение

Гидродинамика ламинарных течений изучает поведение жидкости в

нетурбулентном режиме. Во многих случая уравнения гидродинамики

имеют достаточно простой вид и могут быть решены точно. Некоторые

наиболее важные задачи этого раздела гидродинамики:

 стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости при

различных граничных условиях

 стационарное течение вязкой жидкости, уравнение Навье-Стокса

 волны на поверхности идеальной несжимаемой жидкости и

прочие нестационарные явления

 ламинарное обтекание конечных тел

 течения в различных несмешивающихся жидкостях,

тангенциальные разрывы и их устойчивость

 струи, капли и прочие течения конечных размеров

Ламинарное течение наблюдается при малых значениях числа

Рейнольдса. Начиная с некоторого определенного значения Re,

называемого критическим, течение приобретает турбулентный

характер. Для воды в гладких круглых трубах Re

кр

= 2000.

В случае ламинарного течения жидкости согласно третьему закону

Ньютона более медленные слои за счет вязкого трения тормозят

более быстрые и наоборот, быстрые ускоряют медленные. Причем

молекулы стенок трубы не имеют тангенциальной составляющей

скорости, и пограничный слой жидкости жестко "прилипает" к ее

стенкам. Таким образом, скорость движения отдельных

равноудаленных от оси трубы цилиндрических слоев жидкости

возрастает от нулевого до максимального значения по мере удаления

от стенок трубы (см. рисунок). При стационарном течении

распределение скоростей по сечению трубы имеет параболический

характер.

Рассчитаем поток или количество жидкости, протекающей через

поперечное сечение трубы S в единицу времени. В случае

однородного поля скоростей величина потока Q зависит от скорости

течения жидкости u по формуле Q = v·S.

Рассчитаем поток жидкости dQ, вытекающей из цилиндрического слоя

толщиной dr, расположенного на расстоянии r от оси трубы, а затем

проведем интегрирование по всем слоям от 0 до R.

dQ = v(r)·dS = v(r)·2π·r·dr,

где dS - площадь поперечного сечения цилиндрического слоя.

Для ответа на поставленный вопрос необходимо найти зависимость

v(r). Выделим цилиндр радиусом r и длиной L, расположенный

симметрично осевой линии трубы. При стационарном течении

скорость течения со временем не изменяется, следовательно, сумма

всех сил, действующих на все объемы жидкости, равна нулю. На

выделенный цилиндр действуют следующие силы: сила давления,

равная произведению разности внешних давлений на площадь

поперечного сечения выделенного объема, и сила вязкого трения,

действующая на боковую поверхность цилиндра радиусом r,

рассчитываемая по формуле Ньютона. Таким образом,

- p

)π·r

= μ·|dv/dr|·2π·r·L.

Преобразуя предыдущее уравнение, получим, что

- dv = (p

- p

)·r·dr/(2μ·L)